1、数据分析 (方法与案例),作者 贾俊平,统计学基础,Fundamental Statistics,第 4 章 抽样与参数估计,4.1 抽样与抽样分布 4.2 参数估计的基本方法 4.3 总体均值的区间估计 4.4 总体比例的的区间估计 4.5 样本容量的确定,parameter estimation,2010年,学习目标,抽样方法与抽样分布 估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 总体均值的区间估计方法 总体比例的区间估计方法 样本容量的确定方法,2010年,统计应用 一次失败的民意调查,在1936年的美国总统选举前，一份名为Literary Digest 杂志进行了一次民意调查。调查的
2、焦点是谁将成为下一届总统是挑战者，堪萨斯州州长Alf Landon，还是现任总统 Franklin Delano Roosevelt 为了解选民意向，民意调查专家们根据电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了简单的调查表(电话和汽车在1936年并不像现在那样普及，但是这些名单比较容易得到)。尽管发出的调查表大约有一千万张，但收回的比例并不高。在收回的调查表中， Alf Landon非常受欢迎。于是该杂志预测 Landon 将赢得选举。但事实上是Franklin Roosevelt赢得了这次选举 调查失败的主要原因是抽样框出现了问题。在经济大萧条时期由于电话和汽车并不普及，只是富裕阶层才会拥有，
3、调查有电话和汽车的人们，并不能够反映全体选民的观点,2010年,参数估计在统计方法中的地位,4.1 抽样与抽样分布4.1.1 概率抽样方法4.1.2 抽样分布,第 4 章 抽样与参数估计,4.1.1 概率抽样方法,4.1 抽样与抽样分布,2010年,有关抽样的几个基本概念,1、全及总体全及总体又称总体或母体，是指研究对象的全体，它是由许多个性质相同的调查单位组成的，总体单位数通常用N表示 。,例如：全部职工、全部学生、全部产品,2010年,有关抽样的几个基本概念,2、抽样框目标总体规定了理论上的抽样范围，但是进行抽样的总体单位与目标总体有时是不一致的，因而，在抽样之前，还必须明确实际进行抽样的
4、总体范围和抽样单位。 抽样框是指用以代表总体，并从中抽选样本的一个框架。,目标总体与抽样框有时是一致的；多数情况下，目标总体的范围要率大于抽样框。,2010年,2、抽样框 抽样框的主要形式有三种： 名单抽样框：指可供抽取的所有抽样单位的名录一览表 例如：某地区企业名录，某校在籍学生花名册等。 区域抽样框：即按地理位置将实际进行抽样的总体范围划分为若干小区域，以每个小区域为抽样单位。 例如：调查不同地区的人均收入水平等。,有关抽样的几个基本概念,2010年,时间表抽样框：把总体的时间过程划分为若干个小的时间单位做为抽样单位。 例如：对流水线上24小时内生产的产品进行质量抽 查时，以10分钟为一个
5、抽样单位。,有关抽样的几个基本概念,对于抽样调查来说，样本的代表性如何，抽样调查最终推算的估计值真实性如何，首先取决于抽样框的质量。抽样框在抽样调查中处于基础地位，是抽样调查必不可少的部分，其对于推断总体具有相当大的影响。,区域抽样框,在商场的大门口,在微波炉柜台前,在市区街道旁边,在某个住宅小区,中山路 桥西区 桥东区 华北地区 东北地区 居民一组 居民二组 ,某外国公司在大连进行微波炉市场调查：,时间表抽样框,连续出产的产品总体可以编制抽样框：均匀的出产时间、可以预见到的产品总量。,连续到加油站加油的汽车总体无法编制抽样框：时间不定、总量也无法确定。,2010年,3、样本总体样本总体，又叫
6、子样，简称样本。它是从全及总体中随机抽取出来，用来代表全及总体的那部分单位构成的总体。样本总体的单位数用小写字母n表示，称为样本容量。,从某个城市职工家庭中随机抽取1000户进行调查，则这1000户组成的小总体即为样本，样本容量 n=1000。,例如：,有关抽样的几个基本概念,2010年,对于给定的研究对象，全及总体是唯一确定的，而样本总体不是唯一的，它是随机的。,4、抽样比抽样比是指在抽选样本时，所抽取的样本单位数n与总体单位数N之比。一般地讲，n30为大样本，n30为小样本。研究社会经济现象时，通常采用大样本进行抽样调查。,有关抽样的几个基本概念,2010年,概率抽样 (probabili
7、ty sampling),也称随机抽样 特点 按一定的概率以随机原则抽取样本 抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中 每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率,2010年,简单随机抽样 (simple random sampling),从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位进入样本的概率是相等的 最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础 特点 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本 用样本统计量对目标量进行估计比较方便 局限性 当N很大时，不易构造抽样框 抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难 没有
8、利用其它辅助信息以提高估计的效率,2010年,1、重复抽样重复抽样也叫重置抽样，是指每次抽取一个元素后又放回，重新参加下一次的抽选，直到抽取n个元素为止。全及总体单位数始终保持不变，每个总体单位都有被重复抽中的可能。,重复抽样通常要考虑单位排列顺序，如电话号码中的“8651”和“1568”不同。其样本可能数目为,抽样方法和样本可能数目,2010年,2、不重复抽样不重复抽样也叫不重置抽样，是指每次从总体中抽取一个元素后不再放回，从剩余的元素中抽取下一个元素，直到抽取n个元素为止。总体单位数在不断减少，每个总体单位不可能被重复抽中。,不重复抽样通常不考虑样本单位排列顺序，如篮球队的5个队员按其号码
9、“1,2,3,4,5”排队和“5,4,3,2,1”排队是同一个队。其样本可能数目为,抽样方法和样本可能数目,2010年,分层抽样 (stratified sampling),将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本例如：在企业职工收入抽样调查中，可按经济类型将职工分为全民企业职工、集体企业职工、中外合资企业职工等若干类，然后在各类型企业职工中分别抽取一定数目的职工构成样本。,2010年,优点 保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度 可以按自然区域或行政区域进行分层，组织实施调查方便 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计
10、 适用于总体情况复杂、各单位之间差异较大、单位较多的情况。,分层抽样 (stratified sampling),等比例分层抽样不考虑各组单位变异程度，从各组当中按同一比例抽取样本单位 不等比例分层抽样按各组单位变异程度大小来确定抽样单位数的多少，变异度大的类型组多抽一些，变异度小的少抽一些，不规定统一的抽样比,分层抽样的分类,实际工作中，由于事先很难了解各组单位变异程度，因此多采用等比例分层抽样方法,在分层抽样方式下，因为是每组都抽取样本单位，所以对于各组来说，可以看成全面调查，没有抽样误差。因此分层抽样方式下，组间方差不影响抽样误差，只有各组组内方差影响抽样误差。,对于给定的总体，方差（即
11、总方差）是一定的，划分层时应尽量增大层间差异，缩小层内差异。这是分层抽样法成功的关键。,2010年,系统抽样 (systematic sampling),将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位，也叫等距抽样或机械抽样。 先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位 优点：操作简便，样本分布均匀，可提高估计的精度 缺点：对估计量方差的估计比较困难,2010年,系统抽样按照排队时所依据的标志不同，可分为按无关标志排队和按有关标志排队。,系统抽样 (systematic
12、sampling),按无关标志排队，是指用来排队的标志与调查研究的标志无关 例如：研究工人的平均收入水平时，将工人按照姓氏笔画顺序排列；在产品连续生产过程中进行质量检查，每隔一定时间抽取一次样品等,2010年,按有关标志排队，是指用来排队的标志与调查研究的数量有直接关系 例如：研究职工工资收入时按职工的职别排队；农产品调查以往年的平均亩产作为排队标志,系统抽样 (systematic sampling),系统抽样一定是不重复抽样。按无关标志排队，其抽样效果相当于简单随机抽样；按有关标志排队，其抽样效果相当于分层抽样，其样本的代表性优于无关标志排队的系统抽样。,2010年,系统抽样 (syste
13、matic sampling),系统抽样的实施步骤,按照某种顺序给总体中个体排列编号，然后从某个随机位置开始每隔一定号数抽取一个个体，直至抽够。,抽样间隔=总体单位数/样本单位数,例如：要从500件产品中抽取10件，则间隔为50,2010年,系统抽样 (systematic sampling),注意：系统抽样的第一个样本单位位置确定以后，其余样本单位的位置也就随之确定了。因此，要避免由抽样间隔和现象本身的周期性节奏相重合而引起的系统性影响。例如，农产品调查时，农作物的抽样间隔不宜和垅的长度相等；工业产品质量检查时，产品的抽样间隔不要和上下班的时间相一致，以防止发生系统性误差。,2010年,整群
14、抽样 (cluster sampling),将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查 特点 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施 缺点是估计的精度较差 在群间差异性不大或者不适宜单个地抽选调查样本的情况下，可采用这种方式。,例如：对农民的人均收入进行调查，可以先将总体分群，如农村的乡、村、组等，然后进行整群抽样；对某工厂生产线生产的产品进行质量调查，在规定时间内，每隔24小时抽取1小时的全部产品加以检查。,整群抽样是用抽中群的统计量来估计总体参数，如果所有各群的结构都相同或相近，则被抽中的群就能较好
15、地代表总体的所有群，抽样误差就会很小。所以整群抽样的误差主要取决于群间方差的大小，而与群内方差无关。这一特点刚好与分层抽样相反。,4.1.2 抽样分布,4.1 抽样与抽样分布,2010年,抽样的数理基础,抽样调查 数理基础,抽样分布,大数定律,正态分布,中心极限定理,2010年,抽样分布的形成过程,样本统计量的概率分布,2010年,在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布 是一种理论分布 样本统计量是随机变量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 样本统计量为我们提供了长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性
16、的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),2010年,容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布 一种理论概率分布 进行推断总体总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,2010年,样本均值的抽样分布 (例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,2010年,样本均值的抽样分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,2010年,样本均值的抽样分布 (例题分析), 计算出各
17、样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,X,样本均值的抽样分布,1.0,0,0.1,0.2,0.3,P (X ),1.5,3.0,4.0,3.5,2.0,2.5,2010年,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值分布,2010年,大数定律,在对某一现象观察过程中，由大量相互独立的随机变量构成的总体，由于受偶然因素的影响，每次所得到的结果不同，但经过大量观察并加以综合平均后，消除了偶然因素引起的差异，而接近于总体的平均值，使现象总体某一方面的规律在数量上、质量上显示出来。,例如：抛硬币实验,通常以平均数或比例的形式表现,1.独立同分布
18、大数定律（说明平均数具有稳定性）,独立同分布的随机变量： ， 设它们的平均数为 ，方差为 ，则对任意小的正数，有：,2.贝努力大数定律（说明比例具有稳定性）,设m是n次独立随机试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对于任意小的正数，有,2010年,大数定理从理论上揭示了样本和总体之间的内在联系，即随着抽样单位数n的增大，样本平均数有接近总体平均数的趋势，样本成数有接近总体成数的趋势。,注意：,第一、抽样必须遵循随机原则。 第二、抽样必须遵循大量原则。,大数定律,2010年,正态分布,正态分布在抽样理论中占有非常重要的地位： 大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布，如测量误
19、差，同龄男性的身高、体重、智商和肺活量，设备使用寿命，一定条件下某种农作物的产量等。它们的共同特点是中间多两端小，即离均值越近的数值越常见；反之，离均值越远的数值越少见。由于正态分布特有的数学性质，使之成为许多概率分布的极限分布，其他一些分布的概率可由正态分布来近似计算，如当试验次数n很大时，二项分布可用正态分布来近似。,2010年,例如：人类的身高、产品的寿命、加工零件的尺寸等。,正态分布基本指这样的分布：在总体平均数及其附近，总体单位数最多；相反地，越远离总体平均数，总体单位数越少。也就是说，越接近总体平均数的变量值出现的次数越多，概率也就越大；反之，越远离总体平均数的变量值出现的次数就越
20、少，概率也就越小。,正态分布,2010年,1、正态分布是钟型对称分布，对称线为总体平均数，整个曲线下的面积等于1。总体平均数将分布曲线截为两段互为镜像的曲线，两段曲线下的面积相等，各为1/2。,正态分布的特征,2010年,2、在总体平均数处，正态分布的概率密度最大，当远离总体平均数时，概率密度的值随着距离的增加而递减。,X,f(x),正态分布的特征,2010年,3、在距离总体平均数一个标准差的位置上，即 时，曲线有两个拐点。,正态分布的特征,2010年,4、正态分布的位置及形状由总体平均数和总体标准差决定，总体平均数决定正态分布中心的位置；,正态分布的特征,2010年,4、总体标准差决定正态分
21、布的宽窄的形状。,0,正态分布的特征,标准正态分布,2010年,当被抽样总体服从正态分布时，样本平均数的抽样分布具有下列重要性质：,样本平均数的分布仍然是正态分布； 样本平均数分布的平均值等于总体平均数； 样本平均数分布的方差等于总体方差除以样本容量。,正态分布的特征,2010年,样本均值的抽样分布 与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n),2010年,中心极限定理 (central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本
22、，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,2010年,中心极限定理 (central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,2010年,抽样分布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值 正态分布,样本均值 正态分布,样本均值 非正态分布,2010年,样本均值的抽样分布 (数学期望与方差),样本均值的数学期望样本均值的方差 重复抽样不重复抽样,2010年,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为样本比例可表示为
23、,样本比例的抽样分布 (比例proportion),2010年,容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布 推断总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,2010年,样本比例的数学期望样本比例的方差 重复抽样不重复抽样,样本比例的抽样分布 (数学期望与方差),2010年,统计量的的标准误,样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，有时也称为标准误差 标准误衡量的是统计量的离散程度，它测度了用样本统计量来估计总体参数的精确程度,2010年,均值的标准误,所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度 计算公式为
24、,（总体方差已知）,（总体方差未知）,4.2 参数估计的基本原理4.2.1 估计量与估计值4.2.2 点估计与区间估计,第 4 章 抽样与参数估计,4.2.1 估计量与估计值,4.2 参数估计的基本原理,2010年,参数估计(parameter estimation)就是用样本统计量去估计总体的参数 估计量：用于估计总体参数的统计量的名称 如样本均值，样本比例，样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 参数用 表示，估计量用 表示 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是 的估计值,估计量与估计值 (estimator & estimate
25、d value),4.2.2 点估计与区间估计,4.2 参数估计的基本原理,2010年,点估计 (point estimate),用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 无法给出估计值接近总体参数程度的信息 由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值 一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量 可在对总体指标准确性要求不高时使用。,2010年,区间估计 (interval estimate),在点估计的基础上，给出总
26、体参数估计的一个估计区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%,2010年,区间估计的图示,x,2010年,将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置信度 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10,置信水平 (confidence level),2010年,置信区间与置信水平的关系,2010年,由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水
27、平下的估计区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。同样，其他置信水平的区间也可以用类似的方式进行表述,置信区间的表述 (confidence interval),2010年,总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有的区间都包含总体参数 实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%)下
28、的置信区间。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,置信区间的表述 (confidence interval),2010年,置信区间的表述 (95%的置信区间),从均值为185的总体中抽出n=10的20个样本构造出的20个置信区间, 我没有抓住参数！,点估计值,2010年,当抽取了一个具体的样本，用该样本所构造的区间是一个特定的常数区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值，因为它可能是包含总体均值的区间中的一个，也可能是未包含总体均值的那一个 一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以
29、多大的概率包含总体参数”的问题 置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言的,置信区间的表述 (confidence interval),2010年,使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能性包含参数 但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义 比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很准确，但把握性就会降低，除非无
30、限制增加样本量，而现实中样本量总是有限的 区间估计总是要给结论留点儿余地,置信区间的表述 (confidence interval),4.3 总体均值的区间估计4.3.1 正态总体、方差已知或非正态总体、大样本4.2.2 正态总体、方差未知、小样本,第 4 章 抽样与参数估计,4.3.1 正态总体、方差已知 或非正态总体、大样本,4.3 总体均值的区间估计,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) 使用正态分布统计量 z 构造置信区间,总体均值 在1- 置信水
31、平下的置信区间为,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),【例4.2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得： 。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1
32、-置信水平下的置信区间为,该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),解：已知N(，0.152)，x2.14, n=9, 1- = 0.95，/2=1.96总体均值的置信区间为,我们可以95的概率保证该种零件的平均长度在21.30221.498 mm之间,【例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取件，测得其平均长度为21.4 mm。已知总体标准差 =0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),【例
33、4.3】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得： ，总体均值在1- 置信水平下的置信区间为,投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),解：已知 x26, =6，n=100, 1- = 0.95，/2=1.96,我们可以95的概率保证平均每天参加锻炼的时间在24.82427.1
34、76 分钟之间,【例】某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以95的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体方差为36小时）。,4.3.2 正态总体、方差未知、小样本,4.3 总体均值的区间估计,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差未知、小样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,但方差() 未知 小样本 (n 30) 使用 t 分布统计量构造置信区间,总体均值 在1-置信水平下的置信区间为,2010年,T 统计量的分布,设X1，X2，Xn1是来自正态总体N(1,12 )的一个样本， 称,为统计量,它服从自由度为
35、(n-1)的t 分布,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差未知、小样本),【例5.3】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差未知、小样本),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131根据样本数据计算得： ，总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h1503.2h,2010年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差未知、小样本),解：已知N(，2)，x=50, s=8， n=
36、25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。,我们可以95的概率保证总体均值在46.6953.30 之间,【例】从一个正态总体中抽取一个随机样本， n = 25 ，其均值x = 50 ，标准差 s = 8。 建立总体均值m 的95%的置信区间。,2010年,总体均值的区间估计 (小结),4.4 总体比例的区间估计,第 4 章 抽样与参数估计,2010年,总体比例的区间估计 (一个总体比例),1. 假定条件 总体服从二项分布 可以由正态分布来近似 np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10 使用正态分布统计量 z 构造置信区间,3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为,20
37、10年,总体比例的区间估计 (例题分析),【例4.5】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%,2010年,解：已知 n=200 ，p0.7 ，= 0.95，/2=1.96,我们可以95的概率保证该企业职工由于同管理人员不能融洽相处而离开的比例在63.6%76.4%之间,【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人
38、组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95%的置信区间。,总体比例的区间估计 (例题分析),2010年,总体参数区间估计使用的分布 (小结),2010年,总体参数的区间估计 (小结),4.5 样本量的确定4.5.1 估计总体均值时样本量的确定4.5.2 估计总体比例时样本量的确定,第 4 章 抽样与参数估计,4.5.1 估计总体均值时样本量的确定,4.5 样本量的确定,2010年,估计总体均值时样本量n为样本量n与总体方差 2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为：在其他条件不变的情况下 与总
39、体方差成正比 与边际误差的平方成反比 与可靠性系数成正比 样本量的圆整法则：当计算出的样本量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如24.68取25，24.32也取25等等,估计一个总体均值时样本量的确定,其中：,2010年,估计一个总体均值时样本量的确定 (例题分析),【例4.6】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本量？,2010年,估计一个总体均值时样本量的确定 (例题分析),解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， z/2=1.96应抽取的样本量为,即应抽取97人作为样
40、本,2010年,样本容量的确定 （实例）,解:已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.96，E=500,应抽取的样本容量为,【例】一家广告公想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少。经验表明，总体方差约为1800000元。如置信度取95%，并要使估计处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告公司应抽多大的样本？,4.5.2 估计总体比例时样本量的确定,4.5 样本量的确定,2010年,根据比例区间估计公式可得样本量n为,估计一个总体比例时样本量的确定,E的取值一般小于0.1 未知时，可取使方差达到最大的值0.5,其中：,2010年,估计总体比例时样本量的确定 (例题分析),【例4
41、.7】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求边际误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？,解:已知=90%，=0.05， z/2=1.96，E=5%,应抽取的样本量为,应抽取139个产品作为样本,2010年,样本容量的确定 （实例）,【例】一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对比例 的估计误差不超过0.05，要求的可靠程度为95%，应抽多大容量的样本（没有可利用的 估计值）。,解: 已知E=0.05，=0.05，Z/2=1.96，当 未知时用最大方差0.5代替,应抽取的样本容量为,2010年,确定样本容量的注意事项,1、对同
42、一总体既需要进行平均数推断，又需要进行比率推断时，按各自要求可能确定二个必要抽样数目，为了兼顾二者的共同要求，通常采用其中较大的n值作为统一的抽样单位数。,2、在抽样推断的实际操作中，一般按重复抽样的公式确定必要抽样数目，按不重复抽样的方法来具体抽选调查单位，最后又按重复抽样的平均误差公式来计算抽样平均误差进行推断。以便使推断的把握程度更大。,2010年,3、总体方差近似值的取值方法 根据以往调查的经验数据（取较大者） 采用试点调查以样本方差来代替 根据总体的分布及其数学性质加以推算 如总体近似正态分布时，若能获得全距的信息，如95%全距大致为100，则 ，可以推断方差为 比率的方差可以用最大值来代替,确定样本容量的注意事项,2010年,本章小结,抽样方法与抽样分布 估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 总体均值的区间估计方法 总体比例的区间估计方法 样本容量的确定方法,结 束,THANKS,
