1、1.2 整 式,理解用字母表示数、代数式的实际背景或几何意义,理解代数式的值,熟练掌握整式的加、减、乘、除运算( 多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘 ),熟练地掌握乘法公式,了解整数的概念,了解整数指数幂的意义和基本性质,了解因式分解的意义,掌握用提公因式法、公式法进行因式分解( 指数是正整数,直接用公式不超过两次 ).,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,素养提升,考点6,列代数式( 8年2考 ) 1.代数式的概念 用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式. 名师点睛 代数式与公式、等式的区
2、别是代数式中不含等号,而公式和等式中都含有等号.,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,素养提升,考点6,2.列代数式 把问题中与数量有关的词语,用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.列代数式的常见模型有: ( 1 )原量a增加( 减少 )10%为a( 110% );比原量a的n倍多( 少 )m为 anm ; ( 2 )原价a的八折为a ;原价a按成本提高x%后再打七五折为 a( 1+x% )0.75 ; ( 3 )x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为 ax+by 元; ( 4 )每天完成的工作量为a,则要完成m的工作量所需时间为 天.,考点扫描,考点1,考点2,考点
3、3,考点4,考点5,素养提升,考点6,典例1 ( 2018芜湖模拟 )某市2017年生产总值( GDP )比2016年增长了12%,由于受到国际金融危机的影响,预计今年比2017年增长7%.若这两年GDP年平均增长率为x%,则x%满足的关系是 ( ) A.12%+7%=x% B.( 1+12% )( 1+7% )=2( 1+x% ) C.12%+7%=2x% D.( 1+12% )( 1+7% )=( 1+x% )2 【解析】设2016年的国内生产总值为1,2017年国内生产总值( GDP )比2016年增长了12%,2017年的国内生产总值为1+12%,2018年比2017年增长7%,201
4、8年的国内生产总值为( 1+12% )( 1+7% ),这两年GDP年平均增长率为x%,2018年的国内生产总值也可表示为( 1+x% )2,则x%满足的关系是( 1+12% )( 1+7% )=( 1+x% )2. 【答案】 D,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,素养提升,考点6,【变式拓展】 甲、乙、丙三家超市为了促销同一种定价为m元的商品,甲超市连续两次降价20%;乙超市一次性降价40%;丙超市第一次降价30%,第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.都一样 【解析】降价后三家超市的售价:甲为( 1-20% )2m=0
5、.64m,乙为( 1-40% )m=0.6m,丙为( 1-30% )( 1-10% )m=0.63m,因为0.6m0.63m0.64m,所以此时顾客要购买这种商品,最划算的超市是乙.,B,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,代数式求值( 8年1考 ) 用数值代替代数式中的 字母 ,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫做代数式的值. 名师点睛 列代数式的注意事项:( 1 )代入求值时,一般要先化简,再代入计算,这样能减少运算量;( 2 )代数式中的字母取值一定要使原代数式有意义.,【答案】 D,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6
6、,提分训练 1.( 2018湖南岳阳 )已知a2+2a=1,则3( a2+2a )+2的值为 . 【解析】利用整体思想代入计算即可.a2+2a=1,3( a2+2a )+2=31+2=5.,5,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,数式规律探究( 8年6考 ) 规律探究题是安徽中考必考题型,除2015年在填空题中考查、2010年在选择题中考查外,其余均在解答题中考查.此类题型主要考查学生通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程,来总结出一般性结论的能力.解决这类问题的一般思路是通过所给出的式子、图形进行观察、分析、比较,从而发现其中的规律,并猜想出一般性的结论,
7、然后再给出合理的证明或加以应用.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,典例3 观察下列各个等式的规律:,请用上述等式反映出的规律解决下列问题: ( 1 )直接写出第四个等式; ( 2 )猜想第n个等式( 用n的代数式表示 ),并证明你猜想的等式是正确的. 【解析】( 1 )根据题目中的式子的变化规律可以写出第四个等式;( 2 )根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n个等式并加以证明.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,提分训练,考点扫描,素养提升,考点1,考点
8、2,考点3,考点4,考点5,考点6,整数指数幂的意义和基本性质( 8年6考 ) 1.整数指数幂的运算性质 当m,n都是整数时,aman= am+n ;aman= am-n ( a0 );( am )n= amn ; ( ab )n= anbn ;,2.零指数幂与负整数指数幂 ( 1 )a0= 1 ( a0 ); ( 2 )a-p= ( a0,p是正整数 ).,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,典例4 ( 2018四川攀枝花 )下列运算结果是a5的 ( ) A.a10a2 B.( a2 )3 C.( -a )5 D.a3a2 【解析】a10a2=a8,A选项错误
9、;( a2 )3=a6,B选项错误;( -a )5=-a5,C选项错误; a3a2=a5,D选项正确. 【答案】 D 提分训练 3.( 2018山东滨州 )下列运算:a2a3=a6;( a3 )2=a6;a5a5=a;( ab )3=a3b3.其中结果正确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】a2a3=a5,错误;( a3 )2=a6,正确;a5a5=1,错误;( ab )3=a3b3,正确.正确的有2个.,B,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,整式( 8年3考 ) 1.整式的概念单项式 与 多项式 统称为整式. 2.同类项 ( 1 )同类
10、项:多项式中,所含 字母 相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项. ( 2 )合并同类项:把多项式中的 同类项 合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的 指数 不变. 3.整式的加减 一般地,几个整式相加减,如果有括号,就先去括号,然后再 合并同类项 . 名师点睛 整式的加减运算最终可归结为去括号、合并同类项.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,4.整式的乘法 ( 1 )单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. (
11、 2 )单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的 每一项 分别相乘,再把所得的积 相加 . ( 3 )多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积 相加 .,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,5.整式的除法 ( 1 )单项式与单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式. ( 2 )多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商 相加 . 6.乘法公式 ( 1 )完全平方公式:( ab )2= a22ab+b2 . ( 2 )平方差公式:
12、( a+b )( a-b )= a2-b2 .,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,典例5 ( 2018浙江衢州 )有一张边长为a厘米的正方形桌面,因为实际需要,需将正方形边长增加b厘米,木工师傅设计了如图所示的三种方案:,小明发现这三种方案都能验证公式:a2+2ab+b2=( a+b )2, 对于方案一,小明是这样验证的: a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=( a+b )2. 请你根据方案二、方案三,写出公式的验证过程. 【解析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程,本题得以解决.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,
13、考点5,考点6,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,提分训练 4.如图,从边长为( a+3 )的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形( 不重叠无缝隙 ),则拼成的长方形的另一边长是 a+6 .,【解析】拼成的长方形的面积=( a+3 )2-32=( a+3+3 )( a+3-3 )=a( a+6 ),拼成的长方形一边长为a,另一边长是a+6.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,5.( 2018四川乐山 )先化简,再求值:( 2m+1 )( 2m-1 )-( m-1 )2+( 2m )3
14、( -8m ),其中m是方程x2+x-2=0的根. 【答案】 原式=4m2-1-( m2-2m+1 )+8m3( -8m ) =4m2-1-m2+2m-1-m2 =2m2+2m-2 =2( m2+m-1 ), m是方程x2+x-2=0的根, m2+m-2=0,即m2+m=2, 原式=2( 2-1 )=2.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,因式分解( 8年6考 ) 1.因式分解 把一个多项式化为 几个最简整式的积 的形式,叫做把这个多项式因式分解. 2.因式分解的方法 ( 1 )提公因式法:把 公因式 提到括号外面,这样ma+mb+mc就分解成两个因式的积 m
15、( a+b+c ) ,这种因式分解的方法叫做提公因式法. ( 2 )公式法:利用 乘法公式 进行因式分解的方法叫做公式法. 温馨提示 ( 1 )因式分解时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,先提公因式,然后再考虑是否能用公式法分解;( 2 )因式分解一定要分解到不能再分解为止.,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,典例6 下列因式分解正确的是 ( ),B.x4-2x2+1=( x2-1 )2 C.xy2-3x2y+xy=xy( y-3x ) D.( x-3 )( x+4 )=x2+x-12,【解析】 ,A选项正确;x4-2x2+1=( x2-1 )2=( x+
16、1 )2( x-1 )2,B选项错误;xy2-3x2y+xy=xy( y-3x+1 ),C选项错误;( x-3 )( x+4 )=x2+x-12,不是因式分解,是整式的乘法,D选项错误. 【答案】 A,考点扫描,素养提升,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点6,提分训练 6.下列各式由左到右的变形中,属于分解因式的是 ( ) A.a( m+n )=am+an B.a2-b2-c2=( a-b )( a+b )-c2 C.10x2-5x=5x( 2x-1 ) D.x2-16+6x=( x+4 )( x-4 )+6x 【解析】A选项变形为去括号,不是因式分解;B选项等式右边没有化为几个整式
17、的乘积形式,不是因式分解;D选项等式右边没有化为几个整式的乘积形式,不是因式分解.,C,考点扫描,素养提升,“因式分解”中数学思想方法的应用多 1.数形结合思想在因式分解中的应用 典例1 如图所示,根据图形把多项式a2+5ab+4b2因式分解为 .,( a+b )( a+4b ),【解析】由图可知a2+5ab+4b2=( a+b )( a+4b ).,考点扫描,素养提升,2.归纳猜想思想在因式分解中的应用 典例2 观察下列等式:12-31=1( 1-3 ),22-32=2( 2-3 ),32-33=3( 3-3 ),42-34=4( 4-3 ),则第n个等式可表示为 . 【解析】由于每个等式第
18、一个数值由1的平方到2的平方逐渐增加,接着减去的是31,32等,等式右边是前面数字的一种组合,由此第n个等式可表示为n2-3n=n( n-3 ). 3.配方法在因式分解中的应用 典例3 若a2+2b2+5c2=4bc-2ab+2c-1,则a-b+c的值是 ( ) A.-3 B.0 C.1 D.2 【解析】a2+2b2+5c2=4bc-2ab+2c-1,a2+2b2+5c2-4bc+2ab-2c+1=0, ( a+b )2+( b-2c )2+( c-1 )2=0,a+b=0,b-2c=0,c-1=0,a=-2,b=2,c=1,a-b+c=-3.,n2-3n=n( n-3 ),A,考点扫描,素养
19、提升,4.因式分解中其他重要方法分组分解法 典例4 先阅读下面的材料,再分解因式. 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它的前两项分成一组,并提出a,把它的后两项分成一组,并提出b,从而得am+an+bm+bn=a( m+n )+b( m+n ).这时,由于a( m+n )+b( m+n )中又有公因式( m+n ),于是可提公因式( m+n ),从而得到( m+n )( a+b ),因此有am+an+bm+bn=( am+an )+( bm+bn )=a( m+n )+b( m+n )=( m+n )( a+b ). 这种因式分解的方法叫做分组分解法,如果把一个多项式各个项分组
20、并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.,考点扫描,素养提升,请用上面材料中提供的方法因式分解: ( 1 )ab-ac+bc-b2 =a( b-c )-b( b-c )( 请你完成分解因式下面的过程 ) = . ( 2 )m2-mn+mx-nx. ( 3 )x2y2-2x2y-4y+8. 【解析】根据分组分解法的概念即可求解. 【答案】 ( 1 )( a-b )( b-c ). ( 2 )m2-mn+mx-nx=m( m-n )+x( m-n )=( m+x )( m-n ). ( 3 )x2y2-2x2y-4y+8=x2y( y-2 )-4(
21、y-2 )=( y-2 )( x2y-4 ).,考点扫描,素养提升,5.因式分解中其他重要方法十字相乘法 典例5 计算( ax+b )( cx+d )=acx2+adx+bcx+bd=acx2+( ad+bc )x+bd,倒过来写可得acx2+( ad+bc )x+bd=( ax+b )( cx+d ).我们观察公式左边二次项系数为两个有理数的乘积,常数项也为两个有理数的乘积,而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果,这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法.如图1所示. 示例:因式分解:12x2-5x-2. 解:由图2可知12x2-5x-2=( 3x-2 )( 4x+1 ). 请根据示例
22、,对下列多项式因式分解: 2x2+7x+6; 6x2-7x-3.,考点扫描,素养提升,【解析】根据题意给出的因式分解法即可求出答案. 【答案】 2x2+7x+6=( x+2 )( 2x+3 ). 6x2-7x-3=( 2x-3 )( 3x+1 ).,命题点1 幂的运算性质( 常考 ) 1.( 2018安徽第3题 )下列运算正确的是 ( ) A.( a2 )3=a5 B.a4a2=a8 C.a6a3=a2 D.( ab )3=a3b3 【解析】根据幂的乘方的运算性质可知( a2 )3=a6,故A错误;根据同底数幂乘法的运算性质可知a4a2=a6,故B错误;根据同底数幂除法的运算性质可知a6a3=
23、a3,故C错误;根据积的乘方的运算性质可知( ab )3=a3b3,D正确. 2.( 2017安徽第2题 )计算( -a3 )2的结果是 ( ) A.a6 B.-a6 C.-a5 D.a5 【解析】( -a3 )2=( a3 )2=a6. 3.( 2012安徽第3题 )计算( -2x2 )3的结果是 ( ) A.-2x5 B.-8x6 C.-2x6 D.-8x5 【解析】根据积的乘方和幂的运算法则可得B正确.,D,A,B,命题点2 因式分解( 常考 ) 4.( 2018安徽第5题 )下列分解因式正确的是 ( ) A.-x2+4x=-x( x+4 ) B.x2+xy+x=x( x+y ) C.x
24、( x-y )+y( y-x )=( x-y )2 D.x2-4x+4=( x+2 )( x-2 ) 【解析】-x2+4x=-x( x-4 ),故A错误;x2+xy+x=x( x+y+1 ),故B错误;x2-4x+4=( x-2 )2,故D错误;x( x-y )+y( y-x )=x( x-y )-y( x-y )=( x-y )2,C正确. 5.( 2017安徽第12题 )因式分解:a2b-4ab+4b= . 【解析】先提出公因式b,再利用完全平方公式分解.原式=b( a2-4a+4 )=b( a-2 )2.,C,b( a-2 )2,命题点3 整式的运算( 常考 ) 6. 下列运算正确的是
25、( ) A.2x+3y=5xy B.5m2m3=5m5 C.( a-b )2=a2-b2 D.m2m3=m6 【解析】A选项中,2x和3y不是同类项,不能合并;B选项中,单项式乘单项式,系数相乘作为系数,字母及其指数按同底数幂相乘法则进行;C选项中,( a-b )2=a2-2ab+b2;D选项中,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,则m2m3=m5. 7.计算:( a+3 )( a-1 )+a( a-2 ). 解:原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.,B,命题点4 求代数式的值( 冷考 ) 8.已知x2-2x-3=0,则2x2-4x的值为 ( ) A.-6 B.6 C.-2或6 D.-2或30 【解析】x2-2x-3=0,x2-2x=3,2x2-4x=2( x2-2x )=23=6. 命题点5 用字母表示数( 常考 ) 9.( 2018安徽第18题 )详见专题一典例1 10.( 2017安徽第19题 )详见专题九典例4,B,
