1、专题突破练 12 等差、等比数列的综合问题1.(2018 北京东城一模,文 15)已知 Sn是等差数列a n的前 n 项和,且 a3=-6,S5=S6.(1)求a n的通项公式;(2)若等比数列b n满足 b1=a2,b2=S3,求 bn的前 n 项和.2.已知a n是公差为 3 的等差数列,数列b n满足 b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求a n的通项公式;(2)求b n的前 n 项和.3.(2018 北京西城一模,文 15)设等差数列a n的公差不为 0,a2=1,且 a2,a3,a6 成等比数列.(1)求a n的通项公式;(2)设数列a n的前 n 项和为 Sn
2、,求使 Sn35 成立的 n 的最小值 .4.已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn,a1=3,且 3S1,2S2,S3 成等差数列 .(1)求数列a n的通项公式;(2)设 bn=log3an,求 Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1.5.(2018 北京顺义一模,文 16)已知a n是等差数列,b n是单调递增的等比数列,且a2=b2=3,b1+b3=10,b1b3=a5.(1)求a n的通项公式;(2)设 cn= 求数列c n的前 n 项和.6.设a n是公比大于 1 的等比数列,S n为数列a n的前 n 项和,已知 S3=7,且 a1+3
3、,3a2,a3+4 构成等差数列.(1)求数列a n的通项;(2)令 bn=ln ,n=1,2,求数列 bn的前 n 项和 Tn.7.(2018 山西吕梁一模,文 17)已知a n是首项为 1 的等比数列,数列b n满足 b1=2,b2=5,且anbn+1=anbn+an+1.(1)求数列a n的通项公式;(2)求数列b n的前 n 项和.8.(2018 天津卷,文 18)设 an是等差数列,其前 n 项和为 Sn(nN *);bn是等比数列,公比大于0,其前 n 项和为 Tn(nN *).已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.(1)求 Sn和 Tn;(2)若
4、Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数 n 的值.参考答案专题突破练 12 等差、等比数列的综合问题1.解 (1)设等差数列 an的公差为 d.因为 S5=S6,所以 a6=a3+3d=0.因为 a3=-6,所以 d=2,a1=-10.所以 an=2n-12.(2)设等比数列b n的公比为 q.由(1)可知,b 1=-8,b2=-24,所以 q=3.数列b n的前 n 项和为 =4(1-3n).2.解 (1)由已知 ,a1b2+b2=b1,b1=1,b2= ,得 a1=2.所以数列 an是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an=3n-1.(2)由(1)和 anbn+1
5、+bn+1=nbn得 bn+1= ,因此b n是首项为 1,公比为 的等比数列.记 bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn= .3.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,d0. a2,a3,a6 成等比数列, =a2a6,即(1+d) 2=1+4d,解得 d=2 或 d=0(舍去 d=0), an=a2+(n-2)d=2n-3.(2) an=2n-3, Sn= =n2-2n.依题意有 n2-2n35,解得 n7.故使 Sn35 成立的 n 的最小值为 8.4.解 (1) 3S1,2S2,S3 成等差数列, 4S2=3S1+S3, 4(a1+a2)=3a1+(a1+a2+a3),即 a3=3a2
6、, 公比 q=3, an=a1qn-1=3n.(2)由(1)知,b n=log3an=log33n=n, b2n-1b2n-b2nb2n+1=(2n-1)2n-2n(2n+1)=-4n, Tn=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=-4(1+2+n)=-4 =-2n2-2n.5.解 (1)设等差数列 an的公差为 d,等比数列 bn的公比为 q.由解得由解得所以 an=2n-1.(2)设数列c n的前 n 项和为 Sn,由(1)可知 an=2n-1,bn=b1qn-1=3n-1.当 n5 时,S n=a1+a2+an= =n2.当 n5 时,S
7、 n=a1+a2+a5+b6+b7+bn=25+ .6.解 (1)由已知得解得 a2=2.设数列 an的公比为 q,由 a2=2 可得 a1= ,a3=2q.又 S3=7,所以 +2+2q=7,即 2q2-5q+2=0.解得 q=2 或 q= . q1, q=2, a1=1.故数列 an的通项为 an=2n-1.(2)由(1)得 =23n, bn=ln 23n=3nln 2. bn+1-bn=3ln 2, 数列 bn为等差数列 . Tn=b1+b2+bn= ln 2.故 Tn= ln 2.7.解 (1)把 n=1 代入已知等式得 a1b2=a1b1+a2, a2=a1b2-a1b1=3a1.
8、an是首项为 1,公比为 3 的等比数列,即 an=3n-1.(2)由已知得 bn+1-bn= =3, bn是首项为 2,公差为 3 的等差数列,其通项公式为 bn=3n-1, Sn= .8.解 (1)设等比数列 bn的公比为 q.由 b1=1,b3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,可得 q=2,故 bn=2n-1.所以,T n= =2n-1.设等差数列a n的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而 a1=1,d=1,故 an=n.所以,S n= .(2)由(1),有T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n= -n=2n+1-n-2.由 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn可得, +2n+1-n-2=n+2n+1,整理得 n2-3n-4=0,解得 n=-1(舍),或 n=4.所以,n 的值为 4.
