1、变化率问题 变化率问题 即：研究某个变量相对于另一个变量变化 的 快慢程度 导数研究的问题 变化率问题 教材分析 函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容深而进入新课程，为研究函数提供了有力的工具，对函数的单调性，极值，最值等问题都得到了有效而彻底的解决。用导数方法研究函数问题是数学学习的必然也是高考命题的方向。而 本节课是学习导数的第一课时 ，俗话说，万事开头难，这个头开好了，能为今后的深入学习和探究打下良好的 知识基础和心理基础 重点：在实际背景下直观地实质地去理解平均变化率 难点：对生活现象作出数学解释 1.1.1变化率问题 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,
2、可以发现 ,随着气球内空气容量的增加 ,气球的半径增加越来越慢 .从数学角度 ,如何描述这种现象呢 ? 气球的体积 V(单位 :L)与半径 r (单位 :dm)之间的函数关系是 34()3V r r 如果将半径 r表示为体积 V的函数 ,那么 3 3()4VrV对思考的问题给一个科学的回答，就需要把这个生活现象从数学的角度，用数学语言进行描述，解决问题 对一种生活现象的数学解释 引导： 1这一现象中，哪些量在改变？ 2 变量的变化情况？ 3 引入气球平均膨胀率的概念 3 343( ) ( )34VV r r r V 当空气容量从增加时，半径增加了 r(1) r(0)= 0.62 当空气容量从加
3、时，半径增加了 r( ) r( )= 0. 分析一下 : 1、当 V从 0增加到 1时 ,气球半径增加了 气球的平均 膨胀率 为 2、当 V从 1增加到 2时 ,气球半径增加了 气球的平均 膨胀率 为 ( 1 ) ( 0) 0. 62 ( )r r dm( 1 ) ( 0 ) ( / )10 0 . 6 2rr d m L ( 2) ( 1 ) 0. 16 ( )r r dm( 2 ) ( 1 ) ( / )21 0 . 1 6rr d m L 显然0.620.16 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现 ,随着气球内空气容量的增加 ,气球的半径增加越来越慢 .从
4、数学角度 ,如何描述这种现象呢 ? 3 3()4VrV上述问题表明：随着气球体积的增加， 当吹入相同体积的气体时，气球半径的增 加量越来越小（半径的增加速度越来越慢）。 探究活动 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，我们把这一思路延伸到函数上，归纳一下得出函数的平均变化率 2 1 2 12 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )r V r V f x f xV V x x探究活动 思考：平均变化率的几何意义？ 引导学生研究以前学过和平均变化率差不多的表达式 斜率，再引导出平均变化率的几何意义就是两点间的斜率，最后给出 flash动画演示 加强学生对平均变化率的直观感受。 探究活动 观看 十运会
5、中跳水男子十米台田亮逆转夺冠 的影片剪辑，让同学们把这一生活现象用数学语言来解释，并描绘出田亮重心移动的图像 实践活动 假设相对于水面的高度 h(单位：米 )与起跳后的时间 t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.，那么田亮在 0秒到 0.5秒时间段内的平均速度是多少，在 1秒到 2秒时间段内呢，在 时间段内呢 ? 65049t问题 2 高台跳水 在 高台跳水运动中 ,运动员相对于水面的高度 h(单位：米 )与起跳后的时间 t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态 ? 请计算：
6、 0 0 . 5 2 :t t v 和 1 时 的 平 均 速 度h t o 我们发现：对于函数 h t o h(t)=-4.9t2+6.5t+10 平均变化率定义 : 若设 x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则 平均变化率 为 121) ( )fxxx2f(xfx121) ( )fxxx2f(x这里 x 看作是对于 x1的一个 “增量”“变化量”，可正可负但不能为零；可用 x1+x 代替 x2，即 x2=x1+x f=y=f(x 2)-f(x1) 上述问题中的变化率可用式子 表示 称为函数 f(x)从 x1到 x2的 平均变化率 表示函数关系，那么一般地，我们常用 )( xfy
7、思考 ? 观察函数 f(x)的图象 平均变化率 表示什么 ? 121) ( )fxyx x x2f(x的斜率。）连线直线（）（点表示对应函数图像上两即：函数的平均变化率AB)(,B)(,A 2211 xfxxfxO A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1= x f(x2)-f(x1)= y 直线 AB的斜率 课外思考 思考：关于田亮跳水的例子，当我们计算田亮在某一段时间里的平均变化率分别为正数，负数， 0的时候，其运动状态是怎样的？能不能用平均变化率精确的表示田亮的运动状态呢？ 小结 让学生再次巩固变化率的概念，并发现生活中和变化率有关的例子 1 、已知函
8、数 f(x)=-x2+x的图象上的一点 A(-1,-2)及临近一点 B(-1+x,-2+y),则 y/x=( ) A 3 B 3x-(x)2 C 3-(x)2 D 3-x D 2、求 y=x2在 x=x0附近的平均速度。 2x0+x 练习： 3322( 1 ) 1 3 3 ( ) 3 3 0 . 1 0 . 1 3 . 3 1( 1 )xk x xxx 3、过曲线 y=f(x)=x3上两点 P（ 1， 1）和 Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率 . 解： 练习： 1.t2质点运动规律s=t +3, 则在时间(3, 3+ t)中相应的平均速度为( )9A. 6+ t
9、 B. 6+ t+C.3 + t D. 9+ t 2.物体按照 s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动 ,求在 4s附近的平均变化率 . A 2 5 3 t教学反思 这节课主要是让学生体会平均变化率，让学生感受数学。高中正是学生人生观形成的重要时期，我觉得不仅要引导学生对数学的学习兴趣，让他们主动的学习数学，学会学习数学，如果还能在吸收知识的过程中教会他们学习做人 ，那真的是一箭双雕、一石二鸟的教学模式 小结： 1.函数的平均变化率： ()fxx 121) ( )fxxx2f(x2.求函数的平均变化率的步骤 : (1)求函数的增量 f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算 平均变化率 fx121) ( )fxxx2f(x即：平面直角坐标系中求两点间直线斜率公式。
