1、2012 年各地中考数学汇编三角形四边形精选(1120)【11. 2012 成都】20 (本小题满分 10 分)如图，ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF 的顶点 E 与ABC 的斜边 BC 的中点重合将DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q（1）如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：BPECQE；（2）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当 BP=a ，CQ= 9a时， P、Q 两点间的距离 (用含 a的代数式表示 )考点：相
2、似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。解答：（1）证明：ABC 是等腰直角三角形，B=C=45， AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E 是 BC 的中点，BE=CE，在BPE 和CQE 中， ，BPECQE（SAS ） ；（2）解：ABC 和DEF 是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF =EQC+C，BEP+45=EQC+45，BEP=EQC，BPECEQ， ，BP=a， CQ= a，BE=CE，BE=CE= a，BC=3 a，AB=AC=BCsin45=3a，AQ=CQAC= a，PA=ABBP =2a，
3、连接 PQ，在 RtAPQ 中， PQ= = a【12. 2012 成都】25如图，长方形纸片 ABCD 中，AB=8cm，AD =6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图，在线段 AD 上任意取一点 E，沿 EB，EC 剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用) ；第二步：如图，沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分，并在线段 GH 上任意取一点 M，线段 BC 上任意取一点 N，沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分；第三步：如图，将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180，使线段 GB 与 GE重合，将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180，
4、使线段 HC 与 HE 重合，拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为_cm，最大值为_cm 考点：图形的剪拼；三角形中位线定理；矩形的性质；旋转的性质。解答：解：画出第三步剪拼之后的四边形 M1N1N2M2 的示意图，如答图 1 所示图中，N 1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM +MH）=2GH=BC （三角形中位线定理） ，又 M1M2N1N2，四边形 M1N1N2M2 是一个平行四边形，其周长为 2N1N2+2M1N1=2BC+2MNBC=6 为定值，
5、四边形的周长取决于 MN 的大小如答图 2 所示，是剪拼之前的完整示意图过 G、H 点作 BC 边的平行线，分别交 AB、CD 于 P 点、Q 点，则四边形 PBCQ 是一个矩形，这个矩形是矩形 ABCD 的一半M 是线段 PQ 上的任意一点，N 是线段 BC 上的任意一点，根据垂线段最短，得到 MN 的最小值为 PQ 与 BC 平行线之间的距离，即 MN 最小值为 4；而 MN 的最大值等于矩形对角线的长度，即 = =四边形 M1N1N2M2 的周长=2BC+2MN=12+2MN，四边形 M1N1N2M2 周长的最小值为 12+24=20，最大值为 12+2 =12+ 故答案为：20，12+
6、 【13. 2012 安徽】22. 如图 1，在ABC 中，D、E、F 分别为三边的中点，G 点在边 AB 上，BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设 BC=a、AC =b、AB=c.（1）求线段 BG 的长；（2）求证：DG 平分EDF;（3）连接 CG，如图 2，若BDG 与 DFG 相似，求证：BGCG.22.解析：已知三角形三边中点连线，利用三角形中位线性质计算证明.（1）已知ABC 的边长，由三角形中位线性质知 ，根据BDG 与四边形 ACDG 周长相等，cDEbF21,可得 .（2）由（1）的结论，利用等腰三角形性质和平行线性质可证. （3）利cbBG用两个三角形相似，对应角相等
7、，从而等角对等边，BD=DG =CD，即可证明.A BCDEFG解（1）D、C、F 分别是ABC 三边中点DE AB,DF AC，21又BDG 与四边形 ACDG 周长相等即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG= AC+AGBG= ABAGBG= =2ACBcb（2）证明：BG= ，FG=BG BF = 2cbFG= DF,FDG=FGD又DEABEDG =FGDFDG =EDGDG 平分EDF（3）在DFG 中，FDG =FGD, DFG 是等腰三角形,BDG 与DFG 相似,BDG 是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,则 CD= BD=DG,B、CG、三点共圆,BGC=90,B
8、G CG点评：这是一道几何综合题，在计算证明时，根据题中已知条件，结合图形性质来完成.后面的问题可以结合前面问题来做.【14. 2012 乐山 】25如图 1，ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC 边上，此时 BD=CF，BDCF 成立（1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 （090 ）时，如图 2，BD=CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G求证：BDCF；当 AB=4，AD= 时，求线段 BG 的长考点： 相似三角形的判定与性质；全
9、等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质；旋转的性质。专题： 几何综合题。分析： （1）ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，易证得 BADCAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得 BD=CF；（2）由BAD CAF，可得ABM= GCM，又由对顶角相等，易证得BMACMG，根据相似三角形的对应角相等，可得 BGC=BAC=90，即可证得 BDCF；首先过点 F 作 FNAC 于点 N，利用勾股定理即可求得 AE，BC 的长，继而求得AN，CN 的长，又由等角的三角函数值相等，可求得 AM= AB= ，然后利用BMACMG，求得 CG 的长，再由勾股定理
10、即可求得线段 BG 的长解答： 解（1）BD= CF 成立理由：ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，AB=AC，AD= AF，BAC=DAF=90，BAD=BACDAC，CAF=DAFDAC，BAD=CAF，在BAD 和CAF 中，BADCAF（SAS ） BD=CF（ 3 分）（2）证明：设 BG 交 AC 于点 MBADCAF（已证） ，ABM=GCMBMA=CMG，BMACMGBGC=BAC=90BDCF（ 6 分）过点 F 作 FNAC 于点 N在正方形 ADEF 中，AD =DE= ，AE= =2，AN=FN= AE=1在等腰直角 ABC 中，AB=4，CN=ACA
11、N=3，BC= =4 在 RtFCN 中，tan FCN= = 在 RtABM 中，tan ABM= =tanFCN= AM= AB= CM=ACAM=4 = ，BM= = （9 分）BMACMG， CG= （11 分）在 RtBGC 中，BG= = （12 分）点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法【15. 2012 衢州 】23课本中，把长与宽之比为 的矩形纸片称为标准纸请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸 ABCD（ABBC）对开，如
12、图 1 所示，所得的矩形纸片 ABEF 是标准纸请给予证明（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片 ABCD（ABBC）进行如下操作：第一步：沿过 A 点的直线折叠，使 B 点落在 AD 边上点 F 处，折痕为 AE（如图 2 甲） ；第二步：沿过 D 点的直线折叠，使 C 点落在 AD 边上点 N 处，折痕为 DG（如图 2 乙） ，此时 E 点恰好落在 AE 边上的点 M 处；第三步：沿直线 DM 折叠（如图 2 丙） ，此时点 G 恰好与 N 点重合请你探究：矩形纸片 ABCD 是否是一张标准纸？请说明理由（3）不难发现：将一张标准纸按如图 3 一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是
13、标准纸现有一张标准纸 ABCD，AB=1，BC= ，问第 5 次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第 2012 次对开后所得标准纸的周长考点： 翻折变换（折叠问题） ；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；矩形的性质；图形的剪拼。专题： 几何综合题。分析： （1）根据 = =2 = = ，得出矩形纸片 ABEF 也是标准纸；（2）利用已知得出ADG 是等腰直角三角形，得出 = = ，即可得出答案；（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可解答： 解：（1）是标准纸，理由如下：矩形 ABCD 是标准纸， = ，由对开的含义知：AF= BC， = =2 = =
14、，矩形纸片 ABEF 也是标准纸（2）是标准纸，理由如下：设 AB=CD=a，由图形折叠可知：DN= CD=DG=a，DGEM，由图形折叠可知：ABE AFE，DAE= BAD=45，ADG 是等腰直角三角形，在 RtADG 中，AD= = a， = = ，矩形纸片 ABCD 是一张标准纸；（3）对开次数：第一次，周长为：2（1+ ）=2+ ，第二次，周长为：2（ + ）=1+ ，第三次，周长为：2（ + ）=1+ ，第四次，周长为：2（ + ）= ，第五次，周长为：2（ + ）= ，第六次，周长为：2（ + ）= ，第 5 次对开后所得标准纸的周长是： ，第 2012 次对开后所得标准纸的周
15、长为： 点评： 此题主要考查了翻折变换性质以及规律性问题应用，根据已知得出对开后所得标准纸的周长变化规律是解题关键【16. 2012 绍兴】22联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为 ABC 的准外心。应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= AB，求12APB 的度数。探究：已知ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB =3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的长。考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；
16、勾股定理。解答：应用：解：若 PB=PC，连接 PB，则PCB =PBC，CD 为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30 ，PBD=PBC=30，PD= DB= AB，36与已知 PD= AB 矛盾，PBPC ，12若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PAPC，若 PA=PB，由 PD= AB，得 PD=BD，APD=45，故APB=90 ；探究：解：BC =5，AB =3，AC= ，22BCA534若 PB=PC，设 PA=x，则 ，22()x ，即 PA= ，78x若 PA=PC，则 PA=2，若 PA=PB，由图知，在 RtPAB 中，不可能。故 PA=2 或 。【17. 2012
17、南充】21.在 RtPOQ 中，OP =OQ=4,M 是 PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点 M 处，以 M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ 的两直角边分别交于点 A、B，(1)求证：MA=MB(2)连接 AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB 的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理与二次函数最值的应用。专题：证明题；几何综合题。分析：（1）连接 OM，证 PMA 和OMB 全等即可。(2) 先计算出OP= OA+OB=OA+PA= 4再令 OA=x AB=y则在
18、RtAOB 中，利用勾股定理得：y2=x2+(4- x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+8 求出解答：（1）证明：连接 OM Rt POQ 中，OP= OQ =4,M 是 PQ 的中点OM=PM= PQ=22POM=BOM =P=450 PMA +AMO=OMB+AMOPMA =OMB PMAOMB MA=MB(2)解：AOB 的周长存在最小值理由是: PMAOMB PA=OB OA+OB =OA+PA=OP=4令 OA=x AB=y 则 y2=x2+(4-x)2=2x2-8x+16=2(x-2)2+88当 x=2 时 y2 有最小值 =8 从而 y2 2故AOB 的周长存在最小值，其
19、最小值是 4+2点评：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理与二次函数最值的应用，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键【18. 2012 梅州 】21如图，已知ABC，按如下步骤作图：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径在 AC 两边作弧，交于两点 M、N ；连接 MN，分别交 AB、AC 于点 D、O ；过 C 作 CEAB 交 MN 于点 E，连接 AE、CD（1）求证：四边形 ADCE 是菱形；（2）当ACB=90，BC=6，ADC 的周长为 18 时，求四边形 ADCE 的面积考点： 作图复杂作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分
20、线的性质；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定与性质。专题： 几何综合题。分析： （1）利用直线 DE 是线段 AC 的垂直平分线，得出 ACDE，即AOD=COE=90，进而得出AODCOE，即可得出四边形 ADCE 是菱形；（2）利用当ACB=90时，ODBC，即有ADOABC，即可得出 AC 和 DE 的长即可得出四边形 ADCE 的面积解答： （1）证明：由题意可知：直线 DE 是线段 AC 的垂直平分线，ACDE，即AOD =COE =90；且 AD=CD、AO= CO，又CEAB，1=2，AOD COE ，OD= OE，四边形 ADCE 是菱形；（2）解：当ACB=90时，ODB
21、C，即有ADO ABC， ，又BC=6，OD=3，又ADC 的周长为 18，AD+ AO=9，即 AD=9AO，OD= =3，可得 AO=4，DE=6，AC=8 ，S= ACDE= 86=24点评： 此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法，根据已知得出ADO ABC 进而求出 AO 的长是解题关键【19. 2012 扬州 】23如图，在四边形 ABCD 中，ABBC，ABC CDA90，BEAD，垂足为 E求证：BEDE 考点： 全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。专题： 证明题。分析： 作 CFBE，垂足为 F，得出矩形 CFED，求出CBF A，根据 AAS 证BAE
22、 CBF，推出 BECF 即可解答：证明：作 CFBE，垂足为 F，BEAD ，AEB 90，FEDDCFE90，CBE ABE90，BAEABE90，BAE CBF，四边形 EFCD 为矩形，DECF，在BAE 和CBF 中，有 CBEBAE，BFC BEA90，ABBC，BAE CBF，BECFDE，即 BEDE 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出BAE CBF，主要考查学生运用性质进行推理的能力【20. 2012 连云港 】27已知梯形 ABCD，AD BC，ABBC，AD 1，AB 2，BC3，问题 1：如图 1，P 为 AB 边上的一点，以
23、PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线PQ，DC 的长能否相等，为什么？问题 2：如图 2，若 P 为 AB 边上一点，以 PD，PC 为边作平行四边形 PCQD，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题 3：若 P 为 AB 边上任意一点，延长 PD 到 E，使 DEPD，再以 PE，PC 为边作平行四边形 PCQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题 4：如图 3，若 P 为 DC 边上任意一点，延长 PA 到 E，使 AEnPA( n 为常数)，以PE、PB 为边作平行四边
24、形 PBQE，请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；根的判别式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质。专题： 代数几何综合题。分析： 问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设 PBx，可得方程 x232(2 x)218，由判别式0，可知此方程无实数根，即对角线 PQ，DC 的长不可能相等；问题 2：在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，可得 G 是 DC的中点，过点 Q 作 QHBC，交
25、 BC 的延长线于 H，易证得 RtADPRtHCQ，即可求得 BH4，则可得当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4；问题 3：设 PQ 与 DC 相交于点 G，PECQ，PDDE ，可得 ，易证得Rt ADPRt HCQ，继而求得 BH 的长，即可求得答案；问题 4：作 QHPE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于K，易证得 与ADPBHQ，又由DCB45 ，可得 CKH 是等腰直角三角形，继而可求得 CK 的值，即可求得答案解答： 解：问题 1：四边形 PCQD 是平行四边形，若对角线 PQ、DC 相等，则四边形 PCQD 是矩形，DPC90，AD1
26、，AB 2，BC3，DC2 ，设 PBx，则 AP2x，在 RtDPC 中，PD2PC2DC2，即 x232(2x)2 18，化简得 x22x30，(2)241380 ，方程无解，对角线 PQ 与 DC 不可能相等问题 2：如图 2，在平行四边形 PCQD 中，设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G，则 G 是 DC 的中点，过点 Q 作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，ADBC，ADCDCH，即 ADP PDGDCQQCH，PDCQ，PDCDCQ，ADPQCH，又 PDCQ ，RtADPRtHCQ，ADHC，AD1，BC3，BH4，当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 4问题 3：如图
27、 3，设 PQ 与 DC 相交于点 G，PECQ，PD DE， ，G 是 DC 上一定点，作 QHBC，交 BC 的延长线于 H，同理可证ADPQCH，RtADPRtHCQ，即 ，CH2，BHBGCH325，当 PQAB 时，PQ 的长最小，即为 5问题 4：如图 3，设 PQ 与 AB 相交于点 G，PEBQ，AEnPA， ，G 是 DC 上一定点，作 QHPE，交 CB 的延长线于 H，过点 C 作 CKCD，交 QH 的延长线于 K，ADBC，ABBC，DQHC ， DAP PAGQBH QBG90，PAG QBG，QBHPAD，ADPBHQ， ，AD1，BHn1，CHBH BC3n1n4，过点 D 作 DMBC 于 M，则四边形 ABND 是矩形，BMAD 1， DMAB2CM BCBM312 DM，DCM45，KCH45，CKCHcos 45 (n4)，当 PQCD 时， PQ 的长最小，最小值为 (n4)点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程根的判别式、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用
