1、三明一中高三理科数学模拟试卷(二)一、选择题:本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 ,集合 , ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析:利用一元二次不等式的解法化简集合 ,利用补集的定义求出 ,由交集的定义可得结果.详解:因为 , 所以 或 ,结合集合 ,所以可得 ,故选 A.点睛:研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合.2. 已知 为虚数单位,复数 ,则以下为真命题的是( )A
2、. 的共轭复数为 B. 的虚部为C. D. 在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】 , 的共轭复数为 , 的虚部为 , , 在复平面内对应的点为 ,故选 D.3. 我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长 5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下 1尺,重 4斤;在细的一端截下 1尺,重 2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金箠由粗到细是均匀变化的,则金箠的重量为( )A. 15斤 B. 14 斤 C. 13 斤 D. 12 斤【答案】A【解析】由题知,由粗到细每段的重量成等差数列,设该数列为
3、 ,不妨设 ,则 ,则金箠的重量为 ,故选 A.4. 与双曲线 的渐近线平行,且距离为 的直线方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】双曲线 的渐近线为 ,即 ,与之平行的直线设为,则 ,故选 B.5. 若 为偶函数,且在 上满足任意 , ,则 可以为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 =-sinx为奇函数,排除 A; 为奇函数,排除C; =-cos4x为偶函数,且单调增区间为 ,kZ,排除 D; = 为偶函数,且在 上单调递增,故选 B.6. 执行如图所示的程序框图,当 时,输出的 值为( )A. B. 0 C. D. 【答案】D【解析】由题意,数列 的周期是 6
4、,当 时,输出的 S= ,故选 D.7. “中国梦”的英文翻译为“ ”,其中 又可以简写为 ,从“ ”中取 6个不同的字母排成一排,含有“ ”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A. 360种 B. 480 种 C. 600 种 D. 720 种【答案】C【解析】从其他 5个字母中任取 4个,然后与“ ”进行全排列,共有 ,故选 B.8. 的展开式中 的系数为( )A. -4 B. -8 C. -12 D. -16【答案】C【解析】 ,又 的二项式展开式的通项公式 ,当且仅当 r=1,k=1时符合题意,的展开式中 的系数为 ,故选 C.9. 随机变量 服从正态分布 , , ,则 的最小值为
5、( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意, = ,当且仅当 ,即 时等号成立,故选 D.点睛: 本题考查正态分布图象的对称性以及基本不等式的应用.在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.10. 如图所示,格纸上小正方形的边长为 1,粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图知,该几何体是一个棱长为 2的正方体挖去一个圆锥,其表面积为,故选 D.
6、点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.11. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,过点 的直线交抛物线于 , 两点,过点 作准线 的垂线,垂足为 ,当 点坐标为 时, 为正三角形,则此时 的面积为( )A. B. C. D.
7、【答案】A【解析】如图所示,过点 F作 AE的垂线,垂足为 H,则 H为 AE的中点,则 ,解得 p=2, ,直线 AF为 ,代入抛物线方程为 ,解得 x=3或 x= , 或 ,故选 A.12. 已知函数 ,则方程 的实根个数为( )A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】C【解析】令 t=f(x),则方程 等价于 ,在同一平面直角坐标系中作出 f(x)与直线 y=2x+ 的图象,由图象可得有两个交点,且 的两根分别为 和,当 时,解得 x=2,当 时, f(x)有 3个不等实根,综上所述, 方程 的实根个数为 4,故选 C.点睛:本题考查函数与方程思想和数形结合思想的应用,考查换元法的
8、应用技巧,属于中档题. 对于函数 ,我们把使 的实数 x叫做函数 的零点.即函数的零点就是指使函数值为零的自变量的值.通过化简也经常将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题.二、填空题(每题 5分,满分 20分,将答案填在答题纸上)13. 已知函数 在区间 上是单调函数,其中 是直线 的倾斜角,则 的所可能取值范围为_【答案】【解析】函数 的对称轴是 , 或 ,即或 ,又 ,则 的所可能取值范围为 ,故填 .14. 若 的三内角 , , 满足: ,则以 为一内角且其对边长为的三角形的外接圆的面积为_【答案】【解析】设内角 所对的边分别为 a,b,c,由题设 a=2k(k0),则 b=c=3
9、k, ,则 ,设所求三角形的外接圆半径为 R,则 ,解得 ,所以三角形的外接圆的面积为 ,故填 .15. 已知实数 , 满足 ,且 , ,若 ,则实数 的最大值是_【答案】【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,其中 A(-2,2),B(-1,0), 则,即 ,其几何意义为可行域内的点与 P(1,1)连线的斜率,其最大值为,即实数 a的最大值为 ,故填 .16. 已知函数 , , ,若当 时,不等式组恒成立,则实数 的取值范围为_【答案】三、解答题(本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列 是首项为 1 的等差数列,数列 满足 ,
10、且 ,.(1)求数列 的通项公式;(2)令 ,求数列 的前 项和 .【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析: (1)根据数列 的递推关系式以及等比数列的定义,得出 是一个等比数列,根据基本量运算求解即可;(2)先求出等差数列 的通项公式,代入 ,根据错位相减法求出数列的前 n项和.试题解析:(1) , , , 是首项为 ,公比为 3的等比数列, ,即 .(2)由(1)知, , ,则 , ,令 , 得 . .点睛: 用错位相减法求和应注意的问题 :(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确
11、写出“SnqSn”的表达式; (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于 1和不等于 1两种情况求解. 18. 2016年 1月 1日,我国实行全面二孩政策,同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行格化管理,该市妇联在格 1与格 2两个区域内随机抽取 12个刚满 8个月的婴儿的体重信息,体重分布数据的茎叶图如图所示(中位:斤,2 斤 1千克).体重不超过 的为合格.(1)从格 1与格 2分别随机抽取 2个婴儿,求格 1至少一个婴儿体重合格且格 2至少一个婴儿体重合格的概率;(2)妇联从格 1内 8个婴儿中随机抽取 4个进行抽检,若至少 2个婴儿合格,则抽检通过,
12、若至少 3个合格,则抽检为良好.求格 1在抽检通过的条件下,获得抽检为良好的概率;(3)若从格 1与格 2内 12个婴儿中随机抽取 2个,用 表示格 2内婴儿的个数,求 的分布列与数学期望.【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.【解析】试题分析: (1)根据茎叶图得出网格 1内体重合格的婴儿数和网格 2内体重合格的婴儿数,运用对立事件的概率求解即可;(2)分别求出网格 1在抽检通过的概率和获得抽检为良好的概率,运用条件概率求解即可;(3) 由题意得出所有 x的可能取值,分别求出概率列成表格形式得出分布列,根据定义求得期望值.试题解析:(1)由茎叶图知,网格 1内体重合格的婴儿数为 4,网格
13、 2内体重合格的婴儿数为 2,则所求概率 .(2)设事件 表示“2 个合格,2 个不合格” ;事件 表示“3 个合格,1 个不合格” ; 事件表示“4 个全合格” ;事件 表示“抽检通过” ;事件 表示“抽检良好”. ,则所求概率 .(3)由题意知, 的所有可能取值为 0,1,2. , , , 的分布列为 .点睛:在求某事件的概率时,若事件较为复杂,可通过求它的对立事件的概率来求解,对于含有”至多”,”至少”等词语的概率问题时,一般用对立事件的概率来解较为简单;求概率时,当题目中含有”在发生的条件下,求发生的概率”时,一般用条件概率求解,解题时分清楚谁是条件,然后利用公式求解.19. 如图所示
14、,四边形 为菱形,且 , , ,且 ,平面 .(1)求证:平面 平面 ;(2)求平面 与平面 所成锐二面角的正弦值.【答案】 (1)见解析;(2)平面 与平面 所成锐二面角的正弦值为 .【解析】试题分析: (1)先证得 平面 ,再根据面面垂直的判定定理得出结论 ;(2)建立合适的空间直角坐标系,分别求出平面 AEF和平面 ABE的法向量,利用二面角的公式求解即可.试题解析:(1) 平面 , 平面 ,又 平面 ,平面 平面 .(2)设 与 的交点为 ,建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 ,设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,令 ,则 , .设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,令 ,则 , . , ,
15、平面 与平面 所成锐二面角的正弦值为 .20. 已知椭圆 : 的离心率为 , 为焦点是 的抛物线上一点,为直线 上任一点, , 分别为椭圆 的上,下顶点,且 , , 三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆 的方程;(2)直线 , 与椭圆 的另一交点分别交于点 , ,求证:直线 过定点.【答案】(1) 椭圆 的方程为 ;(2) 直线 过定点 .【解析】试题分析: (1)由已知列出方程组,解出 a,b,c的值,求出椭圆的标准方程;(2)联立直线 HA与椭圆方程,得到关于 x的一元二次方程,利用根与系数的关系得出 D点坐标,同理求出 E点坐标,代入直线方程并化简,即可求出定点.试题解析:(1)由题意
16、知, ,解得 ,椭圆 的方程为 .(2)设点 ,易知 ,直线 的方程为 ,直线 的方程为 .联立 ,得 , ,冋理可得 ,直线 的斜率为 ,直线 的方程为 ,即 ,直线 过定点 .21. 已知函数 , .(1)当 时,讨论 的单调性;(2)设 ,若关于 的不等式 在 上有解,求 的取值范围.【答案】(1) 函数 在 上单调递增,在 上单调递减;(2) 的取值范围为 .【解析】试题分析: (1)对函数两次求导,判断出函数的单调性;(2)将函数 g(x)的解析式代入关于 x的不等式,化简并构造新函数,对新函数求导,讨论参数的范围判断出单调性求出最值,代入不等式即可.试题解析:(1)由题意知, ,令
17、 ,当 时, 恒成立,当 时, ;当 时, ,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.(2) , ,由题意知,存在 ,使得 成立.即存在 ,使得 成立,令 , . 时, ,则 ,函数 在 上单调递减, 成立,解得 , ;当 时,令 ,解得 ;令 ,解得 ,函数 在 上单调递增,在 上单调递减,又 , ,解得 , 无解;当 时, ,则 ,函数 在 上单调递增, ,不符合题意,舍去;综上所述, 的取值范围为 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,直线 的极坐标方程为 ,现以极点 为原点,极轴为 轴的非负半轴建立
18、平面直角坐标系,曲线 的参数方程为 ( 为参数).(1)求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程;(2)若曲线 为曲线 关于直线 的对称曲线,点 , 分别为曲线 、曲线 上的动点,点 坐标为 ,求 的最小值.【答案】(1) 直线 的直角坐标方程为 ,曲线 的普通方程为 ;(2) 的最小值为 .【解析】分析:(1)由直线 的极坐标方程化为 ,只要将 和 换成和 即可得到直线 的直角坐标方程,曲线 的参数方程利用平方法消去参数可得曲线 的普通方程;(2)根据圆的几何性质可得 ,则的最小值为 .详解:(1) , ,即 ,直线 的直角坐标方程为 ; ,曲线 的普通方程为 .(2)点 在直线 上,根据对
19、称性, 的最小值与 的最小值相等,曲线 是以 为圆心,半径 的圆. ,则 的最小值为 .点睛:本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及圆的几何性质,属于中档题.消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:代入消元法;加减消元法;乘除消元法;三角恒等式消元法,极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 和 换成 和 即可.23. 选修 4-5:不等式选讲已知函数 , .(1)若 ,求不等式 的解集;(2)若对于任意 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .试题解析:(1)令 .当 时, 等价于 或 或 ,解得 或 或 ,不等式 的解集为 .(2)由题意知, 在 上恒成立,又 , ,即 的取值范围是 .