1、专题突破练 24 7.17.3 组合练(限时 90 分钟,满分 100 分)一、选择题(共 9 小题,满分 45 分)1.(2018 浙江卷,2)双曲线 -y2=1 的焦点坐标是( )A.(- ,0),( ,0) B.(-2,0),(2,0)C.(0,- ),(0, ) D.(0,-2),(0,2)2.圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( )A.- B.- C. D.23.(2018 北京卷,理 7)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cos ,sin )到直线 x-my-2=0 的距离.当 ,m 变化时 ,d 的最大值为( )A.1
2、 B.2 C.3 D.44.已知点 P 在抛物线 x2=4y 上,则当点 P 到点 Q(1,2)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )A.(2,1) B.(-2,1) C. D.5.(2018 河北唐山三模,理 5)已知双曲线 E: =1(a0,b0)的两条渐近线分别为 l1,l2,若 E的一个焦点 F 关于 l1 的对称点 F在 l2 上,则 E 的离心率为 ( )A. B.2 C. D.6.已知点 P(x,y)是直线 kx=y+4(k0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B 为切点,若四边形 PACB 面积的最小值是 2
3、,则 k 的值是( )A. B. C.2 D.27.(2018 山东济宁一模,文 12)已知 F1,F2 是双曲线 C: =1(a0,b0)的左、右焦点,若直线 y= x 与双曲线 C 在第一象限交于点 P,过 P 向 x 轴作垂线,垂足为 D,且 D 为 OF2(O 为坐标原点)的中点,则该双曲线离心率为 ( )A. B.C. +1 D. +18.已知 A,B 为抛物线 E:y2=2px(p0)上异于顶点 O 的两点,AOB 是等边三角形,其面积为 48,则 p 的值为 ( )A.2 B.2 C.4 D.49.已知椭圆 =1(ab0)的半焦距为 c(c0),左焦点为 F,右顶点为 A,抛物线
4、 y2= (a+c)x 与椭圆交于 B,C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是 ( )A. B. C. D.二、填空题(共 3 小题,满分 15 分)10.已知 P 是抛物线 y2=4x 上任意一点,Q 是圆( x-4)2+y2=1 上任意一点,则|PQ|的最小值为 . 11.(2018 辽宁抚顺一模,文 15)已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的左焦点为 F,右顶点为 A,若线段 FA 的垂直平分线与双曲线 C 没有公共点,则双曲线 C 的离心率的取值范围是 . 12.(2018 江苏卷,12)在平面直角坐标系 xOy 中,A 为直线 l:y=2x 上在第一象限内的点,B(5
5、,0),以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若 =0,则点 A 的横坐标为 . 三、解答题(共 3 个题,分别满分为 13 分,13 分,14 分)13.(2018 河南郑州一模,文 20)已知圆 C:x2+y2+2x-2y+1=0 和抛物线 E:y2=2px(p0),圆心 C 到抛物线焦点 F 的距离为 .(1)求抛物线 E 的方程;(2)不过原点的动直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且满足 OAOB.设点 M 为圆 C 上任意一动点,求当动点 M 到直线 l 的距离最大时的直线 l 方程.14.(2018 河北石家庄一模,文 20)已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右
6、焦点分别为 F1,F2,且离心率为 ,M 为椭圆上任意一点 ,当F 1MF2=90时, F1MF2 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程;(2)已知点 A 是椭圆 C 上异于椭圆顶点的一点,延长直线 AF1,AF2 分别与椭圆交于点 B,D,设直线 BD 的斜率为 k1,直线 OA 的斜率为 k2,求证:k 1k2 为定值.15.(2018 山东烟台二模,文 20)已知椭圆 C: =1(ab0),点 3, 在椭圆上,过 C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为 .(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过点 A(-2,0)作两条相交直线 l1,l2,l1 与椭圆交于 P,Q 两点(点 P 在点 Q 的
7、上方), l2 与椭圆交于 M,N 两点(点 M 在点 N 的上方 ),若直线 l1 的斜率为- ,SMAP = SNAQ ,求直线 l2 的斜率.参考答案专题突破练 24 7.1 7.3 组合练1.B 解析 a2=3,b2=1, c2=a2+b2=3+1=4. c=2.又焦点在 x 轴上 , 焦点坐标为(- 2,0),(2,0).2.A 解析 由 x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1) 2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4) .因为圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,所以=1,解得 a=- ,故选 A.3.C 解析 设 P(x,
8、y),则 x2+y2=1.即点 P 在单位圆上,点 P 到直线 x-my-2=0 的距离可转化为圆心 (0,0)到直线 x-my-2=0 的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为 d=1+ =1+ .当 m=0 时,d max=3.4.D 解析 如图,由几何性质可得,从 Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将 x=1 代入 x2=4y,可得 y= ,点 P 到点 Q(1,2)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为 ,故选 D.5.B 解析 不妨设右焦点 F(c,0)关于 l1:y= x 的对称点在 l2:y=- x 上,设对称点 F的坐标为 m,-
9、m ,则即解得 b2=3a2,所以 c2=4a2,e=2.6.C 解析 圆的方程为 x2+(y-1)2=1, 圆心 C(0,1),半径 r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点 P 的距离最小时 ,即距离为圆心到直线 l 的距离最小时,切线长 PA,PB 最小.切线长为 2, |PA|=|PB|=2, 圆心到直线 l 的距离为 d= .直线方程为 y+4=kx,即 kx-y-4=0, ,解得 k=2, k0, 所求直线的斜率为 2.故选 C.7.D 解析 由题意得,连接 PF1,PF2,则 POF2 为等边三角形,所以 OP=OF1=OF2,则PF 1F2 为直角三角形 ,且 PF2=c
10、,PF1= c,又因为|PF 1|-|PF2|=2a,所以 c-c=2a,所以 e= +1,故选 D.8.A 解析 设 B(x1,y1),A(x2,y2), |OA|=|OB|, .又 =2px1, =2px2, +2p(x2-x1)=0,即(x 2-x1)(x1+x2+2p)=0. x1,x2 与 p 同号, x1+x2+2p0, x2-x1=0,即 x1=x2.由抛物线对称性,知点 B,A 关于 x 轴对称,不妨设直线 OB 的方程为 y= x,联立 y2=2px,解得 B(6p,2 p), |OB|= =4 p, (4 p)2=48 , p=2,故选 A.9.D 解析 由题意得 A(a,
11、0),F(-c,0), 抛物线 y2= (a+c)x 与椭圆交于 B,C 两点, B,C 两点关于 x 轴对称,可设 B(m,n),C(m,-n), 四边形 ABFC 是菱形, m= (a-c),将 B(m,n)代入抛物线方程,得 n2= (a+c)(a-c)= b2, B (a-c), b ,再代入椭圆方程,得 =1,化简整理,得 4e2-8e+3=0,解得 e= e= 1不合题意,舍去 ,故答案为 .10.2 -1 解析 设 P 点坐标为 m2,m ,圆(x- 4)2+y2=1 的圆心为 A(4,0),|PA|2= m2-4 2+m2= (m2-8)2+1212,则|PQ| min=|PA
12、|min-1=2 -1.11.(1,3) 解析 F(-c,0),A(a,0), 线段 FA 的垂直平分线为 x= , 线段 FA 的垂直平分线与双曲线 C 没有公共点, -a1, 10),则由圆心 C 为 AB 的中点得 C ,C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0.将其与 y=2x 联立解得 xD=1,D(1,2).因为 =(5-a,-2a),=0,所以(5-a) +(-2a)(2-a)=0,即 a2-2a-3=0,解得 a=3 或 a=-1.因为 a0,所以 a=3.13.解 (1)圆 C 的方程可化为(x+1) 2+(y-1)2=1,则圆心 C 为 C(-1,1). F ,0 ,
13、|CF|= ,解得 p=6. 抛物线的方程为 y2=12x.(2)设直线 l 的方程为 x=my+t(t0),A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线方程联立可得 y2-12my-12t=0, y1+y2=12m,y1y2=-12t. OA OB, x1x2+y1y2=0,即(m 2+1)y1y2+mt(y1+y2)+t2=0.整理可得 t2-12t=0, t0, t=12. 直线 l 的方程为 x=my+12,故直线 l 过定点 P(12,0). 当 CNl 时 ,即动点 M 经过圆心 C(-1,1)时到动直线 l 的距离取得最大值.当 CPl 时,即动点 M 经过圆心 C(-1,1)时
14、到动直线 l 的距离取得最大值.kMP=kCP= =- , m= ,此时直线 l 的方程为 x= y+12,即为 13x-y-156=0.14.解 (1)设|MF 1|=r1,|MF2|=r2,由题知解得 a= ,c=1,则 b2=1, 椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)设 A(x0,y0)(x0y00),B(x1,y1),C(x2,y2),当直线 AF1 的斜率不存在时,设 A -1,则 B -1,- ,直线 AF2 的方程为 y=- (x-1),代入 +y2=1,可得 5x2-2x-7=0. x2= ,y2=- ,则 D ,- . 直线 BD 的斜率为 k1= ,直线 OA 的斜率为
15、k2=- , k1k2= - =- .当直线 AF2 的斜率不存在时,同理可得 k1k2=- .当直线 AF1,AF2 的斜率存在时,x 01,设直线 AF1 的方程为 y= (x+1),则由 消去 x 可得(x0+1)2+2 x2+4 x+2 -2(x0+1)2=0,又 =1,则 2 =2- ,代入上述方程可得(3+2x 0)x2+2(2- )x-3 -4x0=0, x1x0= , x1= ,则 y1= +1 =- , B - ,- ,设直线 AF2 的方程为 y= (x-1),同理可得 D , 直线 BD 的斜率为 k1= , 直线 OA 的斜率为 k2= , k1k2= =- .所以,直
16、线 BD 与 OA 的斜率之积为定值- ,即 k1k2=- .15.解 (1)由已知得解得故椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)由题设可知:l 1 的直线方程为 x=-7y-2.联立方程组整理,得 85y2+28y-32=0.yP= ,yQ=- . . SMAP= SNAQ, |AM|AP|sin = |AN|AQ|sin ,即 .设 l2 的直线方程为 x=my-2(m0).将 x=my-2 代入 +y2=1 得( m2+36)y2-4my-32=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1+y2= ,y1y2=- .又 y1=- y2, - y2+y2= ,- =- . y2=- . - 2= .解得 m2=4, m=2.故直线 l2 的斜率为 .
