1、椭圆及其标准方程,1,一、有效情境创设,实验一：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在纸板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？,二、有效课前预习,圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的 点的集合。,画出的轨迹是圆,问题1：笔尖的轨迹是什么图形？ 问题2：画图过程中绳长变了吗？我们画出的曲线上的点到F1、F2两点的距离和相等吗？ 问题3：绳长与|F1F2|大小关系如何？影响轨迹的生成吗？,当绳长小于|F1F2|时呢？,实验二：如果把定长的细绳的两端拉开一段距离，分别固定在纸板的两点F1 ，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？,结论：绳长记为2a，
2、两定点间的距离记为2c(c0). （1）当2a2c时，轨迹是 ； （2）当2a=2c时，轨迹是 ； （3）当2a2c时， 。,椭圆,无轨迹,以F1、 F2为端点的线段,满足什么条件的动点的轨迹叫做椭圆？你能给出椭圆的定义吗？,椭圆的定义,我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和（2a）等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的集合表述：,求轨迹方程的步骤： 1、建立适当的坐标系 2、设动点坐标M(x,y) 3、列出等量关系 4、化简 5、检验,怎样才能得到椭圆的轨迹方程？,三、有效质疑
3、探究,怎样才能得到椭圆的轨迹方程？,问题1：类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程，观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？,问题2：椭圆上的点满足怎样的等量关系？,问题3：怎样化简方程,取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。,设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。,由定义知：,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,标准方程的推导:,整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),2a2c0，即ac0，a2-c20，,两边同除以a2(
4、a2-c2)得:,那么由式得,y,(-c,0),O,x,F1,F2,M,(c,0),(x,y),P,如图，点P是椭圆与y轴正半轴的交点,你能在图中找出 表示a，c， ， 的线段吗？,这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x轴上。,椭圆的标准方程 - 形1,它表示： (1)椭圆的焦点在x轴 (2)焦点是F1（-C，0）、F2（C，0） (3)c2= a2 - b2,椭圆的标准方程 - 形2,它表示： (1)椭圆的焦点在y轴 (2)焦点是F1（0，-c）、F2（0，c） (3)c2= a2 - b2,分母哪个大，焦点就在哪个轴上,平面内与两个定点F1，F2的距离之和等 于常数（大于F
5、1F2）的点的轨迹,根据所学知识完成下表,a2-c2=b2,例1.已知椭圆方程为 , 则(1)a= , b= , c= ;(2)焦点在 轴上,其焦点坐标为 , 焦距为 。(3)若椭圆方程为 ,其焦点坐标为 .,5,4,3,x,(0,-3) (0,3),6,(-3,0) (3,0),例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程.,解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,所以,又因为 ,所以,因此, 所求椭圆的标准方程为,例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0), 并且经过点 , 求它的标准方程.,联立,因此, 所求椭圆的标准方程为,求椭圆标准方程的解题步骤：,（1）确定焦点的位置；,（2）设出椭圆的标准方程；,（3）用待定系数法确定a、b的值，写出椭圆的标准方程.,解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程的两种形式；3、待定系数法求椭圆方程；4、类比的数学思想。,四、有效目标达成,本次课到此结束， 谢谢！再见！,
