1、2018 年普通高等学校招生模拟考试理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合， 若全集 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据对数函数的性质，求解 ，即，再根据集合补集的运算，即可求解.详解：由集合 ，即 ，又因为 ，所以 ，故选 B.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合 ，得到集合 ，再根据集合的补集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 设是虚数单位，若复数 是纯虚数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解： ，由纯虚数的定义
2、可得： .本题选择 D 选项.3. 若 ， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，得 ，进而求得 ，即可求解答案.详解：由诱导公式得 ，平方得 ，则 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，故选 C.点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中涉及到三角的诱导公式和三角函数的基本关系的灵活应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 设平面向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）A. 是 的充分不必要条件 B. 与的夹角为C. D. 与 的夹角为【答案】D【解析】分析：由平面向量 ，且 ，解得 ，此时，进而可判断选
3、项，得到答案.详解：由题意，平面向量 ，且 ，所以 ，解得 ，此时所以 是 垂直的充要条件，所以选项 A 不正确；，所以 C 不正确；由 ，则 ，所以向量 与的夹角为，则 ，所以 ，故选 D.点睛：本题主要考查了向量的坐标运算、向量垂直的条件，以及向量的模和向量的夹角公式等知识点，其中熟记向量的基本概念和基本的运算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5. 已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 ，则双曲线的实轴长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意双曲线 的离心率为 ，得 ，把点 ，代入双曲线的方程，解得 ，即可得到答案.详解：由题意双曲线 的离心率为
4、，即 ，又由 ，即 ，所以双曲线的方程为 ，又因为双曲线过点 ，代入双曲线的方程，得 ，解得 ，所以双曲线的实轴长为 ，故选 C.点睛：本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6. 若 ，则二项式 的展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意 ，得到二项式的展开式的通项，即可求解展开式的常数项详解：由题意 ，即二项式为 ，则展开式的通项为 ，当 时，得到常数项为 ，故选 A.点睛：本题主要考查了二项式定理的应用，其中数据二项展开式的通项公式是解答此类试题的关键，着重考查了推理与运算能力
5、.7. 如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入 的分别为 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：由程序框图可知：输入 ，第一次循环 ， ；第二次循环 ， ；第三次循环 ， ； ，退出循环输出，输出因此输出的为 ，故选 D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意
6、区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由给定的三视图得该几何体表示左侧是一个以边长为 的正方形为底面，高为 的四棱锥，右侧为一个值三棱柱，其底面如俯视图所示，高为 的直三棱柱，即可求解其体积详解：由给定的三视图可知，该几何体表示左侧是一个以边长为 的正方形为底面，高为 的四棱锥，其体积为 ；右侧为一个值三棱柱，其底面
7、如俯视图所示，高为 的直三棱柱，其体积为 ，所以该几何体的体积为 ，故选 B点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解9. 已知 ， ， ，当 时，均有 则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意知 在 上恒成立，令 ，结合图形，列出不等式组，即可
8、求解实数的取值范围.详解：由题意，若当 时，都有 ，即 在 上恒成立，令 ，由图象可知，若 时， ，即 ，此时 ；若 时， ，即 ，此时 ，所以 ，综上所述，实数的取值范围是 ，故选 C.点睛：本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中将不等式转化为函数的图象之间的关系是解答的关键，着重考查了数形结合和转化与化归思想方法，.10. 某旅行社租用 两种型号的客车安排 名客人旅行， 两种车辆的载客量分别为人和 人，租金分别为 元/辆和 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 辆，且 型车不多于 型车 辆，则租金最少为（ ）A. 元 B. 元 C. 元 D. 元【答案】C【解析】设租 A 型车 x 辆
9、， B 型车 y 辆时租金为 z 元则 z1600x2400yx、y 满足画出可行域观察可知，直线 过点 A(5,12)时纵截距最小，zmin51 6002 40012 36800，故租金最少为 36800 元选 C.视频11. 已知函数 的图象经过点 ，在区间 上为单调函数，且 的图象向左平移 个单位后与原来的图象重合，当 ，且 时，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意，求得 的值，写出函数 的解析式，求函数的对称轴，得到的值，再求解 的值即可.详解：由函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ，所以 ，即 ，由 的图象向左平移 个单位后得 ，由两函数的图象完全重合，知
10、，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，则其图象的对称轴为 ，当 ，其对称轴为 ，所以 ，所以 ，故选 B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得 的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.12. 已知点 是曲线 上任意一点，记直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则（ ）A. 存在点 使得 B. 对于任意点 都有C. 对于任意点 都有 D. 至少存在两个点 使得【答案】B【解析】分析：任取正实数 ，则直线 的斜率为 ，利用 的性质，逐一判定，即可求解.详解：任
11、取正实数 ，则直线 的斜率为 ，因为 ，又由 成立，因为 和 中两个个等号成立条件不一样，所以 恒成立，即 恒成立，排除 A；当 时， ，则 ，排除 C；对于 D 选项，至少存在两个点 使得 ，即 至少存在两解，即 至少有两解，又因为 恒成立，所以至多有一个解，排除 D，综上所述，选项 B 是正确的，故选 B.点睛：本题主要考查了函数性质的综合应用，以及直线的斜率公式，导数在函数中的应用，其中解答中根据题意构造函数 ，利用函数的单调性和最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想和推理、论证能力.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知平面向量 ， 则事件“ ”的
12、概率为_【答案】【解析】分析：由题意得到点 表示以 为圆心，半径为 的圆，其面积为 ，其中弓形 的面积为 ，即可利用几何概型求解其概率.详解：由题意，平面向量 ，且 ，即 ，表示以 为圆心，半径为 的圆，其面积为 ，其中弓形 的面积为 ，所以所求概率为 .点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的求解，其中根据题意得到相应的图形的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.14. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ， 为抛物线上任意一点，且满足，则 _【答案】【解析】分析：由抛物线的定义可得 ，由 ，求得 的值，即可求出锐角的大小.详解：由抛物线的方程 ，可得准线方程为 ，设 ，过点 作
13、 垂直于抛物线的准线， 为垂足，则由抛物线的定义可得 ，在 中， ，由直角三角形的边角关系可得 ，则 ，所以 .点睛：本题主要考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，其中有直角三角形的边角关系可得 是解答的关键和难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15. 如图所示，在平面四边形 中， ， ， ， ，则 _【答案】3【解析】分析：详解：设 ，在直角 中，得 ，所以 ，在 中，由余弦定理 ，由于 ，所以 ，即 ，整理得 ，解得 .点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含
14、有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到16. 在三棱锥 中，底面为 ，且 ，斜边 上的高为 ，三棱锥 的外接球的直径是 ，若该外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积的最大值为_【答案】【解析】分析：以 构造长方体，此时三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，其直径为 ，由已知得当 时，此时三棱锥的体积最大，即可求解.详解：以 构造长方体，此时三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，其直径为 ，因为该外接球的表面积为 ，所以 ，设 ，在三棱锥 中， ，且 斜边上的高为 ，所以 ，设 斜边上的高为
15、，所以 ，由 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，即 ，当且仅当 时取得等号，所三棱锥的最大体积为 .点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）根据球的截面的性质，利用勾股定理求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和为 ， （1）求 的通项公式；（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求证： .【答
16、案】 （1） ；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题意可得 ,则 ，易得首项为 .所以 .（2）由（1）的结果可知 ，则 ，放缩之后裂项求和可得.试题解析：（1）设 的公比为 ，由 得， ,所以 ，所以 .又因为 ，所以 ，所以 .所以 .（2）由（1）知 ，所以 ，所以.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的18. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， 为 的中点（1）求证：平面 平面 ；（2） ，在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 .请
17、说明理由.【答案】 （1）见解析；（2） 在 处或 处【解析】分析：（1）由平面 平面 ， ，又由 平面 ， 平面，即 ，利用线面垂直的判定定理，证得 平面 ，再由面面垂直的判定定理即可作出证明.（2）如图建立空间直角坐标系，设 ，求得平面 和 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.详解：（1）平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，又 平面 ，又 ， ， 平面 ， 平面 ，即 ，在 中， ， 为 的中点， ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面（2）如图建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ， ，设 ， ， ， ，因为， ，所以 平面 ，故 为平面平面 的一个法向量设 平面 ，且 ，则由
18、 得 ，由 得 ，从而，解得 ，或 ，即 在 处或 处.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解与应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19. 某房产中介公司 2017 年 9 月 1 日正式开业，现对 2017 年 9 月 1 日到 2018 年 5 月 1 日前 个月的二手房成交量进行统计， 表示开业第 个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关
19、系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱，统计学认为，对于变量，如果 ，那么相关性很强；如果 ，那么相关性一般；如果，那么相关性很弱，通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合 与 的关系，计算得相关系数，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到 ）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 （计算结果精确到 ） ，并预测该房地产中介公司 2018 年 6 月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）.（3）该房地产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获 千元奖金；抽中“二等奖”获 千元奖金；抽中“祝您平安” ，则没有奖金
20、.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为 ，获得“二等奖”的概率为 ，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额 （千元）的分布列及数学期望.参考数据： ， ， ， ， ，参考公式： ， ，【答案】 （1）变量 线性相关行很强；（2）33；（3）见解析【解析】分析：（1）根据相关系式公式，即可求解相关系数，并作出判断；（2）计算回归系数得出回归方程，再根据回归方程估计成交量，即可作答；（3）根据相互独立事件的概率计算随机变量 的各种可能取值对应的概率，从而得出分布列，求解数学期望详解：（1）依题意： ， ， . 因为 ，所以变量 线性相关性很强. （2）
21、， ，则 关于 的线性回归方程为 . 当 ，所以预计 2018 年 6 月份的二手房成交量为 . （3）二人所获奖金总额 的所有可能取值有 、 、 、 、 千元. ， ， . 所以，奖金总额 的分布列如下表：0 3 6 9 12千元.点睛：本题主要考查统计知识的应用以及回归直线方程的应用和随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，再利用二项何分布的概率公式，求得概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20. 设椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线
22、被椭圆截得的线段长为 .（1）求椭圆 的方程;（2）若 上存在两点 ，椭圆 上存在两个 点满足： 三点共线， 三点共线，且 ，求四边形 的面积的最小值.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（）由题意可知 及 ，即可求得和 的值，求得椭圆的标准方程；（2）讨论直线 的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线 的斜率存在时，设直线的方程为 ，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.详解：（1）过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 ， ，离心率为 ， ，又 ，解得 ， ， ，椭圆 的方程为（2） （i）当直线 的斜率不存在时，直线 的斜率为 ，
23、此时 ， ，（ii）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，设 的横坐标分别为 ，则 ， ，由 可得直线 的方程为 ，联立椭圆 的方程，消去 ，得设 的横坐标为 ，则 ，令 ，则 ，综上点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能
24、力等.21. 已知(1)求 的单调区间;(2)设 ， 为函数 的两个零点，求证：.【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）由函数 ，求得 ，通过讨论实数 的取值范围，即可求出函数的单调区间；（2）构造函数 ， 与 图象两交点的横坐标为 ，问题转化为，令 ，根据函数的单调性即可作出证明.详解：（1） ，当 时， ，即 的单调递增区间为 ，无减区间；当 时， ，由 ，得 ，时， ，时， ， 时，易知 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，（2）由（1）知 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，不妨设 ，由条件知 ，即构造函数 ， 与 图象两交点的横坐标为由 可得而 ，知 在区间 上
25、单调递减，在区间 上单调递增，可知欲证 ，只需证 ，即证 ，考虑到 在 上递增，只需证由 知，只需证令 ，则 ，所以 为增函数，又 ，结合 知 ，即成立 ，即 成立.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值( 极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数),在以为极点
26、， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线 上的点 对应的参数 ，射线 与曲线 交于点（1）求曲线 、 的直角坐标方程；（2）若点 在曲线 上的两个点且 ，求 的值.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：（1）将 及对应的参数 ，代入 ，解得 ，即可得出曲线 的直角坐标方程，由于曲线 是圆心在极轴上，且过极点的圆，将点 代入，即可求解曲线 的方程； （2）设 在曲线 上，求得 和 ，即可求解 的值.详解：（1）将 及对应的参数 ，代入 ，得 ，即 ，所以曲线 的方程为 为参数，即 .设圆 的半径为 ，由题意，圆 的极坐标方程为 .（或 ）将点 代入
27、，得 ，即所以曲线 的极坐标方程为 ，即（2）设 在曲线 上，所以 ， ，所以 点睛：本题主要考查了椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及圆的极坐标与直角坐标方程的互化，以及直线极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23. 已知函数 .（1）求 的解集；（2）设函数 ，若 对 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） 或 ；（2）【解析】分析：（1）对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2） 即 的图象恒在 ， 图象的上方，作出函数图像，根据直线恒过定点 ，结合函数图象即可的结果.详解：（1） ，即 或 或 解不等式： ；：无解；： ，所以 的解集为 或（2） 即 的图象恒在 ， 图象的上方，可以作出 的图象，而 ， 图象为恒过定点 ，且斜率 变化的一条直线，作出函数 ， 图象如图，其中 ，可求： ，由图可知，要使得 的图象恒在 图象的上方，实数 的取值范围为.点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用 “零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
