1、2017-2018 年度莆田六中高三第一次模拟考文科数学试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：可得出 ，然后进行交集的运算即可.详解： ，故选：A.点睛：考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算.2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.详解：由 ，得 ，则 .故选：D
2、.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.3. 已知等差数列 的首项 和公差 均不为零，且 ， ， 成等比数列，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由 ， ， 成等比数列，得 ，从而即可求得答案.详解： ， ， 成等比数列，即 ，解得： .故选：D.点睛：数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法4. 折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如如图所示的几何图形，其中四边形 为正方形， 为线段 的中点，四边形与四边形
3、 也为正方形，连接 、 ，则向多边形 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先求出多边形 的面积 S，再求出阴影面积 ，由此能求出该点落在阴影部分的概率.详解：设 ，则 ，故多边形 的面积 ，该点落在阴影部分的概率为 .故选：C.点睛：解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误5. 已知直线 平面 ，则“直线 ”是“ ”的( )A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析
4、】当 且 时,我们可以得到 或 （因为直线 与平面 的位置关系不确定）,所以充分性不成立;当 时,过直线 可做平面 与平面 交于直线 ,则有 .又有 ,则有 ,即 .所以必要性成立,故选 .6. 已知圆 ： ，点 ， 从点 观察点 ，要使视线不被圆 挡住，则实数 的取值范围为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：设切线的斜率为 k，由点斜式求得切线方程为 ，由圆心到直线的距离等于半径，得 ，从而切线方程为 ，和直线 的交点坐标为，由此能求出要使视线不被圆 挡住，实数 的取值范围.详解：点 B 在直线 上，过点 作圆的切线，设切线的斜率为 k，由点斜式求得切线方程为 ，由圆心到
5、直线的距离等于半径，得 ，解得 ，切线方程为 ，和直线 的交点坐标为 ，要使视线不被圆 挡住，实数 的取值范围是 .故选：B.点睛：本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、切线的性质、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.7. 将函数 的图象向左平移 （ ）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据辅助角公式，我们可将函数 化为余弦函数型函数的形式，进而得到平移后函数的解析式，结合所得图象对应的函数为偶函数及余弦型函数的性质，即可求出答案.详解： ，将其图象向左平移 （ ）个单位长度
6、，所得图象对应的解析式为 ，由于 为偶函数，则 ，则 ，由于 ，故当 时， .故选：C.点睛：本题考查的知识点是余弦型函数的图象和性质，余弦型函数的图象平移，熟练掌握余弦型函数的图象和性质，是解答本题的关键.8. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】抠点法，在长方体 中抠点,1.由正视图可知: 上没有点;2.由侧视图可知: 上没有点; 3.由俯视图可知: 上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知 处有点, 点排除.由上述可还原出四棱锥 ,如右图所示, ，故选 .【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能
7、力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 定义 为 个正数 的“均倒数” 若已知数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知得 ，a 1+a2+an=n（2n+1）=S n当 n2 时，a n=SnS n1 =4n1，验证知当 n=1 时也成立，a n=4n1， ， 1 = 故选 C10. 已知向量 满足 ， ，则 的取值范围是 (
8、 )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得： ， ，两式相加可得：如图所示，在平面直角坐标系中， ，以坐标原点为圆心， 为半径绘制单位圆， 为圆的直径，则 为满足题意的向量 ，其中 ，据此可得： ， ，据此可得： ，据此可得：，结合三角函数的性质可得：当 时， ，当 时， ，综上可得： 的取值范围是 .本题选择 D 选项.11. 已知 函数是一个求余函数，记 表示 除以 的余数，例如 如图是某个算法的程序框图，若输入 的值为 ，则输出的值为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，根据题意，56 大于 1 的约数有：2，4，7，8，14，28，5
9、6 共 7 个，即可得解.详解：模拟执行程序框图，可得：，满足条件 ，满足条件 ；满足条件 ，满足条件 ；满足条件 ，满足条件 ；满足条件 ，满足条件 ；，可得程序框图的功能是统计 56 大于 1 的约数的个数，由于约数有：2，4，7，8，14，28，56 共 7 个，共要循环 7 次，故 .故选：B.点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的 的值是解题的关键，属于基础题.12. 已知 ，则关于 的方程 ，给出下列五个命题：存在实数 ，使得该方程没有实根； 存在实数 ，使得该方程恰有 个实根；存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根； 存在实数 ，使得该方程恰有 个不同
10、实根；存在实数 ，使得该方程恰有 个不同实根其中正确的命题的个数是 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由解析式判断出 的正负，再写出 的解析式，根据指数函数的图象画出此函数的图象，根据方程根的几何意义和图象，判断出方程根的个数，便可判断出命题的真假.详解：函数 ，在 上 单调递减，且 ；在 上 单调递增，且 ，画出函数 和 的图象，如图所示：结合函数函数 和 的图象可得：当实数 时，关于 的方程 没有实根，正确；当实数 时，关于 的方程 恰有 1 个实根，正确；当实数 时，关于 的方程 恰有 2 个不同的实根，正确；不存在实数 t，使得关于 的方程 有 3 个或 4 个不同
11、的实根，故错误，综上所述：正确的命题是，共 3 个.故选：B.点睛：本题考查了命题的真假判断问题以及方程根的个数问题，也考查了分段函数的应用问题.二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 设 ，则 的大小关系是_.(用“”连接)【答案】【解析】分析：利用指数函数的单调性、三角函数求值即可得出.详解： ，.故答案为： .点睛：本题考查了指数函数的单调性、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.14. 若变量 、 满足约束条件 ，则 的最大值为 _.【答案】【解析】分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.详解：画出可行域，如图
12、：，由图可知，当直线 经过点 时，z 最大，且最大值为 .故答案为：3.点睛：本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，是基础题.15. 设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 在双曲线上，若， 的面积为 ，且 ，则该双曲线的离心率为 _.【答案】【解析】分析：设 ，由 的面积为 9 算出 ，结合勾股定理得到 ，再用双曲线定义可得 ，进而得到 ，利用平方关系得到 ，最后可得该双曲线的离心率的值.详解：设 ， 的面积为 ，即 ，在 中，根据勾股定理得 ，结合双曲线的定义，得 ，化简整理得 ，即 ，可得 ，结合 得 ，该双曲线的离心率为 .故答案为： .点睛：本
13、题给出双曲线满足的条件，求它的离心率，着重考查了向量数量积性质、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，解题时请注意整体代换与配方思想的运用.16. 已知函数 ，则 _.【答案】【解析】分析：由题意可得 ，利用倒序相加法，从而即可得到答案.详解： ，设 则 +得 ，.故答案为：2018.点睛：本题考查数列与函数的应用，考查推理能力以及运算求解能力.三、解答题：本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数 (1)求函数 的递增区间；(2)若 的角 所对的边分别为 ，角 的平分线交 于 ， ，求 【答案】(1) ， ；(2) .【解析】分析：（1）利用三角恒等变换化简
14、函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数 的递增区间；（2）在 中，利用正弦定理求得 的值，可得 B 的值，再利用两角和的余弦公式，求得 的值.详解：(1)，令 ， ， ， ，函数 的递增区间为 ， . (2) ， ， ，又 ， ， ， ，又 平分 ， ，又 ，又由正弦定理得： ， ， ，又 ， ； ， 点睛：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦定理、两角和的余弦公式的应用，属于中档题.18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通 座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相
15、联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表（其中浮动比率是在基准保费上上下浮动）：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素 浮动比率上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮某机构为了研究某一品牌普通 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 辆车龄已满三年的，该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型数量(1)求这 辆车普通 座以下私
16、家车在第四年续保时保费的平均值；（精确到 元）(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损 元，一辆非事故车盈利 元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致试完成下列问题：若该销售商店内有六辆（车龄已满三年）该品牌二手车，某顾客欲在该店内随机挑选 辆车，求这 辆车恰好有一辆为事故车的概率；若该销售商一次购进 辆车（车龄已满三年）该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值【答案】(1) ；(2) ， .【解析】分析：（1）由统计表能求出这 60 辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费的平均值；（2）由统计数据可知，该销
17、售商店内的 辆该品牌车龄已满三年的二手车中有 辆事故车，设为 ， ， 辆非事故车，设为 ， ， ， 从这 辆车中随机挑选 辆车的情况有 20 种，利用列举法能求出这 3 车辆中恰好有一辆事故车的概率；由统计数据可知，该销售商一次购进 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车 辆，非事故车 辆，由此能求出一辆车盈利的平均值.详解：(1)这 辆普通 6 座以下私家车在第四年续保时保费高的平均值为元； (2) 由统计数据可知，该销售商店内的 辆该品牌车龄已满三年的二手车中有 辆事故车，设为 ， ， 辆非事故车，设为 ， ， ， 从这 辆车中随机挑选 辆车的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
18、， ， ， ， ， ， ， ，共 种情况 其中 辆车中恰好有一辆为事故车的情况有：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种故该顾客在店内随机挑选 辆车，这 辆车中恰好有一辆事故车的概率为 .由统计数据可知，该销售商一次购进 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车 辆，非事故车 辆，所以一辆车盈利的平均值为 (元)点睛：本题考查平均数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.19. 如图，在三棱锥 中， ， ， ， ， 为线段 的中点， 是线段 上一动点（1）当 时，求证： 面 ；（2）当 的面积最小时，求三棱锥 的体积【答案】(1)证明
19、见解析；(2) .【解析】分析：（1）先利用勾股定理得到线线垂直，利用“同一平面内与一条直线垂直的直线平行”得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）先利用等腰三角形的“三线合一”得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到面面垂直和线线垂直，进而确定 为直角三角形，确定何时取得最小值，再利用三棱锥的体积公式进行求解详解：（1）直角 中， ，在 中，由 知 ， ，又 面 ， 面 .（2）等腰直角 中，由 为 中点知， ，又由 ， ， 知 面 ，由 面 ， ，又 ， 知 面 ，由 面 ， ，即 为直角三角形， 最小时， 的面积最小，过点 作 的垂线时，当 为垂足时， 最小为 ，
20、 .点睛：本题考查空间中垂直关系的转化、平行关系的转化和三棱锥的体积等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力20. 已知一定点 ，及一定直线 ： ，以动点 为圆心的圆 过点 ，且与直线 相切(1)求动点 的轨迹 的方程；(2)设 在直线 上，直线 分别与曲线 相切于 为线段 的中点求证： ，且直线 恒过定点【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）利用直接法，即可求动点 的轨迹 的方程；（2）依题意可设 ， ， ，切线 ： ，同理可得切线 PB，故可得到 ，从而整理可得答案.详解：(1) 圆 过点 ，且与直线 相切，点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，点 的轨迹是以
21、为焦点，以直线 ： 为准线的一抛物线， 即 ，动点 的轨迹 的方程为 . (2)依题意可设 ， ， ，又 ， ， ，切线 的斜率 ，切线 ： ，即 ，同理可得：切线 的斜率 ， ： ，又 ， 且 ，故方程 即 有两根 ， ， ， ， ，又 为线段 的中点， ，又由 得： ，即 ，同理可得： ，故直线 的方程为 ，故直线 恒过定点 点睛：1.求定值问题常见的方法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点
22、坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意21. 已知函数 .(1)若 ，求函数 的极值；(2)若 ，记 为 的从小到大的第 （ ）个极值点，证明：（ ） 【答案】(1)极大值 ；极小值 ；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求 的极值；（2）求出函数的导数，确定 ， ，利用裂项法，即可证明结论.详解：(1) ， ， ， ，令 ，则 或 ，当 或 时， ，当 时， ， 在 上递增，在 上递减， 在 上递增，当 时， 取得极大值， ，当 时， 取得极小值， .(2) 为 的从小到大的第 （ ）个极值点，又
23、令 ， ，则 ， ， ， ， ， 点睛：本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查放缩法的运用，属于中档题.(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 44：坐标系与参数方程已知直线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 (1) 求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；(2) 设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值【答案】(1) ， ；(2) .【解析】分析：（1）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）代入建立一元二次方
24、程，利用根和系数的关系求出结果.详解：(1)直线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的普通方程为 ，即 ，直线 的极坐标方程： ，又曲线 的极坐标方程为 ， ， ， ，即 ，曲线 的直角坐标方程为 .(2)将直线 ： 代入曲线 的极坐标方程： 得： ，设直线 与曲线 的两交点 的极坐标分别为 ， ， ， 点睛：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用.23. 选修 4-5：不等式选讲 设函数 (1)当 时，求不等式 的解集；(2)对任意实数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围【答案】(1) ；(2) 或 .【解析】分析：（1）利用 ，化简不等式，通过分类讨论求解即可；（2）利用函数恒成立，转化求解即可.详解：(1) ，当 时， ， 又 ， 或 或 ， 或 或 ， 或 ， 的解集为 . (2) （当且仅当 时，等号成立） ， ，又对任意实数 ，都有 恒成立， ， ， 或 ， 或 故实数 的取值范围为 或 点睛：本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力.
