1、3.2 一次函数,结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式;会利用待定系数法确定一次函数的表达式;能画出一次函数的图象,根据一次函数的图象和表达式y=kx+b( k0 )探索并理解k0和k0时图象的变化情况;理解正比例函数;理解一次函数与二元一次方程的关系;能用一次函数解决简单的实际问题.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,一次函数的概念、图象和性质( 8年2考 ) 1.一次函数的概念 一般地,如果有y=kx+b( k,b为常数,且 k0 ),那么y叫做x的一次函数. 特别地,当b= 0 时,一次函数y=kx+b就成为y=kx( k为常数,k0 ),此时y叫
2、做x的正比例函数.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,2.一次函数的图象和性质,特别提醒 一次函数y=kx+b( k,b是常数,且k0 )与x轴( y=0 )的交点坐标是 ;与y轴( x=0 )的交点坐标是( 0,b ).,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,典例1 已知正比例函数y=kx( k0 )的函数值y随x的增大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是 ( ),【解析】正比例函数y=kx( k0 )的函数值y随x的增大而减小,k0, 一次函数y=x+k的一次项系数大于0,常数项小于0, 一次函数y=x+k的图象经过第一、三、
3、四象限,观察知B项正确. 【答案】 B,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,提分训练 1.对于函数y=-2x+2,下列结论:当x1时,y1时,y0,正确;它的图象经过第一、二、四象限,错误;它的图象必经过点( -2,-2 ),错误;y的值随x的增大而减小,错误.,A,考点扫描,考点1,考点2,考点3,素养提升,2.直线y=kx+k-2经过点( m,n+1 )和( m+1,2n+3 ),且-2k0,则n的取值范围是 ( ) A.-2n0 B.-4n-2 C.-4n0 D.0n-2,B,【解析】直线y=kx+k-2经过点( m,n+1 )和( m+1,2n+3 ),n=k-2.又-2k0,
4、-4n-2.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,一次函数表达式的确定( 8年4考 ) 1.待定系数法 先根据明确的函数关系,设出函数关系式中的 未知系数 ,再根据所给的条件求出待定的系数的值,从而求出函数关系式的方法,叫做待定系数法.其中设出的未知系数称为待定系数. 2.用待定系数法求函数表达式的一般步骤 ( 1 )根据明确的函数关系设出函数表达式的一般形式; ( 2 )把已知条件即自变量与函数的对应值代入到所设的“一般形式”中,得到关于待定系数的方程或方程组; ( 3 )解方程或方程组求出 待定系数 的值; ( 4 )将解得的待定系数的值代回所设的一般形式,即得到函数的表达式.,考
5、点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,名师指导 用待定系数法求一次函数解析式的基本类型: ( 1 )已知两对自变量和函数的对应值,分别代入所设的解析式中,即得到关于k,b的方程组,求出k,b即得函数关系式; ( 2 )已知一次函数的图象过两个点的坐标,分别把点的横坐标和纵坐标作为自变量和函数的对应值,用( 1 )的方法,即可求得函数关系式; ( 3 )已知一次函数的图象与一条已知直线平行,则所求一次函数的k与已知直线的“k”相等,再根据另外一个条件求出b,即可求得函数关系式; ( 4 )已知一次函数的图象求其解析式,需要设法找出图象上两个点的坐标,再按照( 2 )的方法即可求得函数解析式.
6、,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,3.一次函数图象的平移 左右平移: y=kx+b y=k( x-m )+b 上下平移: y=kx+b y=kx+b+n 特别提醒 ( 1 )一次函数图象的平移中,左右平移改变x的取值,上下平移改变y的取值;( 2 )平移的规律可记为“左加右减,上加下减”.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,典例2 如图,直线l上有一点P1( 2,1 ),将点P1先向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到点P2,点P2恰好在直线l上. ( 1 )点P2的坐标为 ; ( 2 )求直线l的函数表达式. 【解析】( 1 )根据点P1,P2的关系及点P1的坐标,即
7、可得出点P2的坐标;( 2 )根据点P1,P2的坐标,利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式. 【答案】 ( 1 )( 3,3 ). ( 2 )设直线l的函数表达式为y=mx+n( m0 ),将P1( 2,1 ),P2( 3,3 )代入y=mx+n,直线l的函数表达式为y=2x-3.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,提分训练 3.定义:直线y=ax+b与直线y=bx+a互为“友好直线”.如:直线y=2x+1与直线y=x+2互为“友好直线”. ( 1 )点M( m,2 )在直线y=-x+4的“友好直线”上,则m= ; ( 2 )直线y=4x+3上的一点M( m,n )又是它的“友好
8、直线”上的点,求点M的坐标; ( 3 )对于直线y=ax+b上的任意一点M( m,n ),都有点N( 2m,m-2n )在它的“友好直线”上,求直线y=ax+b的解析式.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,知识拓展 两直线的特殊的位置关系特性 1.已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2: 若l1l2,则k1=k2; 若k1=k2,且b1b2,则l1l2. 2.两直线垂直的结论: 已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,k1k20,若l1l2,则k1k2=-1;若k1
9、k2=-1,则l1l2.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,提分训练 4.在平面直角坐标系中,关于x的一次函数的图象经过点M( 4,7 ),且平行于直线y=2x. ( 1 )求该一次函数的表达式; ( 2 )若点N( a,b )是该一次函数图象上的点,且点N在直线y=3x+2的下方,求a的取值范围. 【答案】 ( 1 )一次函数的图象平行于直线y=2x, 可设该一次函数表达式为y=2x+b, 将点M( 4,7 )代入得8+b=7,解得b=-1, 该一次函数的表达式为y=2x-1. ( 2 )点N( a,b )是该一次函数图象上的点,b=2a-1. 又点N在直线y=3x+2的下方, 2
10、a-1-3.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,5.已知两直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,若l1l2,则有k1k2=-1. ( 1 )应用:已知y=2x+1与y=kx-1垂直,求k; ( 2 )若直线经过点A( 2,3 ),且与 垂直,求该直线的解析式.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,一次函数的应用( 8年5考 ) 1.利用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 ( 1 )任何一个二元一次方程组都可以化成两个一次函数的形式,作出相应的两个一次函数的图象,得到的交点的坐标,就是这个二元一次方程组的解. ( 2 )一次函数y=kx+b( k,b是常数,且
11、k0 )的图象位于x轴 上方 的部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b0的解集;同样,其图象位于x轴下方的部分对应的x的取值范围就是不等式 kx+b0 的解集. 名师指导 利用函数的图象解方程组或求不等式的解集,都是从“形”的角度研究代数问题,是“数”与“形”结合的体现.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,2.用一次函数解决实际问题 ( 1 )在现实的生活生产中存在很多有关一次函数的实际问题,我们要善于通过分析实际问题中的数量关系,尤其是两个变量之间的关系,建立一次函数模型,从而解决实际问题. ( 2 )找出一次函数的关系后,要注意根据实际意义确定自变量的 取值范围 .,考点1,考
12、点2,考点3,考点扫描,素养提升,典例3 ( 2018江苏盐城 )学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y( 米 )与时间t( 分钟 )之间的函数关系如图所示. ( 1 )根据图象信息,当t= 分钟时甲、乙两人相遇,甲的速度为 米/分钟; ( 2 )求出线段AB所表示的函数表达式.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,【解析】( 1 )根据图象信息,当t=24分钟时甲乙两人相遇,甲60分钟步行2400米,根据速度=路程时间可得甲的速度;( 2 )由t=24分钟时甲乙两人相遇,可得甲、乙两人的速度
13、和为240024=100米/分钟,减去甲的速度得出乙的速度,再求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标,用A点的横坐标乘以甲的速度得出A点的纵坐标,再将A,B两点的坐标代入,利用待定系数法即可求出线段AB所表示的函数表达式.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,【答案】 ( 1 )根据图象信息,当t=24分钟时甲、乙两人相遇,甲的速度为240060=40米/分钟. ( 2 )甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,t=24分钟时甲、乙两人相遇, 甲、乙两人的速度和为240024=100米/分钟, 乙的速度为100-40=60米/分钟. 乙从图书馆回学校的时间
14、为240060=40分钟,4040=1600, A点的坐标为( 40,1600 ). 设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b, A( 40,1600 ),B( 60,2400 ),线段AB所表示的函数表达式为y=40x.,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,提分训练 6.某市制米厂接到加工大米任务,要求5天内加工完220吨大米,制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务,乙车间加工中途停工一段时间维修设备,然后改变加工效率继续加工,直到与甲车间同时完成加工任务为止.设甲、乙两车间各自加工大米数量y( 吨 )与甲车间加工时间x( 天 )之间的关系如图1所示;未加工大米w( 吨 )与甲加工
15、时间x( 天 )之间的关系如图2所示,请结合图象回答下列问题:( 1 )甲车间每天加工大米 吨,a= . ( 2 )求乙车间维修设备后,乙车间加工大米数量y( 吨 )与x( 天 )之间函数关系式. ( 3 )若55吨大米恰好装满一节车厢,那么加工多长时间装满第一节车厢?再加工多长时间恰好装满第二节车厢?,考点1,考点2,考点3,考点扫描,素养提升,【答案】 ( 1 )由图象可知,第一天甲、乙共加工220-185=35吨,第二天,乙停止工作,甲单独加工185-165=20吨,则乙一天加工35-20=15吨,a=15. 故甲车间每天加工大米20吨,a=15. ( 2 )设y=kx+b,把( 2,1
16、5 ),( 5,120 )代入,考点扫描,素养提升,1.一次函数与不等式( 组 )、方程的实际应用 典例1 ( 2018江苏连云港 )某村在推进美丽乡村活动中,决定建设幸福广场,计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖.经过调査,获取信息如下:,如果购买红色地砖4000块,蓝色地砖6000块,需付款86000元;如果购买红色地砖10000块,蓝色地砖3500块,需付款99000元. ( 1 )红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元? ( 2 )经过测算,需要购置地砖12000块,其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半,并且不超过6000块,如何购买付款最少?请说明理由.,考点扫描,素养提升,【解析】(
17、1 )根据题意结合表格中数据,分别得出方程,即可得出答案;( 2 )利用已知得出x的取值范围,再利用一次函数增减性得出答案. 【答案】 ( 1 )设红色地砖每块a元,蓝色地砖每块b元,由题意可得,答:红色地砖每块8元,蓝色地砖每块10元.,考点扫描,素养提升,( 2 )设购置蓝色地砖x块,则购置红色地砖( 12000-x )块,所需的总费用为y元, 由题意可得x ( 12000-x ),解得x4000, 又x6000, 所以蓝砖块数x的取值范围为4000x6000. 当4000x5000时,y=10x+80.8( 12000-x )=76800+3.6x, 所以当x=4000时,y有最小值91
18、200; 当5000x6000时,y=0.910x+80.8( 12000-x )=2.6x+76800, 所以当x=5000时,y有最小值89800. 8980091200, 购买蓝色地砖5000块,红色地砖7000块,费用最少,最少费用为89800元.,考点扫描,素养提升,2.一次函数与几何图形的综合应用 典例2 ( 2018河北 )如图,直角坐标系xOy中,一次函数y=- x+5的图象l1分别与x,y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l2与l1交于点C( m,4 ).( 1 )求m的值及l2的解析式; ( 2 )求SAOC-SBOC的值; ( 3 )一次函数y=kx+1的图象为l3,且l
19、1,l2,l3不能围成三角形,直接写出k的值. 【解析】( 1 )先求得点C的坐标,再运用待定系数法即可得到l2的解析式;( 2 )过点C作CDAO于点D,CEBO于点E,则CD=4,CE=2,再根据点A( 10,0 ),点B( 0,5 ),可得AO=10,BO=5,进而得出SAOC-SBOC的值;( 3 )分三种情况进行求解即可.,考点扫描,素养提升,命题点1 一次函数图象与性质的综合( 常考 ) 1.( 2017安徽第9题 )已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数 的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1.则一次函数y=bx+ac的图象可能是( ),B,【解析】根据抛物线y=ax2+
20、bx+c与反比例函数 的图象在第一象限有一个公共点,可得b0,根据交点横坐标为1,可得a+b+c=b,所以a+c=0,则ac0,所以一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限.,2.( 2018安徽第13题 )如图,正比例函数y=kx与反比例函数 的图象有一个交点A( 2,m ),ABx轴于点B.平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l.则直线l对应的函数表达式是 .,命题点2 一次函数与反比例函数的综合( 常考 ) 3.( 2016安徽第20题 )详见专题八典例4 命题点3 一次函数表达式的确定( 常考 ) 4.( 2017安徽第22( 1 )题 )详见专题八典例5 命题点4 一次函
21、数的实际应用( 常考 ) 5.2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准,共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元,从2014年元月起,收费标准上调为:餐厨垃圾处理费100元/吨,建筑垃圾处理费30元/吨,若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化,就要多支付垃圾处理费8800元. ( 1 )该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨? ( 2 )该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨,且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍,则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元?,即该企业2013年处理的餐厨垃圾为80吨,建筑垃圾为200吨. ( 2 )设2014年该企业处理的餐厨垃圾为x吨,建筑垃圾为y吨,需要支付的这两种垃圾处理费是z元. 根据题意,得x+y=240且y3x,解得x60. z=100x+30y=100x+30( 240-x )=70x+7200. 由于z的值随x的增大而增大,所以当x=60时,z最小, 最小值z=7060+7200=11400元, 即2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元.,
