1、2018届高三文科数学七校联考体交流题南海中学文科数学 第卷(选择题 共 60分)一.选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合 中的不等式的解集确定出 ，求出 ，即可求得结果【详解】，则则 的子集个数为故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算，属于基础题2.2.设 为虚数单位，则复数 的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果【详解】 ，则共轭复数为故选【点
2、睛】本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题3.3.现有编号为 ， ， ， 的四本书，将这 4本书平均分给甲、乙两位同学，则 ， 两本书不被同一位同学分到的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】将 4本书平均分给甲、乙两位同学,共有 种不同的分法, ， 两本书不被同一位同学分到,则有 种,所以所求概率为 ,故选 C.点睛:平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列,平均分堆不到指定位置,其分法数为: .对于分堆与分配问题应注意:一,处理分配问题要注意先分堆再分配;二,被分配的元素是不同的;三,分堆时要注意是否均匀.4.4
3、.已知等比数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用 先求出 ，然后计算出结果【详解】根据题意，当 时，故当 时，数列 是等比数列则 ，故解得故选【点睛】本题主要考查了等比数列前 项和 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础5.5.已知双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为 2的等边三角形（ 为原点） ，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用三角形是正三角形，推出 关系，通过 ，求解 ，然后得到双曲线的方程【详解】双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边
4、长为 的等边三角形（ 为原点） ，可得 ， ，即 ，解得双曲线的焦点坐标在 轴，所得双曲线的方程为故选【点睛】本题考查了双曲线的方程与几何性质，根据题意求出 和 ，继而得到双曲线方程6.6.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，再利用 的几何意义求出最值【详解】由实数 ， 满足约束条件 作出可行域，如图，联立 解得的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方其最大值故选【点睛】本题主要考查了简单的线性规划和二元一次不等式组，在求目标函数的最值时根据其几何意义，将其转化为点到点距离的平方，从而得到结果7.7.宋元时期
5、名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长五尺，若输入的 分别是 5，2，则输出的 =（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】当 时， ，满足进行循环的条件当 时， ，满足进行循环的条件当 时， ，满足进行循环的条件当 时， ，不满足进行循环的条件故输出的 的值为故选【点睛】本题主要考查的是程序框图，只要按照程序图内的计算即可求出结果，较为基础8.8.函数 的图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析函数的奇偶性，代入特殊值计算结果，排除错误答案，可得结
6、论【详解】函数 为奇函数，排除令 ，令 ，则故选【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，由于函数非基本初等函数，故用排除法，是解答的最佳选择，需要判定函数的奇偶性和单调性或者取值，属于基础题9.9.如图，在正方体 中， ， 分别是为 ， 的中点，则下列判断错误的是（ ）A. 与 垂直B. 与 垂直C. 与 平行D. 与 平行【答案】D【解析】分析：在正方体 中，连接 ，可得 ，即可判定 与 不平行.详解：由题意，在正方体 中，连接 ，在 中，因为 分别是 的中点，所以 ，在面 中， ，所以 与 不平行，所以 与 平行是错误的，故选 D.点睛：本题考查了空间几何体的线面位置关系的判定与证明，其中紧
7、扣正方体的结构特征和熟记线面平行的判定与性质是解答的关键.10.10.已知函数 满足 ，且直线 与函数 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 ，则（ ）A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递减C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递增【答案】D【解析】【分析】由 得函数为奇函数，代入 ，求出 ，然后再根据周期求出 ，从而计算三角函数的表达式，得到其单调性【详解】 函数 满足 ，故函数 为奇函数函数 经过点，直线 与函数 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为则函数的周期当 时，函数 在 上单调递增故选【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，根据题意中的奇偶性和周期求出函数的表达式，然
8、后求得其单调性，有一定的综合性11.11.有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为 ，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的 6倍，则圆柱的高是其底面半径的( )倍A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意设圆柱的高为 ，底面半径为 ，圆柱的外接球的半径为 ，分别表示出外接球的表面积和圆锥的侧面积，然后通过数量关系求得结果【详解】设圆柱的高为 ，底面半径为 ，圆柱的外接球的半径为 ，则母线长圆锥的高为 ，圆锥的侧面积为，整理可得则故选【点睛】本题考查了圆锥侧面积和圆柱表面积的计算，根据题意结合计算公式来求解即可得到结果，一定要熟练掌握计算公式。12.12.定
9、义在 上的偶函数 满足 ，当 时， ，设函数，则函数 与 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【解析】因为 ，所以 周期为 2，函数 关于 对称，作图可得四个交点横坐标关于 对称，其和为 ，选 B.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,满分 20分.13.13.设向量 ， ，若向量 与 同
10、向，则 _；【答案】2.【解析】【分析】向量 与 同向，则向量平行，代入公式计算【详解】 向量 与 同向解得向量 与 同向，则故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，属于基础题。14.14.已知函数 在点 处的切线方程为 ，则 _；【答案】-8.【解析】【分析】求导，由几何意义得到切线斜率和切线方程，继而求出结果【详解】 ，解得解得则故答案为【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题的关键是对题意的理解，较为基础15.15.定义 为 个正整数 的“均倒数” ，若已知数列 的前项的“均倒数”为 ，又 ，则 _；【答案】 .【解析】【分析】先求出 ，再求出 ，从而 ，由此
11、能求出 的值【详解】 数列 的前 项的“均倒数”为 ，解得时，当 时，上式成立则则故答案为【点睛】本题主要考查了数列的通项和求和，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用，确定出数列的通项是关键。16.16.已知 是抛物线 上的动点，点 在圆 上的动点，点 是点在 轴上的射影，则 的最小值是_.【答案】3.【解析】根据抛物线的定义，可知 ，而 的最小值是 ，所以 的最小值就是的最小值，当 三点共线时，此时 最小，最小值是，所以 的最小值是 3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大
12、值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.三、解答题:本大题共 6小题,共 70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.17.如图，在 中， ， ，点 在线段 上() 若 ，求 的长；（） 若 ， 的面积为 ，求 的值【答案】(1) .(2) .【解析】试题分析：（）首先利用同角三角函数间的基本关系求得 的值，然后利用正弦定理即可求得 的长；（）首先三角形面积间的关系求得 ，然后利用三角形面积公式结合余弦定理即可求得 的值试题解析：（I）在三角形中， ， 2 分在 中，由正弦定理得 ，又
13、 ， ， 5 分（II） ， ， ，又 ， ，7 分 ， ， ， ， ，9 分在 中，由余弦定理得 ， 12 分考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系18.18.如图，在四棱锥 中，底面 为平行四形 , , ,，且 底面 .() 证明： 平面 ；（）若 为 的中点，求三棱锥 的体积.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】由余弦定理可得 ，证得 ，则 由 底面 ， 平面 ，证得 ，得证。为 的中点，利用等积法 求出结果【详解】() 在 中，由余弦定理得 ， ， ， .又 底面 ， 平面 . ， 平面 . （）因为 为 的中点,所以三棱锥 的体积
14、 与三棱锥 的体积相等，而 .所以三棱锥 的体积 .【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，在含有长度时需要解三角形来证垂直，并且不要忘记线面垂直的性质运用，在求三棱锥的体积时注意等体积法的使用19.19.在某单位的食堂中，食堂每天以 元/斤的价格购进米粉，然后以 4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉 0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以 2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了 80斤米粉，以 （单位：斤） （其中 ）表示米粉的需求量， （单位：元）表示利润.()计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；(
15、) 将 表示为 的函数；（）根据直方图估计该天食堂利润不少于 760元的概率.【答案】(1) 平均数为 75.5，众数为 75，中位数为 75.(2) .(3) 该天食堂利润不少于 760元的概率为 0.65.【解析】【分析】由频率分布直方图的数值计算可得平均数，众数，中位数由题意，当 时，求出利润 ，当 时，求出利润 ，由此能求出 关于的函数解析式设利润 不少于 元为事件 ，利润 不少于 元时，即 ，再根据直方图利用概率计算公式求出对应的概率【详解】()由频率分布直方图知所以平均数为 75.5，众数为 75，中位数为 75. ()一斤米粉的售价是 元.当 时， 当 时， 故 （）设利润 不少
16、于 760元为事件 ，利润 不少于 760元时，即 .解得 ，即 .由直方图可知，当 时，. 故该天食堂利润不少于 760元的概率为 0.65.【点睛】本题主要考查了样本估计总体和事件与概率，只要能读懂条形统计图，然后进行计算即可，较为基础20.20.在平面直角坐标系 中，动点 到定点 的距离和它到定直线 的距离比为,记动点 的轨迹为 .() 求 的方程；（）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当 的面积为 1时，求 .【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】设 ，则 ，化简整理即可得到 的方程依题意当 轴不合题意，故设直线 ： ，代入椭圆方程，利用韦达定理和点到线的距离计算三角形面积，
17、可计算出结果【详解】()设 ，则 ， 两边平方整理得 的方程为 （）依题意当 轴不合题意，故设直线 ： ，设 ， ，将 代入 ，得 ， 当 ，即 时， ， ， 从而 ， 又点 到直线 的距离 ，所以 的面积 ，整理得 ，即 （满足 ） ， 所以 .【点睛】本题主要考查了轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的综合问题，在求三角形面积时方法较多，一定要根据题意采用较为简单的计算方法，注意弦长公式的运用21.21.已知函数 ，() 设函数 ，讨论函数 的单调性；（）求证：当 时，【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】【分析】求导，对 分情况讨论函数的单调性，即可得证构造 ，求导后讨论其单调性，然后证
18、得结果【详解】()由题得 ， 当 时， ，此时 在 上单调递减， 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， （）要证 ，即证 ，令 ， 当 时， ， 成立； 当 时， ， 当 时， ；当 时， ， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ， ， ， ，即 成立，故原不等式成立【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性和证明不等式成立，导数题目中含有参量较为常见，那么就要进行分类讨论，如何分类，为何这样分类一定要理清楚请考生在第（22） 、 （23）三题中任选一题做答注意：只能做
19、所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时用 2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22.22.选修 :坐标系与参数方程选讲在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，直线 的方程是，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.() 求直线 和圆 的极坐标方程；() 已知射线 (其中 )与圆 交于 ，射线 与直线 交于点 ，若 ，求 的值.【答案】 （1） ， .（2） .【解析】【分析】将 代入分别求出直线和圆的极坐标方程解得 ， ，然后代入求解【详解】()将 代入直线 的直角坐标方程，得 ,即 . 圆 的直角坐标方程为 ，所以圆 的极坐标方程为 ()由题意得 则 ，解得 ，
20、又因为 ，所以【点睛】本题考查了直线方程与曲线方程的普通方程转化为极坐标方程，以及直线和曲线的位置关系，只要按照法则代入即可求出结果，在求解长度时运用参量计算较为简单。23.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .() 求不等式 的解集 ；() 若 ，证明： .【答案】(1) .（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据 f（x）的解析式，求得不等式-2f（x）0 的解集 A（2）由（1）可知 ，故要证明|1-4mn|2|m-n|，只要证明左边的平方大于右边的平方即可试题解析：（1）依题意，由 ，解得 ，故 ；（2）由（1）可知， ；因为， 故 ，故 .点睛：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，证明不等式的方法，零点分段法去绝对值符号是常用方法.
