1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得 ，故复数 的虚部为 选 D2. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，所以 选 C3. “常数 是 2 与 8 的等比中项”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】常数 是 2 与 8 的等比中项，
2、，解得 “常数 是 2 与 8 的等比中项”是“ ”的必要不充分条件选 B4. 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1，靶中各图的半径依次加 1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7 环到 9 环）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得，此点取自黑色部分的概率是，故选 A.5. 已知 是双曲线 的一个焦点，点 到 的一条渐近线的距离为 ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设一条渐近线方程为 ， ，则点 到 的一条渐近线的距离，则双曲线 的离心率 ，故选 C.6. 等差数列 的第四项等于（
3、）A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A【解析】 成等差数列， ， ， ，解得 等差数列的前三项为 ，公差 ，数列的第四项为 选 A7. 如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为一个长方体截去了两个半圆柱而形成的，则该几何体的表面积为 ，故选 B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，
4、长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知曲线 ，则下列结论正确的是 （ ）A. 把 向左平移 个单位长度，得到的曲线关于原点对称B. 把 向右平移 个单位长度，得到的曲线关于 轴对称C. 把 向左平移 个单位长度，得到的曲线关于原点对称D. 把 向右平移 个单位长度，得到的曲线关于 轴对称【答案】B【解析】对于 A，把 向左平移 个单位长度后得到的图象对应的解析式为 ，为偶函数，图象关于 轴对称故 A 不正确对于 B，把 向右平移 个单位长度后得到的图象对应的解析式为 ，为偶函数，图象关于 轴对称故 B 正确对于 C，把 向左平移 个单位长
5、度后得到的图象对应的解析式为 ，无奇偶性，图象不对称故 C 不正确对于 D，把 向右平移 个单位长度后得到的图象对应的解析式为 ，无奇偶性，图象不对称故 D 不正确综上选 B9. 大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其规律是：偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100 项而设计的，那么
6、在两个“ ”中，可以先后填入（ ）A. 是偶数， B. 是奇数，C. 是偶数， D. 是奇数，【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以 ，奇数项是序号平方减 再除以 ，可知第一个框应该是“奇数” ，执行程序框图， 结束，所以第二个框应该填 ，故选 D.10. 已知函数 在其定义域上单调递减，则函数 的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 在其定义域上单调递减， 在定义域上恒成立，且不可恒为 0，即 恒成立结合函数 的图象及导数的几何意义可得选项 A 满足条件选 A11. 已知抛物线 为 轴负半轴上的动点， 为抛物线的切线， 分别为切点，则 的最小值为 （ ）A.
7、B. C. D. 【答案】C【解析】设切线 的方程为 由 消去 x 整理得 （*） ，直线与抛物线相切， ，故 方程 （*）为 ，解得 点 的坐标分别为 在方程 中，令 ，可得 ，点 的坐标为 ，当 时， 取得最小值 选 C点睛：在求解解析几何中的最值问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先选择适当的变量建立目标函数，然后再根据函数解析式的特征，选择用基本不等式或函数的知识求解这个最值，这是解决此类问题常用的方法12. 设函数 ，若互不相等的实数 满足 ，则 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出函数 的图象如图所示不妨令 ，则 ，则 结合图象可
8、得 ，故 选 B点睛：解答本题时利用函数图象进行求解，使得解题过程变得直观形象解题中有两个关键：一是结合图象得到 ；二是根据图象判断出 c 的取值范围，进而得到 的结果，然后根据不等式的性质可得所求的范围二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知单位向量 的夹角为 30，则 _【答案】1【解析】因为单位向量 的夹角为 ，所以 ，故答案为 .14. 设 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】2【解析】作出不等式组 表示的可行域，如图，由 可得 ，由图可知，当直线 过点 时， 取得最大值，此时 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的
9、最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 _【答案】14【解析】由题意得 答案：16. 如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的正方形 的中心为 为圆 上的点， 分别是以 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 为折痕折起 ，使得 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时，该四棱锥的外接球的体积为_【答案】
10、【解析】如图，连结 交 于点 ，设 重合于点 ，正方形的边长为 ，则该四棱锥的侧面积是底面积的 倍， ，解得 ，设该四棱锥的外接球的球心为 ，半径为 ，则 ， ， ，解得 ，外接球的体积 ，故答案为 .三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .（1）证明： ；（2）若 ，求 的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）将条件变形可得 ，利用余弦定理可得所证的结论 （2）当 时，由（
11、1）中的结论可得 ；再根据正弦定理可得 ，又又 ，根据面积公式可得结果试题解析：（1） ， ，由余弦定理可得 ， ， .（2） ， ，由正弦定理得 ， ，又 ， .18. “微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现随机选取朋友圈中的 50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数/步 10000 以上男生人数/人1 2 7 15 5女性人数/人0 3 7 9 1规定：人一天行走的步数超过 8000 步时被系统评定为“积极性” ，否则为“懈怠性”.（1）
12、填写下面列联表（单位：人） ，并根据列表判断是否有 90%的把握认为“评定类型与性别有关” ；积极性 懈怠性 总计男女总计附：0.10 0.05 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 6.635 7.879 10.828（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在 的人群中再随机抽取 3 人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）先根据题中数据完成列联表，然后根据列联表求得 ，再结合临界值表中的数据得到结论即可 （2）根据古典概型概率的求法先通过列举法得到基本事件总数和男性人数超过女性人数所包含的
13、基本事件数，然后根据概率公式求解试题解析：（1）根据题意完成下面的列联表：积极性 懈怠性 总计男 20 10 30女 12 8 20总计 32 18 50根据列联表中的数据，得到 ，所以没有 90%的把握认为“评定类型与性别有关” （2）设步行数在 中的男性的编号为 1，2，女性的编号为 .从 5 人中选取三位的所有情况为：，共有 10 种符合条件的情况有： ，共 3 种故所求概率为 .19. 如图，在直角梯形 中， ，且 分别为线段 的中点，沿 把 折起，使 ，得到如下的立体图形.（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，求点 到平面 的距离.【答案】(1)见解析;(2)2.【解析】试题分析：（
14、1）由折叠问题的特征可得 ，又 ， ，故可得 平面 ，根据面面垂直的判定定理可证得结论 （2）过点 作 交 于点 ，连结 ，结合条件可得可得 ，于是得到 然后根据条件求得 ， ，然后根据 可求得点 到平面 的距离试题解析：（1）证明：由题意可得 ， ，又 ， ， 平面 . 平面 ，平面 平面 （2）解：过点 作 交 于点 ，连结 ，则 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面 ，又 平面 于是可得 ， ， , 设点 到平面 的距离为 ，由 ，可得 ， 平面 ， 又 , 又 ， ，解得 故点 到平面 的距离为 2点睛：（1）解决折叠性问题时首先要分清在折叠前后哪些量（位置关系或数量关系）发生了变化，哪
15、些量没有发生变化一般的结论是在折线同侧的量的关系在折叠前后不变，在折线两侧的量的关系在折叠前后改变（2）立体几何中求点到平面的距离时，可把所求的距离看作是一个三棱锥的高，利用可利用等体积法求解20. 已知椭圆 的离心率为 ，且 过点 .（1）求椭圆 的方程；（2）若直线 与椭圆 交于 两点（点 均在第一象限） ，且直线 的斜率成等比数列，证明：直线 的斜率为定值.【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于 的方程组，解得 后可得椭圆的方程 （2）由题意设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线 的斜率
16、，再根据题意可得 ，根据此式可求得 ，为定值试题解析：（1）由题意可得 ，解得 故椭圆 的方程为 （2）由题意可知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 ，由 ，消去 整理得 ，直线 与椭圆交于两点， 设点 的坐标分别为 ，则 ， 直线 的斜率成等比数列， ，整理得 ， ，又 ，所以 ，结合图象可知 ，故直线 的斜率为定值点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定
17、值21. 已知函数 .（1）证明：当 时，函数 在 上是单调函数；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 (1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意得 ，再令 ，利用导数可得 在 取得最小值，且 ，于是 ，从而得到 在 上是单调递增函数 （2）由题意分离参数可得当 时， 恒成立令 ，利用导数可得到当时， 取得最小值，且 ，从而可得 ，即为所求的范围试题解析：（1） ， ，令 ，则 ，则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增函数 在 取得最小值，且最小值为 ， 在 上恒成立， 在 上是单调递增函数（2）由题意得当 时， 恒成立，当 时， 恒成立令 ，则 ，令 ，
18、则 . 时， 单调递增， ，即 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.当 时， 取得最小值，且 ， 故实数 的取值范围为 .点睛：（1）不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以 e 为底的指数式或对数式、三角函数式及绝对值结构的不等式在某个区间 A 上恒成立(存在性)，求参数取值范围（2）解决不等式恒成立问题的常用方法是分离参数法，将参数分离后变成 或恒成立的问题，此时只需满足 或 即可，利用导数方法求出 f(x)的最小值或 g(x)的最大值，从而问题得解（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 【选修 4-4：坐标
19、系与参数方程】在直角坐标系 中，圆 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， .（1）求 的极坐标方程和 的平面直角坐标系方程；（2）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， 与 的交点为 ，求 的面积.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）化圆的标准方程为一般方程，再把 代入一般方程得 的极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义以及直线的点斜式方程，可得 的直角坐标方程；（2）分别将 代入 ，得 ，根据极径与极角的几何意义，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）因为圆 的普通方程为 ，把 代入方程得 ，所以 的极坐标方程为 ，的平面直角坐标系方程为 ；
20、（2）分别将 代入 ，得 ，则 的面积为 .23. 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若存在 ，使得 和 互为相反数，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）对 分三种情况讨论，取掉绝对值符号，分别求解不等式组，然后求并集即可求得不等式 的解集；（2）存在 ，使得 成立，等价于 ，求得 ， ，根据交集的定义列不等式求解即可.试题解析：（1）由题意可得 ，当 时， ，得 ，无解；当 时， ，得 ，即 ；当 时， ，得 ，综上， 的解集为 .（2）因为存在 ，使得 成立，所以 ，又 ，由（1）可知 ，则 ，所以 ，解得 .故 的取值范围为 .
