1、2.2.1 双曲线及其标准方程,1.双曲线的定义 (1)前提要素:平面内,一个动点M，两个_F1,F2,一个常数2a. (2)满足关系:_. (3)限制条件:_. (4)相关概念：两个定点F1,F2叫做双曲线的_，两个定点之 间的距离|F1F2|叫做双曲线的_.,定点,|MF1|-|MF2|=2a,2a|F1F2|,焦点,焦距,基础梳理,2.双曲线的标准方程,（-c,0）,(c,0),(0,-c),(0,c),a2+b2,1.双曲线中a，b，c的关系跟椭圆中a，b，c的关系有何区别？ 提示：双曲线中的a，b，c满足a2+b2=c2，而椭圆中a，b，c满足a2=b2+c2，双曲线中c最大,而椭圆
2、中a最大. 2.要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件？ 提示：要写出双曲线的标准方程需要确定a,b的值，最关键的还要确定焦点的位置.,思考运用,3.a=3,且焦点为F1（-5，0）、F2（5，0）的双曲线的标准方 程是_. 【解析】根据题意可得a=3,c=5,且焦点在x轴上, 又b2=c2-a2=25-9=16, 所以所求双曲线的标准方程为 答案：,1.对双曲线定义的理解 双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征,定义是判断动点轨迹是否是双曲线的重要依据.设集合P=M|MF1|-|MF2|=2a, |F1F2|=2c,其中a,c均为大于0的常数. 当2a2c时，集合P为双曲线； 当2a=2c时，集
3、合P为以F1，F2为端点的两条射线； 当2a2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在.,知识点拨,2.对双曲线标准方程的认识 (1)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x，y的平方差,并且分母大小关系不确定. (2)a，b，c三个量的关系： 标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中ab0,而双曲线中,a,b大小不确定.,题目类型一、双曲线的定义 【技法点拨】 双曲线定义中的限制条件 （1）动点到两定点的距离之差； （2）强调差的绝对值是常数； （3）常数小于两定点间的距离. 只要上述三个条
4、件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.,典例剖析,典例分析 1. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹为_. 2.动点P到点M(1,0)的距离与到点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是_.,1.由已知动点P到两定点M,N的距离之差是常数3，且3|MN|=4,所以动点P的轨迹是双曲线的一支， 又|PM|-|PN|0，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支. 答案：以M，N为焦点的双曲线的右支 2.由已知|PM|PN|2|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条以N为端点的射线 答案：以N为端点的射线,【思考】双曲线定义中去掉“绝对值”号，动点
5、的轨迹有何变化？第1题中如何具体判断是双曲线的哪一部分？ 提示：（1）若将双曲线定义中的绝对值号去掉，动点的轨迹成为双曲线中的一支. （2）当去掉绝对值号时，要分清动点到两个焦点距离的远与近，此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支.,【变式训练】双曲线 上一点P到点(5,0)的距离为 15，则点P到点(5,0)的距离为_. 【解析】双曲线的焦点为F2(5,0)和F1(5,0) 由|PF1|PF2|8. |PF1|15|8，|PF1|23或|PF1|7. 答案:7或23,题目类型二、双曲线标准方程的求法 【技法点拨】 1.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法:定义是研究双曲线问题的基础
6、和根本,根据双曲线 的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程. (2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 或 (a，b均为正数）,然后根据条件求出待定的系数代入方 程即可.,2.求双曲线标准方程的两个关注点 （1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式; （2）定量：“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.,【典例训练】 1. 已知双曲线C： 的焦距为10，点 P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为( ) (A) (B) (C) (D) 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程 (1)a4，且经过
7、点 (2)焦点在坐标轴上，且过点,【解析】1.选A.由焦距为10，知2c=10，c=5.将p（2,1）代入得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为2.(1)若所求双曲线的标准方程为 则将a4代入，得 又点 在双曲线上， 由此得b20，不合题意，舍去,若所求双曲线方程为 则将a4代入得 代入点 得b29， 双曲线的标准方程为,（2）解题流程:,【总结】（1）双曲线焦点的判断方法; （2）在双曲线焦点位置不明确的情况下,双曲线标准方程的求解方法. 提示：（1）双曲线的标准方程根据焦点位置不同有两种形式,观察双曲线的标准方程,x2,y2中哪一项的系数为正，
8、焦点就落在哪个轴上.,（2）当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两种思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意检验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(AB0)，这样求解时既避免了分类讨论，又简化了运算过程.,【变式训练】根据下列条件，求双曲线的标准方程: （1）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，且经过点（0，2） 与 （2） 经过点（-5，2），焦点在x轴上. 【解题指南】根据焦点位置设出相应的双曲线方程形式,再利 用待定系数法求标准方程.,【解析】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以 可设双曲线的方程为 又双曲线经过点（0，2）与 所以 所以双曲线方程为
9、,（2）焦点在x轴上， 设所求双曲线方程为 （其中06）. 双曲线经过点（-5，2）， =5或=30（舍去）. 所求双曲线方程是,1.双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(3,0)，b2，则双曲 线的标准方程是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选A.由题知b=2,c=3.a2=c2-b2=5. 又焦点在x轴上，故选A.,达标训练,2.双曲线方程为x22y21，则它的右焦点坐标为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选C.将双曲线方程化为标准形式 所以 右焦点坐标为,3.设是三角形的一个内角，且 则方程所表示的曲线为( ) (A)焦点在x轴上的椭圆 (B)焦点在y轴上的椭圆 (C)焦点在x轴上的双曲线 (D)焦点在y轴上的双曲线,【解析】选C.由 得sincos0, 又为三角形的一个内角,sin0,cos0, 方程表示的是焦点在x轴上的双曲线，故选C.,4.焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点 和的双曲线方程是_. 【解析】设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，把P，Q两点 的坐标代入，得 解得 所以双曲线的标准方程是 答案：,
