1、厦门外国语学校 2018 届高三适应性考试理科数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 的共轭复数为 ，满足 ，则复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意求得 ，然后根据 求得 ，进而可得 【详解】根据题意可得 ，所以 ，解得 ，所以复数 故选 D【点睛】本题考查共轭复数的概念和复数模的运算，考查运算能力，属于基础题2.设集合 ，集合 ，则 等于 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合 A 和集合 B，由此能求出 AB【详解】集合 A=y|y=lo
2、g2x，0x4=y|y2，集合 B=x|ex1=x|x0，AB=x|0x2=（0，2故选：B【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍3.已知命题 在 中，若 ，则 ；命题 ， .则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：命题 在 中， ，根据正弦函数的性质可判断命题 为真命题； 时，结论不成立，故 为假命题，逐一判断四个选项中的命题即可.详解：命题 在 中， ，若
3、，则 ，故为真命题；命题 ，当 时， 不成立，故 为假命题，故选 B.点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的真假，综合考查函数的正弦函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题. 解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真” ；（3）且命题“一假则假”.4.已知公差不为 0 的等差数列 满足 ， 为数列 的前 项和，则 的值为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】公差 d0 的等差数列a n满足 a32=a1a4，可得 =a1（a 1+3d） ，化为：a 1=4d代入= ，化简即可得出【详解】公差 d0
4、 的等差数列a n满足 a32=a1a4， =a1（a 1+3d） ，化为：a 1=4d则 = = = =2故选：C【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5.我国成功申办 2022 年第 24 届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手
5、的速度 服从正态分布 ，若 在 内的概率为 ，则他速度超过 的概率为 （ ）A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2 【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的定义，可以求出 P（80 或 120）的概率，除以 2 得答案【详解】由题意可得，=100，且 P（80120）=0.7，则 P（80 或 120）=1P（80120）=10.7=0.3P（120）= P（80 或 120）=0.15则他速度超过 120 的概率为 0.15故选：C【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记 P( X )， P( 2 X 2 )， P( 3 X 3 )的值充分利用正态曲线的对称性和
6、曲线与 x 轴之间面积为 1.6.已知 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得 sincos 的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解 的值【详解】由 ，得 ，即 ，sincos= ， = = 故选：C【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题7.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的 ，则一开始输入的 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图
7、计算经过循环之后的结果得到关于 x 的方程，解方程即可求得最终结果.详解：结合题意运行程序如图所示：首先初始化数据：输入 的值， ，第一次循环： ， ，此时不满足 ；第二次循环： ， ，此时不满足 ；第三次循环： ， ，此时不满足 ；第四次循环： ， ，此时满足 ，跳出循环；由题意可得： ，解方程可得输入值为： .本题选择 B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证8.已知实数 满足 ，若 只在点（4，3）处取得最大值，则 的取值范围是( )A.
8、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，然后对 a 进行分类，当 a0 时显然满足题意，当 a0 时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线 BC 的斜率的大小得到 a 的范围【详解】由不等式组 作可行域如图，联立 ，解得 C（4，3） 当 a=0 时，目标函数化为 z=x，由图可知，可行解（4，3）使 z=xay 取得最大值，符合题意；当 a0 时，由 z=xay，得 y= x ，此直线斜率大于 0，当在 y 轴上截距最大时 z 最大，可行解（4，3）为使目标函数 z=xay 的最优解，a1 符合题意；当 a0 时，由 z=xay，得 y= x ，此直线斜率为
9、负值，要使可行解（4，3）为使目标函数 z=xay 取得最大值的唯一的最优解，则 0，即 a0综上，实数 a 的取值范围是（，1） 故选：D【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数 的图象，且 的图象与直线 相邻两个交点的距离为，若 对任意 恒成立，则 的取值范围是
10、 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得 g（x）=2sin（x+ ）1，再由已知得函数 g（x）的最小正周期为 ，求得=2，结合 g（x）1 对任意 恒成立列关于 的不等式组求解【详解】将函数 y=2sinx（0）的图象向左平移 个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得 g（x）=2sin（x+ ）1=2sin（x+）1，又 y=g（x）的图象与直线 y=1 相邻两个交点的距离为 ，得 T=，即 g（x）=2sin（2x+）1，当 时， ， ， ，解得 的取值范围是 故选：B【点睛】解决函数 综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数 的值，进而得到函
11、数的解析式（2）解题时要将 看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化10.将数字 ， ， ， ， ， 书写在每一个骰子的六个表面上，做成 枚一样的骰子，分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图 和 所示的两个柱体，则柱体 和 的表面（不含地面）数字之和分别是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】A【解析】分析：根据骰子中 与 与 与 分别相对，找出图 与图 的表面数字，分别求出数字和即可.详解：图 中数字之和为 ，图 中数字之和为 ，故选 A.点睛：本题主要考查棱柱的结构特征，意在考查空间想象能力，属于简单题1
12、1.已知 O 是坐标原点，双曲线 与椭圆 的一个交点为 P，点，则 的面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由椭圆与双曲线的定义可得 ， = ，由标准方程可得 =，结合余弦定理、勾股定理以及椭圆的对称性可得结果.【详解】由题意知两曲线有相同的焦点，设左右两个焦点分别为 ， ，根据双曲线的定义得到 ，根据椭圆的定义得到 ，联立两个式子得到 ， = ， 由椭圆与双曲线的标准方程方程 = ，所以 与 重合，由余弦定理得到 ，故 ，则 的面积为 ， 故答案为 D.【点睛】本题主要考查利用椭圆与双曲线的定义、简单性质求标准方程，属于中档题.求解与椭圆、双曲线性质有关的问题时要结合
13、图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12.已知点 是曲线 上任意一点，记直线 （ 为坐标系原点）的斜率为 ，则（ ）A. 至少存在两个点 使得 B. 对于任意点 都有C. 对于任意点 都有 D. 存在点 使得【答案】C【解析】【分析】利用排除法，对给出的四个选项分别进行分析可得出正确的结论【详解】设点 的坐标为 ，则 对于 D，当 时，一方面 ，另一方面容易证 成立，所以 ，因为 与 中两个等号成立条件不一样，所以 恒成立，所以 ，因此 D 不成立对于 B，当 时， ，所以 ，所以 B 不成立对于 A，
14、至少存在两个点 使得 ，也就是 至少存在两解，即 至少存在两解， 恒成立，所以 至多存在一解，所以 A 不成立综合以上分析可得选项 C 正确故选 C【点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住 的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到 的大小关系，进而得到 的取值范围同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的第卷 （非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是_【答案】15【解析】二项式 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大， ，则展开式中的通项
15、公式为 令 ，求得 ，故展开式中的常数项为 ，故答案为 15.14.抛物线 的准线被圆 所截得的线段长为 4，则 P= _【答案】2【解析】【分析】求得抛物线的准线方程，代入圆方程，解得 y，可得弦长，由条件可得 p 的方程，解方程即可得到所求值【详解】抛物线 y2=2px（p0）的准线为 x= ，代入圆 x2+y2+2x3=0 可得y2=3 +p，解得 y= ，由条件可得 2 =4，解得 p=2，故答案为：2【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和圆相交的弦长问题，考查方程思想和运算能力，属于基础题15.在 中， 边上的中垂线分别交边 于点 ;若 ，则_【答案】5【解析】【分析】选取 为基
16、底，其他向量用基底表示再运算【详解】由题意， ， 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取 为基底，用基底表示其他向量后再运算其中用到结论：D 是 BC 中点，因此有 16.已知棱长为 1 的正方体有一个内切球（如图） ， 为面底 的中心， 与球相交于 ，则 的长为_.【答案】【解析】【分析】求出球心到 FE 的距离，利用勾股定理求出 EF【详解】设球心 O 到 FE 的距离为 d，则在OA 1E 中，A 1E= ，OE= 由等面积可得 ，d= ，球的半径为 ，EF= =63故答案为： 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各
17、个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列 满足 ，等差数列 满足 .（1）记 ，求数列 的通项公式 ；（2）求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) .【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简 an，可得 an= 求出数列b n的首项和公差，则通项公式可求，直接把a n、b n的通项公式代入求解；（2）由（1）知，数列c n是以 36 为公差的等差数
18、列，再由等差数列的前 n 项和公式得答案【详解】 （1）由题意知 于是 ，故数列 的公差为 3，故 ，所以 （2）由（1）知，数列 为等差数列.【点睛】数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用方程思想处理通项公式问题，利用公式法、分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误18.在三棱锥 中， ， ， （1）求证： ；（2）点 为 上一动点，设 为直线 与平面 所形成的角，求 的最大值【答案】(1)见解析；（2） .【解析】【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，则得 ，同理 ，于是可得 平面 ，所
19、以 （2）由条件可证得 两两垂直，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解可得所求的最大值【详解】 （1）取 中点 ，连接 ， ， ，又 为 中点， ， 同理可得 ，又 ， 平面 ，又 平面 ， （2） ， ， 为直角三角形，且 ， ， ， ，即 ，又 ，所以 平面 以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图直角坐标系 则 ， ， ， ，设 ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ，设 是平面 的法向量，由 ，令 ，得 ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为 【点睛】 （1）利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量（2）求线面角
20、时，可通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角19.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各 50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这 100 户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和 ，制成下图，其中“ ”表示甲村贫困户， “ ”表示乙村贫困户.若 ，则认定该户为“绝对贫困户” ，若 ，则认定该户为“相对贫困户” ，若 ，则认定该户为“低收入户” ；若 ，则认定该户为“今年能脱贫户” ，否则为“今年不 能脱贫
21、户”. （1）从甲村 50 户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选 3 户，用 表示所选 3 户中乙村的户数，求 的分布 列和数学期望 ；（3）试比较这 100 户中，甲、乙两村指标 的方差的大小（只需写出结论）.【答案】 （1）0.1；（2）见解析；（3）这 100 户中甲村指标 的方差大于乙村指标 的方差.【解析】试题分析：（1）处于 100 以下“ ”图标共 5 个，由古典概型可求。 （2）由图知， “今年不能脱贫的非绝对贫困户”有 10 户，其中甲村 6 户，乙村 4 户， ， 的可能值为 0，1，2，3.写出超几
22、何分布列。 （3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中。试题解析：（1）由图知，在甲村 50 户中， “今年不能脱贫的绝对贫困户”有 5 户，所以从甲村 50 户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为（2）由图知， “今年不能脱贫的非绝对贫困户”有 10 户，其中甲村 6 户，乙村 4 户，依题意，的可能值为 0，1，2，3.从而， ， .所以 的分布列为：故 的数学期望 .（3）这 100 户中甲村指标 的方差大于乙村指标 的方差.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述
23、数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小.20.线段 为圆 ： 的一条直径，其端点 ， 在抛物线 ：上，且 ， 两点到抛物线 焦点的距离之和为 .（1）求直径 所在的直线方程；（2）过 点的直线交抛物线 于 ， 两点，抛物线 在 ， 处的切线相交于 点，求 面积的最小值.【答案】 （1） 的直线方程为 ；（2）16.【解析】试题分析：（1）设 ， ，抛物线 的焦点为 ，由题意可得= ， ， 的方程为 .利用点差法可得 的直线方程为 .（2）不妨记 ， ， ，直线 的方程为 ，联立直线方程与抛物线方程，结合弦长公式可得 ，结合点到直线距离公式可得点 到直线 的距离 ，则 ，则的面积 的最小
24、值 .试题解析：（1）设 ， ，抛物线 的焦点为 ，则 ，又 ，故 ， ，于是 的方程为 .，则 ， 的直线方程为 .（2）不妨记 ， ， ，直线 的方程为 ，联立 得 ，则 ， ，又因为 ，则 ，同理可得： ，故 ， 为一元二次方程 的两根， ，点 到直线 的距离 ， 时， 的面积 取得最小值 .点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式| AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21.已知 .（1）当 时，若函数 存在与直线
25、平行的切线，求实数 的取值范围；（2）当 时， ，若 的最小值是 ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2） 的最小值为 .【解析】【分析】（1）求出导函数 ，则 有实数解，由此可得 的范围；（2）考虑到 的表达式，题意说明 在 上恒成立，且“”可取，这样问题又可转化为即 恒成立，且 可取.，即 的最小值是 0，为求 的零点，由 得 ，再由导数求得 的最小值是 由于题中要求 的最小值，因此研究 时 的正负，从而得 的最小值，可证得此最小值 ，且为 0 时 只有一解 ，这样得出结论【详解】 （1）因为 ,因为函数 存在与直线 平行的切线，所以在 上有解,即 在 上有解，所以 ，得 ,故所求实数
26、的取值范围是 .（2）由题意得： 对任意 恒成立，且 可取，即 恒成立，且 可取. 令 ，即，由 得 ，令. 当 时， ，在 上， ；在 上， .所以 . 令 在 上递减，所以 ，故方程有唯一解 即 ,综上，当 满足 的最小值为 ，故 的最小值为 .【点睛】本题考查用导数研究函数的几何意义，研究函数的单调性与最值，属于难题解题过程中要注意问题的等价转化，方程有解转化为函数的最值，函数的最值变化后又转化为方程有解22.在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为，正三角形 的顶点都在 上，且 依逆时针次序排列，点 的坐标为 （I）求点 的直角坐标；（II）设 是圆
27、 上的任意一点，求 的取值范围【答案】 （1）B(-1, ),C ；（2）8,24.【解析】【分析】（1）先求出曲线 C1的直角坐标方程，由此能求出点 B，C 的直角坐标（2）由圆 C2的参数方程结合两点间距离公式，利用三角函数性质能求出|PB 2|+|PC|2的取值范围【详解】 （1）由题意，得曲线 的普通方程为 ，其参数方程为 为参数，又因为点 的坐标为 ，所以 点的坐标为 ，即 ；点的坐标为 ，即 （2）由圆的参数方程，可设点 ，于是， 的范围是【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意公式参数方程和普通方程的互化和两点间距离公式、三角函数性质的合
28、理运用23.已知函数（1）若 ，求 的取值范围；（2）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围.【答案】(1) 的取值范围是 ;(2) 的取值范围是 .【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据二次函数性质得 的最大值，再根据绝对值三角不等式得 ，最后解不等式可得 的取值范围.试题解析：(1)由 得或 或综上所述,（2）当 时,记则 即 ，当 ， ，时 的最大值为 ，故原问题 又点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
