1、2018-2019 高三上学期期中考试数 学（理） 试 卷分值 150 分 答题时间 120 分钟 第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若点 在角 的终边上,则 的值为( )5(sin,co)6sinA. B. C. D. 3212322. 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）2xyabA. B. C. D. y2x12yx2yx3.在 中, , .若点 满足 ,则 ( )ABCcAbDBCADA. B. C. D. 213b5313c123bc4. 已知椭圆 的两个焦点为 ,且
2、 为短轴的一个端点,则 的外接圆2xy12F12FB方程为( )A. B. C. D. 2124y24xy224xy5. 若将函数 的图像向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )sinyx1A. B. 26kx()Z26kxZC. D. 1()6. 已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ： ,双曲线的20,xyabl210yx一个焦点在直线 上,则双曲线的方程为( )lA. B. C. D. 2150xy2105xy23150xy23105xy7. 已知双曲线 的离心率为 ,焦点为 、 ,点 在 上.若 ,则C1F2AC12FA( )21cosAFA. B. C. D. 432438.
3、 已知点 为抛物线 上的动点,点 在 轴上的射影是 , 点坐标为 ,则P2yxPyMA742的最小值是( )AMA. B. C. D. 1249259. 已知函数 ,它的图像的相邻两条对称轴之间的距离sin0,2fxx是 ,当函数 的图像向右平移 个单位时,得到函数 的图像,并且 是奇函数,则2 f6gxgx( )A. B. C. D. 310. 已知 为坐标原点, 为抛物线 的焦点, 为 上一点,若 ,则OF2:4CyxPC42PF的面积为( )PFA. B. C. D. 22311. 设 分别是椭圆 ，的左右焦点，过 的直线与 相交于12, 2:1(0)yExb1FE两点，且 成等差数列，
4、则 的长为（ ）,AB2|,|FAB|ABA. B. C. D.3143512. 设 为双曲线 上一点, 分别为双曲线 的左、右焦点, P2:1,0xyCab12,F C,若 的外接圆半径是其内切圆半径的 倍,则双曲线 的离心率为( )21F12F76 A. B. C. 或 D. 或2423 453第 II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知 是同一平面内两个不共线的向量,且 , ,12e 12ABek123Ce,如果 三点共线,则 的值为_CDABDk14. 若 ,则0,0,cos,sin243243_cos()15. 已知正方形 的边长
5、为 , 是 上的一个动点,则求 的最大值为ABCD2EfeAEBD_16. 椭圆 的左、右顶点分别为 ,点 在 上且直线 斜率的取值范2:143xy12AP C2围是 ,那么直线 斜率的取值范围是_。1PA三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 的内角 的对边分别为 ,已知 , ABC,abcsinsico0ABC, . 2bc(1)求角 的大小;(2)函数 ,求 的单调递增区间.os2sin2cosfxCxBx f18.已知 分别是 内角 的对边,且满足,abcABCsinsinic(1)求角 的大小(2)设 , 为 的面积,求 的最大值
6、23aSABC43oscSBC19. 的内角 所对的边分别为 ,且 .ABC, abc(2)cos,3BbCABur(1)求 的面积;(2)若 ,求 边上的中线 的长.sin:3:2ACBD20. 已知椭圆 过点 且长轴长等于 .2:10xyCab31,24(1)求椭圆 的方程(2) 是椭圆 的两个焦点,圆 是以 为直径的圆,直线 与圆 相切,并12,FO12F:lykxmO与椭圆 交于不同的两点 ,若 ,求 的值.CAB3k21. 已知椭圆 的离心率为 ,且椭圆过点 ,2:10xyCab2e21(1)求椭圆 的方程;(2)已知直线 的斜率存在,且过椭圆 的右焦点,与椭圆 交于两个交点 , 两
7、点,过 作lCCAB轴的对称点为 ,求证直线 恒过定点.xAB22. ,并且倾斜角为 ,曲线 的极坐标方程为 ,1 0P3C8cos(1)求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程;l(2)设直线 与曲线 交于 , 两点,求 的值.ABPB参考答案一、选择题1.答案：A解析：2.答案：B解析：双曲线的离心率为 ,渐进性方程为 ,计算得 ,故渐进23abbyxa2性方程为 .yx【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.3.答案：A解析：4.答案：A解析：数形结合 为等腰直角三角形,原点为斜边中点.12,FB5.答案：B解析：由题意,将函数 的图象向左平移 个单位得sinyx122si
8、n1yx,则平移后函数的对称轴为 , 即 ,2sin6x 6xkZ,62kZ故选 B.考点: 三角函数的图象变换与对称性.【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对 而言,即 本身加减多少值,而不是依赖于 x 加减多少值.x6.答案：A解析：双曲线的渐近线方程为 ,因为一条渐近线与直线 平行,所以byxa210yx。又因为双曲线的一个焦点在直线 上,所以 ,所以 .故由2ba210c5c,得 ,则 , ,从而双曲线方程为 。c254a25b210xy7.答案：A解析：由题意得 ,解得 , ,又由已知可得 ,所以12FA2FAa142ca,即 , ,2ca124a21cos211FA 2614故选
9、A.8.答案：C解析：由已知得焦点 ，点 在抛物线外，1,02FA故选 C2714PAMP19529.答案：B解析：10.答案：C解析：考查了抛物线的焦半径公式、焦点三角形的面积.如图,设点 的坐标为 ,P0xy由 ,得 ,024PFx032x代入抛物线方程得,所以 ,2043y06y所以 ,0123POFS故选 C.11.答案 C解析 根据椭圆定义，知 ,两式相加得1212|,|AFaBFa，即 ,而12|4AFB 12(|)(|)4ABF, 所以 ，即1|22|3|4|3A12.答案：D解析： 分别为双曲线 的左、右焦点12,F C0c 点 在双曲线的右支, 的内切圆半径为21P12PF.
10、12Fca设 ,则 .1x2x ,即21PF22ac,即 的外接圆半径为 .acx12P2 的外接圆半径是其内切圆半径的 倍12 176,即 .76aca22030ac231e 或54二、填空题13.答案：-8解析： .12121234BDCee因为 三点共线,所以存在实数 ,使 ,即 ,AABD12124eke所以 ,解得 .24k8k14.答案： 37解析：15.答案：4解析：16.答案： 3,84解析：设 ,则有 ,0()Pxy2013xy即 .2043由题意知 ,设直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则12(,)(0A1PA1k2PA2k,0120,yykxx所以 .1204由得 .1
11、23k因为 ,所以 的取值范围为 ,故选 B.1k384三、解答题17.答案：1. ,.ABCsinsinABC ,sinsico0,nis,sincosinsincos0BCBC,0 , ,si0sicota1 , .OB342.由()知 又 .2,bc由正弦定理得 , sinicCB2sin1i ,BCb又 , ,0263cos2sincos24fxxx32iisincos2664x x 31cosin2sico2sxi3i26xx由 解得 ,26kk ,36kxkZ故 的递增区间为 . fx,()6z解析：18.答案：1. sinsinibcaABCcB根据正弦定理,知 ,即b22bab
12、c由余弦定理,得 .221cosca又 ,所以(0)A232.根据 , 及正弦定理可得 ,a 234sinisinbcaBCA.4sin,sibBcC13i4insi4sin22SAB,43cos3ico3cosBC故当 ,即 时, 取得最大值 .3BC643sSB4解析：19.答案：1.已知等式 ,(2)cosaBbC利用正弦定理化简得: ,insincoAB整理得: ,2sincosicsi()iAA因为 ,所以 ,则 .012B60又因为 ,所以 ,3Ccos()3a所以解得 ,所以 .6ac13in622BCSA2.因为由 ,可得: ,解得: ,sin:cca又因为由 1 可得: ,所
13、以解得: ,c3a又因为 ()2BDACurur所以 24Br2caur3()19所以 ,即 边上的中线 的长为 .19|2BDur AC192解析：20.答案：1.由题意,椭圆的长轴长 ,得 ,4a因为点 在椭圆上,所以 得 ,312219b23所以椭圆的方程为243xy2.由直线 与圆 相切,得 ,即 ,lO21mk22k设 ,由 消去 ,整理得12,AxyB43xyk22348410xkm由题意可知圆 在椭圆内,所以直线必与椭圆相交,所以O.2121284,33kmxxk222 2121211418334mkyxmxkm234mk所以222121371434kkxyk因为 ,所以 .22
14、m2125xyk又因为 ,所以 ,得 的值为3OAB2231,4k2解析：21.答案：1.由题意得 ,且 ,且 ,可得 , ,2ca2211b22abca1b,所以椭圆 的方程为 .1cC2xy2.设直线 的方程为 , , ,则 ,联立方程l1yk1A2Bxy1Axy,2222140xyxkk则有 ,且 ,21224kx2224180kkk且直线 的方程为 ,AB212yx令 ,得到0y2212221212 241kkxxy kx 故直线 恒过定点 AB,0解析：22.答案：1.直线的参数方程为 ( 为参数),123xty由 ,得 ,即曲线 的直角坐标为8cos28xC2x-4y162.将 ( 为参数)代入 ,得 ,132ty2x-4y162370t设 所对应的参数为 ,则有 , , ,AB12t123t12t故 .2121211492837PABtttt解析：
