1、2013-2014 学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 A=1，1，2 ，B=x|x+10，则 AB=（ ）A 1，1，2B 1，2 C 1，2 D22 （5 分） （2014 温州模拟）下列函数中，值域为（0，+）的函数是（ ）Af（x）= B f（x）=lnx C f（x）=2 x Df（x）=tanx3 （5 分）在ABC 中，若 tanA=2，则 cosA=（ ）AB C D4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O（0，0） ，A（
2、0，1） ，B （1，2） ，C（m，0） ，若 ，则实数 m 的值为（ ）A 2B C D25 （5 分） （2014 贵州模拟） “x2x”是“x1”的（ ）A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件6 （5 分）已知数列a n的通项公式 ，则数列的前 n 项和 Sn 的最小值是（ ）AS3 B S4 C S5 DS67 （5 分）已知 a0，函数 ，若 ，则实数 t 的取值范围为（ ）AB 1， 0） C 2，3） D（0，+）8 （5 分）已知函数 ，在下列给出结论中： 是 f（x）的一个周期；f（x）的图象关于直线 x= 对称；f（x）在 上单调
3、递减其中，正确结论的个数为（ ）A0 个 B 1 个 C 2 个 D3 个二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）a= （2x+1）dx= _ 10 （5 分）已知数列a n为等比数列，若 a1+a3=5，a 2+a4=10，则公比 q= _ 11 （5 分）已知 ，则 a，b，c 的大小关系为 _ 12 （5 分）函数 的图象如图所示，则 = _ ，= _ 13 （5 分）已知ABC 是正三角形，若 与向量 的夹角大于 90，则实数 的取值范围是 _ 14 （5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x）满足：当 x1，3）时，f（x）=1 |x2|； f（3x
4、）=3f（x） 设关于 x 的函数 F（x）=f （x）a 的零点从小到大依次为 x1，x 2，x n，若 a=1，则 x1+x2+x3= _ ；若 a（1，3） ，则 x1+x2+x2n= _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，A=60 ，3b=2c， （）求 b 的值；（）求 sinB 的值16 （14 分）已知函数 （ I）求 f（x）的最小正周期；（ II）求 f（x ）在区间 上的取值范围17 （13 分）如图，已知点 A（11，0） ，直线 x=t（1t 11
5、）与函数 的图象交于点 P，与 x 轴交于点H，记APH 的面积为 f（t） （ I）求函数 f（t）的解析式；（ II）求函数 f（t）的最大值18 （13 分）已知数列a n满足： a20； 对于任意正整数 p，q 都有 成立（I）求 a1 的值；（II）求数列a n的通项公式；（III）若 ，求数列 bn的前 n 项和19 （14 分）已知函数 f（x） =x22（a+1）x+2alnx （a 0） （I）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（1，f （1） ）处的切线方程；（II）求 f（x）的单调区间；（III）若 f（x）0 在区间1 ，e上恒成立，求实数 a 的取值范围20
6、 （13 分）已知数列a n的首项 a1=a，其中 aN*， 令集合（I）若 a4 是数列a n中首次为 1 的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：1，2，3A；（III）当 a2014 时，求集合 A 中元素个数 Card（A ）的最大值2013-2014 学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （5 分）已知集合 A=1，1，2 ，B=x|x+10，则 AB=（ ）A 1，1，2B 1，2 C 1，2 D2考点： 交集及其运算菁优网版权所有专题：
7、 计算题分析： 求出集合 B 中不等式的解集，确定集合 B，找出 A 与 B 的交集即可解答： 解：由集合 B 中的不等式 x+10，解得：x1，即 B=x|x1，A=1，1，2，AB=1，1， 2故选 A点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2014 温州模拟）下列函数中，值域为（0，+）的函数是（ ）Af（x）= B f（x）=lnx C f（x）=2 x Df（x）=tanx考点： 函数的值域菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： A对于 f（x）= ，由于 x0，即可得出 B对于 f（x）=lnx ，由于 x0，可得 lnxRC对于函数
8、 f（x）=2 x，由于 xR，可得 2x0D对于函数 f（x）=tanx，由于 ，可得 tanxR解答： 解：A对于 f（x）= ，x0， ，因此函数 f（x）的值域为0，+） B对于 f（x）=lnx ， x0，lnxR，因此函数 f（x）的值域为 RC对于函数 f（x）=2 x， xR， 2x0，因此函数 f（x）的值域为（0，+） D对于函数 f（x）=tanx， ，tanxR，因此函数 f（x）的值域为 R故选 C点评： 本题中考查了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性与值域，属于基础题3 （5 分）在ABC 中，若 tanA=2，则 cosA=（ ）AB C D考点： 同角
9、三角函数间的基本关系菁优网版权所有专题： 三角函数的求值分析： 根据 tanA 的值小于 0，得到 A 为钝角，利用同角三角函数间的基本关系即可求出 cosA 的值解答： 解： tanA= =20，即 sinA=2cosA，且 sin2A+cos2A=1，5cos2A=1，即 cos2A= ，A 为钝角，cosA= 故选 B点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键4 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O（0，0） ，A（0，1） ，B （1，2） ，C（m，0） ，若 ，则实数 m 的值为（ ）A 2B C D2考点： 平行向量与共线向量；平面向
10、量的坐标运算菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： 利用条件先求出向量坐标，利用向量平行的坐标共线建立方程关系即可求解解答： 解： 点 O（0， 0） ，A（0，1） ，B（1， 2） ，C（m ，0） ， ， ， 2m1（ 1）=0，解得 故选 C点评： 本题主要考查平面向量的坐标公式，以及平面向量平行的等价条件要求熟练掌握相应的坐标公式5 （5 分） （2014 贵州模拟） “x2x”是“x1”的（ ）A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题： 综合题分析： 本题考查的知识点是充要条件的
11、判断，我们可以根据充要条件的定义：法一：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件进行判定法二：分别求出满足条件 p，q 的元素的集合 P，Q，再判断 P，Q 的包含关系，最后根据谁小谁充分，谁大谁必要的原则，确定答案解答： 解：法一：x 2x 的解集 A 为（ ，0） （1，+）x1 的解集 B 为（1，+ ）BA故“x 2 x”是“x1”的必要而不充分条件法二：当 x2x 成立时，x1 不一定成立当 x1 成立时，x 2x 成立故“x 2 x”是“x1”的必要而不充分条件故选 B点评： 判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题
12、p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系6 （5 分）已知数列a n的通项公式 ，则数列的前 n 项和 Sn 的最小值是（ ）AS3 B S4 C S5 DS6考点： 数列的求和菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析： 解 an0，即可得出此数列a
13、n从第几项开始大于 0，进而得到数列的前几项和 Sn 的最小值解答： 解：令 ，解得 = ，取 n=5也就是说：数列a n的前 4 项皆小于 0，从第 5 项开始大于 0因此数列的前 n 项和 Sn 的最小值是 S4故选 B点评： 本题考查了数列的通项公式与其前 n 项和的最值关系，属于基础题7 （5 分）已知 a0，函数 ，若 ，则实数 t 的取值范围为（ ）AB 1， 0） C 2，3） D（0，+）考点： 其他不等式的解法；函数单调性的性质菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 分类讨论：当 时，利用正弦函数的单调性即可得出；当 0 时，a0 时，恒成立解答： 解：当 时， = ，
14、（k Z） ， （kZ） 又 ， ，解得 当 0 时， = ，及 a0，恒成立， 综上可知：实数 t 的取值范围为（ 0，+） 故选 D点评： 本题考查了分段函数的性质、正弦函数的单调性、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于中档题8 （5 分）已知函数 ，在下列给出结论中： 是 f（x）的一个周期；f（x）的图象关于直线 x= 对称；f（x）在 上单调递减其中，正确结论的个数为（ ）A0 个 B 1 个 C 2 个 D3 个考点： 三角函数的化简求值；命题的真假判断与应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性菁优网版权所有专题： 三角函数的图像与性质分析： 将 x 换为 x+，计算
15、得到结果看与 f（x）相等与否即可做出判断；验证 f（x）是否等于 f（ x） ，即可做出判断；设 t=sinx+cosx，可得 sinxcosx= ，由 x 的范围求出 t 的范围，得出函数增减性，判断即可解答： 解：f（x+ ）= = f（x） ， 不是 f（x）的一个周期，本选项错误；f（ x）= = =f（x） ， f（x）图象关于直线 x= 对称，本选项正确，设 t=sinx+cosx= sin（x+ ） ，可得 sinxcosx= ，f（ x）= ， x0， x+ ，即1t1，在（1， 1）上任取两实数 x1，x 2，且 x1x 2，则 f（x 1） f（x 2）= = ，因为1
16、x1x 21，所以 1 x1x21，x 1x2+10，x2x10 ，x 1+10，x 110，x 2+10，x 210，所以 f（x 1） f（x 2）0，即 f（x 1）f（x 2） ，所以 在（1，1）上单调递减，本选项正确，则正确结论的个数为 2 个，故选 C点评： 此题考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，熟练掌握公式及法则是解本题的关键二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）a= （2x+1）dx= 2 考点： 微积分基本定理菁优网版权所有专题： 计算题分析： 欲求 01（2x+1）dx，只须根据定积分的定义先求出被积
17、函数的原函数，然后求解即可解答： 解：a= 01（2x+1）dx=（x 2+x）| 01=1+1=2故答案为：2点评： 本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，属于基础题10 （5 分）已知数列a n为等比数列，若 a1+a3=5，a 2+a4=10，则公比 q= 2 考点： 等比数列的通项公式菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析： 利用等比数列的通项公式和已知即可得出公比 q解答： 解：设等比数列a n的公比为 q，由 a2+a4=10，可得 a1q+a3q=10，即 q（a 1+a3）=10，又 a1+a3=5，所以 5q=10解得 q=2故答案为 2点评： 本题考查了等比
18、数列的通项公式，属于基础题11 （5 分）已知 ，则 a，b，c 的大小关系为 abc 考点： 对数值大小的比较菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 利用对数和指数的运算性质确定 a，b，c 的大小关系即可解答： 解： 2b=3， b=log23，log 25log 231，即 ab1，log321，c 1a，b，c 的大小关系为 abc故答案为：abc 点评： 本题主要考查对数的运算法则，利用对数的单调性和对数函数的图象和性质进行判断即可12 （5 分）函数 的图象如图所示，则 = ，= 考点： y=Asin（x+）中参数的物理意义菁优网版权所有专题： 三角函数的图像与性质分析： 通
19、过函数的图象求出函数的周期，然后求出 ，利用函数的图象经过的特殊点求出 解答： 解：由函数的图象可知：T=3 ， ， = ，由函数的图象经过（0，1） ，1=2sin（ ） ，=2k+ ，或 =2k ，k Z ， = 故答案为： ； 点评： 本题考查三角函数的图象的应用，周期的求法，函数的图象经过的特殊点的应用，考查计算能力13 （5 分）已知ABC 是正三角形，若 与向量 的夹角大于 90，则实数 的取值范围是 （2，+） 考点： 数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题： 平面向量及应用分析： 由于 与向量 的夹角大于 90，可得 0，利用数量积运算和正三角形的性质即可得出解答： 解：A
20、BC 是正三角形， = 与向量 的夹角大于 90， = = 0，解得 2实数 的取值范围是 2故答案为（2，+） 点评： 本题考查了数量积运算和正三角形的性质等基础知识与基本方法，属于基础题14 （5 分）定义在（0，+）上的函数 f（x）满足：当 x1，3）时，f（x）=1 |x2|； f（3x）=3f（x） 设关于 x 的函数 F（x）=f （x）a 的零点从小到大依次为 x1，x 2，x n，若 a=1，则 x1+x2+x3= 14 ；若a（1，3） ，则 x1+x2+x2n= 6（3 n1） 考点： 进行简单的合情推理；函数的零点；数列的求和菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析
21、： 当 a=1 时，根据已知，可得 x1=2，x 2+x3=12，代入可得 x1+x2+x3 的值，当 x0，1）时，不必考虑利用已知可得：当 x3，6 时，由 1，2，可得 f（x）=3f（ ） ，f（x）0，3；同理，当 x（6，9）时，f（x）0 ，3；此时 f（x）0，3分别作出 y=f（x） ， y=a，则 F（x）=f（x）a 在区间（3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为 x1，x 2，且满足 x1+x2=26，依此类推：x3+x4=218，x 2n1+x2n=223n利用等比数列的前 n 项和公式即可得出解答： 解： 当 x1，3）时，f（x）=1|x 2|0，1； f（3
22、x）=3f（x） 当 x时，则 13x3，由 f（x）= f（3x）可知：f（x）0 ， 同理，当 x（0， ）时，0f （x）1，当 x3，6时，由 1，2，可得 f（x）=3f（ ） ，f（x ）0，3；同理，当 x（6，9）时，由 （2，3） ，可得 f（x）=3f（ ） ，f（x）0，3；此时 f（x）0，3 当 a=1 时，x 1=2，x 2+x3=12，x1+x2+x3=14当 a（1，3）时则 F（x）=f（ x）a 在区间（ 3，6）和（6，9）上各有一个零点，分别为 x1，x 2，且满足 x1+x2=26，依此类推：x 3+x4=218，x 2n1+x2n=223n当 a（1
23、，3）时，x 1+x2+x2n1+x2n=4（3+3 2+3n） =4 =6（3 n1） 故答案为：14，6 （3 n1）点评： 本题考查了函数的图象与性质、区间转换、对称性、等比数列的前 n 项和公式等基础知识与基本技能，属于难题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 （13 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，A=60 ，3b=2c， （）求 b 的值；（）求 sinB 的值考点： 余弦定理；正弦定理菁优网版权所有专题： 解三角形分析： （）利用三角形面积公式表示出三角形 ABC 面积，将 sinA 与已知面积代入求
24、出 bc 的值，与 3b=2c 联立即可求出 b 与 c 的值；（）由 b，c 及 cosA 的值，利用余弦定理求出 a 的值，再由 a，b，sinA 的值，利用正弦定理即可求出sinB 的值解答： 解：（）A=60，SABC= ， bcsin60= bc = ，整理得：bc=6，又 3b=2c，b=2，c=3 ；（）b=2，c=3，A=60，由余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA，即 a2=22+326=7，解得：a= ，由正弦定理得： = ，即 = ，解得：sinB= 点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键16
25、（14 分）已知函数 （ I）求 f（x）的最小正周期；（ II）求 f（x ）在区间 上的取值范围考点： 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性菁优网版权所有专题： 三角函数的图像与性质分析： （I）利用倍角公式和两角和的正弦公式及三角函数的周期公式即可得出；（II）利用正弦函数的单调性即可得出解答： 解：（ I）= = ，f（ x）最小正周期为 （ II） ， ，f（ x）取值范围为 点评： 本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式及三角函数的单调性、周期公式等基础知识与基本方法，属于中档题17 （13 分）如图，已知点 A（11，0） ，直线 x=t（1t 11）
26、与函数 的图象交于点 P，与 x 轴交于点H，记APH 的面积为 f（t） （ I）求函数 f（t）的解析式；（ II）求函数 f（t）的最大值考点： 利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题： 导数的综合应用分析： （ I）由题意设点 P 坐标，来表示 AH，PH 的大小，计算出 APH 的面积 f（t）= AHPH；（ II） 【解法 1】求 f（t）的导函数 f， （t ） ，令 f（t）=0，求得 f（t）0、0 的 t 的取值范围，从而求得f（t）的最大值【解法 2】由 f（t）= （11 t） = ，其中1t11，设 g（t ）
27、=（11t）2（t+1） ，其中 1t11，利用求导法求出 g（t ）的最大值，从而得出 f（t）的最大值解答： 解：（ I）由题意点 P（x，y） ，则 x=t，y= ，其中1t11，AH=11t，PH= ，所以APH 的面积为 f（t）= AHPH= （11t ） ，其中 1t11（ II） 【解法 1】 f（t）= （ 11t） ，其中 1t11f， （ t）= + （11t） = ，由 f（t）=0，得 t=3，函数 f（t）与 f（t）在定义域上的情况下表：所以当 t=3 时，函数 f（t）取得最大值 8【解法 2】由 f（t）= （11 t） = ，1t11，设 g（t）=（11
28、t） 2（t+1） ， 1t11，则 g（t ）=2（11t） （t+1 ）+（11 t） 2=（t 11） （t 11+2t+2）=3（t 3） （t 11） 函数 g（t）与 g（t）在定义域上的情况下表：所以当 t=3 时，函数 g（t）取得最大值，即当 t=3 时，函数 f（t）取得最大值 =8点评： 本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题18 （13 分）已知数列a n满足： a20； 对于任意正整数 p，q 都有 成立（I）求 a1 的值；（II）求数列a n的通项公式；（III）若 ，求数列 bn的前 n 项和考点： 数列的求和；数列递
29、推式菁优网版权所有专题： 等差数列与等比数列分析： （I）由可得 ， ，由可得 a20（II）由（I）及 可得 ，再利用 a1=2 即可得出（III）由（ II）可得 ，可知4 n，2 n+1分别为公比是 4 和 2 的等比数列，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出解答： 解：（I）由可得 ， ，由可得 a1=20（II）由（I）及 可得 ， 数列 an的通项公式 （III）由（ II）可得 ，可知4 n，2 n+1分别为公比是 4 和 2 的等比数列，由等比数列求和公式可得 点评： 本题考查了等比数列的通项公式及前 n 项和公式、递推式的意义等基础知识与基本技能，属于中档题19 （14
30、分）已知函数 f（x） =x22（a+1）x+2alnx （a 0） （I）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（1，f （1） ）处的切线方程；（II）求 f（x）的单调区间；（III）若 f（x）0 在区间1 ，e上恒成立，求实数 a 的取值范围考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题： 导数的综合应用分析： （I）当 a=1 时， f（x）=x 24x+2lnx，对 f（x）求导，计算 x=1 时的导数值，即为 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率，从而写出切线方程；（II）对 f（x）求导，令
31、f（ x）=0，解方程；讨论 f（x）0、0 的区间，从而确定 f（x）的增、减区间；（III）由（ II）知 f（x）在区间 1，e 上的最大值点只在端点处取得，只须 f（1）0 且 f（e） 0，求得 a的取值范围解答： 解：（I）因为 a=1，f（x）=x 24x+2lnx，所以 f， （x）=2x 4+ = （其中 x0） ，f（1） =3，f（1）=0，所以曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=3（II）f （x）=x 22（a+1）x+2alnx（其中 a0） f， （ x）=2x2（a+1）+ = = （其中 x0） ，由 f（x）=0，得 x1=a，x 2
32、=1；当 0a1 时，在 x（0，a）或 x（1，+）时 f（x）0，在 x（a，1）时 f（x）0，所以 f（x）的单调增区间是（ 0，a）和（1，+） ，单调减区间是（a，1） ；当 a=1 时，在 x（0，+）时 f（x）0，所以 f（x）的单调增区间是（0，+） ；当 a1 时，在 x（0，1）或 x（a，+）时 f（x）0，在 x（1，a）时 f（x）0所以 f（x）的单调增区间是（ 0，1）和（a，+） ，单调减区间是（1，a） （III）由（ II）知：当 0a 1 时，f （x）在区间1，e上是增函数，最大值是 f（e） ；当 a1 时，f（x）在区间1， e上只可能有极小值点
33、，最大值只在区间的端点处取到，即有 f（1）=1 2（a+1 ）= 2a10，a ；且 f（e）=e 22（a+1）e+2a=e 22e2（e 2）a0，整理得 a，所以 a 的取值范围是a|a 点评： 本题利用导数求函数在某一点处的切线方程，判定函数的单调性以及求函数在区间上的最值问题，是难题20 （13 分）已知数列a n的首项 a1=a，其中 aN*， 令集合（I）若 a4 是数列a n中首次为 1 的项，请写出所有这样数列的前三项；（II）求证：1，2，3A；（III）当 a2014 时，求集合 A 中元素个数 Card（A ）的最大值考点： 数列递推式；集合的包含关系判断及应用；集合
34、中元素个数的最值菁优网版权所有专题： 新定义；点列、递归数列与数学归纳法分析：（I）由 a4=1， ，求出 a3；再求 a2，a 1；（II）讨论 ak 被 3 除余 1，余 2，余 0 的情况，确定 ak 与 ak+3 的大小，从而推导 1、2、3 是数列a n中的项；（III）由已知递推关系得a n满足：当 am1，2，3时，总有 an=an+3 成立，当 a12014 时，数列a n中大于 3 的各项，按逆序排列各项，构成的数列记为b n，由（I）得 b1 的取值，由（II）知数列b n的项满足：b n+3b n，且当 bn 是 3 的倍数时，满足 bn+3bn 最小的数列b n，得出b
35、 3k1的通项公式，由 3620143 7，得出当a2014 时，k 的最大值，从而得出 A 中元素个数的最大值解答：解：（I） a4 是数列 an中首次为 1 的项，又 ，a 3=3a4=3；a2=3a3 或 a31，即 a2=9 或 2；同理 a1=3a2 或 a21，当 a2=9 时，即 a1=27 或 8，当 a2=2 时，a 1=6 或 1（不合题意，舍去） ；所以，满足条件的数列的前三项为：27，9，3；或 8，9，3；或 6，2，3（II）若 ak 被 3 除余 1，则由已知可得 ak+1=ak+1，a k+2=ak+2，a k+3= （a k+2） ；若 ak 被 3 除余 2
36、，则由已知可得 ak+1=ak+1，a k+2= （a k+1） ，a k+3 （a k+1）+1；若 ak 被 3 除余 0，则由已知可得 ak+1= ak，a k+3 ak+2；所以 ak+3 ak+2；所以 akak+3ak（ ak+2）= （a k3） ；所以，对于数列a n中的任意一项 ak， “若 ak3，则 aka k+3”因为 akN*，所以 akak+31所以数列a n中必存在某一项 am3（否则会与上述结论矛盾！）若 am=3，则 am+1=1，a m+2=2；若 am=2，则 am+1=3，a m+2=1，若 am=1，则 am+1=2，a m+2=3，由递推关系得1，2
37、，3A（III）集合 A 中元素个数 Card（A ）的最大值为 21由已知递推关系可推得数列a n满足：当 am1，2，3时，总有 an=an+3 成立，其中 n=m，m+1，m+2，下面考虑当 a1=a2014 时，数列 an中大于 3 的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为b n，由（I）可得 b1=6 或 9，由（II）的证明过程可知数列b n的项满足：b n+3b n，且当 bn 是 3 的倍数时，若使 bn+3bn 最小，需使bn+2=bn+11=bn2，所以，满足 bn+3bn 最小的数列b n中，b 3=4 或 7，且 b3k=3b3k+32，所以 b3k1=3（b 3（k+1） 1） ，所以数列b 3k1是首项为 41 或 71 的公比为 3 的等比数列，所以 b3k1=（41） 3k1 或 b3k1=（7 1）3 k1，即 b3k=3k+1 或 b3k=23k+1，因为 3620143 7，所以，当 a2014 时，k 的最大值是 6，所以 a1=b18，所以集合 A 中元素个数 Card（A ）的最大值为 21点评： 本题考查了递推数列与不等式、集合等知识的综合应用，也考查了较强的逻辑思维能力，是难题
