1、 理科数学参考答案第 1页（共 8页） 云南师大附中 2019 届高考适应性月考卷（三） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C A B D C D A A B 【解析】 1 ( 21 )( 31 )( 41 )( 32 )( 42 )( 43 ) c a r d ()6 PP ， ， P的非空子集的个数为 6 21 63 ，故选 C 2 (i 1)(1 i) (2i 1)(1 i) 1 3i z ， 13 13 ii 22 22 zz ， ，故选 B 3 172635
2、4 89 22 9 aaaaaaa aa ， 9 16 S ，故选 B 4由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面为平行四 边形，故体积 3365 4 VS h ，故选 C 5 2 13 (sin cos ) 1 2sin cos 2sin cos 0 44 AAA AA AA ， ， 为钝角， 2 (sin cos ) 1 AA 77 2sin cos sin cos 42 AA AA ， 17 cos 4 A ，故选 A 6 由题意可知 22 ix ，；32 4 ix ，； 42 4 6 ix ，； ； 55 2 4 108 ix ， 最后输出的 246 1
3、0 8 55 54 x ，故选 B 7 22 22 | 3 2 | 9 | | 12 | | | cos60 4 | | 13 2 | | 3| | 2 0 mn m mn n n n ， 解 得 |2 n ，故选 D 8他只能再试两次，第一次试成功的概率是 1 4 ，第二次试成功的概率是 311 434 ，两次是互 斥事件， 111 442 P，故选 C 9由题意知，当球与正三棱柱的部分面相切时，体积最大，若球与三个侧面都相切时，选取 过球心且平行于正三棱柱底面的截面，此时球的半径为 3；若球与上下底面相切时，此 时球的半径为 2，而23 ，故球放不进去，所以半径为 3时，球的体积最大， 3
4、 max 44 33 33 VR 43 ，故选 D 理科数学参考答案第 2页（共 8页） 10由题可知 (1 )1 ( 0 ) 0 ff ， (1) ( 0 ) ( 1) 0 1 1 ( 2 ) (1) ( 0 ) 1 fff fff ， 01 ，( 3 )( 2 )( 1 )110( 4 )( 3 )( 2 )011 fff fff ， (5) (4) (3) fff 101( 6 ) ( 5 ) ( 4 )110 fff ， ，当 123 n ， 时， () f n 的取值依次是 11 ， 0110 1 1 ， ， ， ，故 () f x 的取值是以 6 为周期，且 (1) ( 2 ) (
5、 6 ) fff 0 ， (1) f (2) f (2019) 336 0 (1) (2) (3) 2 ff f f ，故选 A 11由题意可知 12 (0 )(0 ) Fc Fc ， ， ， ，一条渐近线方程为 b yx a ， 1 F 到它的距离为d 22 |0 | bc ab b ，设 1 PF 与渐近线交于M ，因为线段 1 FP被双曲线的渐近线垂直平分，则 1 | | FM MP b ，连接 2 PF ，由双曲线的定义有 12 2 | 2| 22 PFP FaP Fba ，又O 为 12 FF的中点， 2 / OM F P， 21 FPF 为直角， 222 44 ()4 cbab ，
6、又 22 cb 2 a ， 2 2 bac 22 45 c aae a ，故选 A 12令 () 2 () e x fx Fx ，则 () () 2 () 0 e x fxfx Fx ， () Fx在R 上为增函数，又 (1) e 2 f ， (1) 2 (1) 1 e f F ， () 2 e x fx 可化为 () 2 1 e x fx ，即 () ( 1 ) Fx F ， (1 ) x ， 故选 B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 (1 4 ， 21 yx 1009m 1( 2 2 0) xyy ， 【解析】 13如图
7、1，画出不等式组的区域， (1 3) (1 1) ( 2 2 ) ABC ， ， ， 22 (2 ) xy 表示 ABC 内部的点 () Mxy ，到(0 2) P ，的 距离的平方，所以 22 1(2 )4 xy 14 3e ( 3 1)e ( 3 2)e x xx yxx ，所以 0 |2 x ky ， 故切线方程为 12 (0 ) yx ，即 21 yx 图 1 理科数学参考答案第 3页（共 8页） 15在正项等比数列 n a 中， 1 2018 2 2017 1008 1011 1009 1010 aa aa a a a a 10 m ， 12 lg lg aa + 2018 1 2
8、2018 lg lg( ) aa aa 1009 12 0 1 8 lg( ) 1009lg10 1009 m aa m 16如图 2， (1 0) ( 1 0) FP ， ，设 11 22 ()() AxyBxy ， ， () Mxy ， l ： (1 ) ykx ，由 2 (1 ) 4 ykx yx ， ， 得 22 2 2 (2 4) 0 kx k xk 2 12 12 2 42 1 k xx xx k ， ，并且 0 110 kk ， | | | | | | MA AM PB BM PA MB | | PA PB ， 而 11 22 | | xxyy MA MBxxyy ， 1 2 |
9、 | y PA PBy ， 1 2 yy yy 1 2 y y ，从而有 2 12 1 2 12 1 2 22 (1 ) (1 ) 2 (1 )(1 ) yy k x x yk y y kx kx ， 又 () Mxy ， 在线段AB上，即 2(1 )12 kkx x 1 x ，又110 kk ， ，所以M 点的轨迹方程是 1( 2 2 0) xyy ， 三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 解： （1） 54 sin cos 13 5 BA D C ， ， 12 3 cos sin 13 5 BA D C ， 31 2451 6 s
10、in sin( ) sin cos cos sin 51 351 36 5 BAD ADC B ADC B ADC B ， 由正弦定理，得 65 5 sin 16 25 sin 16 13 BD AD B BAD （6 分） （2） 3 sin sin( )s i n 5 BDA ADC ADC ， 由正弦定理，得 13 3 sin 25 39 sin 5 5 AD AB BDA B ， 115 sin 39 32 240 221 3 ABC SB A B CB （12 分） 图 2 理科数学参考答案第 4页（共 8页） 18 （本小题满分 12 分） 解： （1）由表中数据知 3 x ， 1
11、00 y ， 5 1 5 22 1 5 1415 1500 8.5 55 45 5 ii i i i xy xy b xx ， 125.5 ayb x ， 所求回归直线方程为 8.5 125.5 yx （5 分） 令 9 x ，则 8.5 9 125.5 49 y ， 该学校第 9 周的不文明人次为 49 人次 （6分） （2） 012 X ， ， 3 4 3 6 C 41 (0 ) C2 05 PX ， 21 42 3 6 CC 12 3 (1 ) C2 05 PX ， 12 42 3 6 CC 41 (2 ) C2 05 PX ， 所以X 的分布列如下： X0 1 2 () P X 1 5
12、3 51 5 （12 分） 19 （本小题满分 12 分） （1）证明：在 PCD 中， 22 PC PD CD ， 222 PCP DC D ， PCP D ， 90 CDA ，ADC D ， 又平面PCD 平面ABCD，平面PCD 平面ABCD CD ， AD 平面PCD，ADP C ， 又PDA DD ，PC 平面PAD， PC 平面PBC ， 平面PAD 平面PBC （6分） （2）解：取CD的中点O，连接PO，OB， 2 PC PD ， 1 PO CD PO ， 又平面PCD 平面ABCD，平面PCD 平面ABCD CD ， 理科数学参考答案第 5页（共 8页） PO 平面ABCD，
13、 如图 3，以O为原点建立空间直角坐标系， 则 11 ( 000 ) ( 1 10 ) ( 100 ) ( 010 ) ( 0 10 ) ( 001 ) 0 22 OABCDPE ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面ACE的法向量为 1111 () nxyz ， ， 11 (120 ) 1 22 AC CE ， ， ， ， 11 1 11 11 20 11 0 22 nA Cxy nC E xy z ， ， 1 (2 1 0) n ， ， 设平面CDE的法向量为 2222 () nxyz ， ， 11 (0 2 0) 1 22 DC CE ， ， ， ， 22 22 22 20 11
14、 0 22 nD Cy nC Exy z ， ， 2 (1 0 1) n ， ， 12 12 12 12 1 0 cos 5 |52 nn nn nn ， 由图可知二面角A CE D 的平面角为锐角， 所以二面角A CE D 的余弦值为 10 5 （12 分） 20 （本小题满分 12 分） 解： （1）由已知得 21 45 AF F ， 所以由 1 ABA F 和椭圆的定义，得 12 AFA Fa ， 并且 2222 24 2 acac ，又 12 4 FAF S ， 得 2 8 a ， 2 4 c ，故 222 4 bac ， 所以椭圆E： 22 1 84 xy （4分） （2） 当直线
15、1 l 的斜率为 0 时， 2 l 的斜率不存在， 此时|24 2 AB a ， 2 2 | 2 2 b CD a ， 图 3 理科数学参考答案第 6页（共 8页） 11 | |4 22 28 22 ACBD SA B C D ； （6 分） 当两条直线的斜率均存在时，设直线AB的方程为 2 xm y ， 则直线CD的方程为 1 2 xy m ，设 11 22 ()() AxyBxy ， ， ， 由 22 2 280 xm y xy ， ， 得 22 (2 )440 mym y ， 22 2 16 16( 2) 32( 1) mm m ， 2 1222 42 1 | 22 m yy mm ，
16、2 2 12 2 42 ( 1 ) |1| | 2 m AB m y y m ， （8分） 用 1 m 取代m，得 2 2 2 2 1 42 1 42 ( 1 ) | 1 21 2 m m CD m m ， 22 22 11 4 2 ( 1 ) 4 2 ( 1 ) | | 2222 1 ACBD mm SA B C D mm 42 42 2 42 42 21( 252 ) 16 8 252 252 mm mm m mm mm 2 2 8 8 2 25 m m ， （10 分） 又 2 2 2 24 m m ，当且仅当 1 m 时取等号， 所以 2 2 86 4 88 2 9 25 ACBD S
17、 m m ， ， 综上，四边形ACBD面积的取值范围是 64 8 9 ， （12 分） 21 （本小题满分 12 分） 解： （1） 2 (1 ) (1 ) () ()(1) = (0) axaxaxxa fxxa x xx x ， 当 1 a时 ，() f x 在 1 e ， 上为增函数， min 9 () ( 1 ) 2 fxfa ； 理科数学参考答案第 7页（共 8页） 当1e a 时， () f x 在 (1 ) a ， 上为减函数，在(e ) a， 上为增函数， 2 min () () 5 l n 2 a fxf aaaa ； 当 e a 时， () f x 在 1 e ， 上为减函
18、数， 2 min e () ( e ) ( 1 ) e 5 2 fxf a a ， 综上所述，当 1 a 时， min 9 () 2 fxa ； 当1e a 时， 2 min () 5 l n 2 a fxaa a ； 当 e a时 ， 2 min e () ( 1 ) e 5 2 fxaa （6 分） （2）由题可知 min min () () fxg x ， 由（1）知，当 e a 时， 2 min e () ( 1 ) e5 2 fxaa ， 下求 () g x 的最小值， () e 2( 0 ) x gx xx ， () e 2 x gx ， 令 () 0 gx ，则 ln 2 x ，
19、 令 () 0 gx ，则 ln 2 x ；令 () 0 gx ，则0l n 2 x ， () g x 在 (0 ln 2) ， 上为减函数，在 (ln 2 ) ， 上为增函数， ( ) (ln2) 2 2ln2 2( 1 ln2) 0 gx g ， 故 () g x 在0 ) ， 上为增函数， min () ( 0 )1 gx g ， 2 e (1 ) e5 1 2 aa ， 2 e2 e8 2e 2 a ， 又 22 e2 e8 8e e0 2e 2 2e 2 ， 2 e2 e8 2e 2 a ， （12 分） 22 （本小题满分 10 分） 【选修 4 4：坐标系与参数方程】 解： （1
20、） 2 ， 2 4 ， 所以曲线 2 C 的直角坐标方程为 22 4 xy （1 分） 理科数学参考答案第 8页（共 8页） 由点A的极坐标为 2 6 ， ，知点A的直角坐标为(31 ) ， 菱形ABCD的顶点都在圆 2 C 上，所以菱形ABCD是正方形， 故知各顶点的直角坐标为 ( 3 1) ( 1 3 ) ( 3 1) (1 3 ) ABCD ， ， ， ， ， ， （5 分） （2） 2222 | MAM CM BM D 22222222 (3 )(1 )(3 )(1 )(1 )(3 )(1 )( 3 ) xyxyxyxy 22 22 22 228228228 xy xy xy ， 将
21、22 44 0 xy 带入上式，得 22222 |1 0 MAM CM BM Dx ， |1 x ， 2 1 x ， 2222 |1 0 MA MC MB MD ， 当 1 x 时， 取得最小值 10 （10 分） 23 （本小题满分 10 分） 【选修 4 5：不等式选讲】 （1）解：当 1 2 a 时， 1 2 2 1111 () 1 2222 1 2 2 xx fx x x x xx ， ， ，结合图象知，不等式 () 2 fx 的解集 |1 1 Mxx ， （2 分） 同理可得，当 1 4 a 时，不等式 ()1 fx 的解集 11 22 Px x （4 分） （2）证明：mMnP ， 22 11 11 1 41 22 mnmn ， 22 2 22 222 (2 )( 12) 44 1(1 ) ( 14)0 mn m nmnm n m n ， 22 (2 )( 12) mn m n ，即|2 | | 12| mn m n （10 分）
