1、福建省莆田第九中学 2018 届高三高考模拟理 科 数 学 试 题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合 ，再由 ，可求出实数 的取值范围.详解： 集合 ，或 ， ，实数 的取值范围是 ，故选 D.点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了
2、知识点之间的交汇.2. 若 ， 为虚数单位，则 的虚部是（ ）A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B【解析】分析：直接利用复数的运算法则和虚部的定义求解即可.详解： ，的虚部为 ，故选 B.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 下列程序框图中，则输出的 值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据题意有，在运行的过程中， ； ；， ； ；，以此类推，
3、就可以得出输出的 A 是以 为分子，分母构成以 为首项，以 为公差的等差数列，输出的是第 10 项，所以输出的结果为 ，故选 C.考点：程序框图.4. 若 ，其中 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先求出定积分 ，代入 ，利用二倍角公式得到关于的方程，求出 ，结合 的范围可得结果.详解： ，又 ，即 ，解得 或 ，故选 C.点睛：本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题.5. 已知在 中， “ ”是“ ”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不
4、必要条件【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理可得，在 中， “ ”则 ，则 ，由倍角公式可得 ，可得，反之也成立，所以在 中， “ ”是“ ”的充分必要条件，故选 C.考点：正弦定理与倍角公式.6. 设关于 , 的不等式组 ,表示的平面区域内存在点 ，满足 ,求得 取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先根据约束条件 ，画出可行域，要使可行域存在，必有，要求可行域包含直线 上的点，只要边界点 在直线 的上方，且 在直线 下方，从而建立关于 的不等式组，解之可得结论.详解：先根据约束条件 ，画出可行域，要使可行域存在，必有 ，平面区域内存在点 ，满足 ,等价于可行域包
5、含直线 上的点，只要边界点 在直线 的上方，且 在直线 下方，故得不等式组 ，解之得 ， 取值范围是 ，故选 B.点睛：本题主要考查可行域、含参数约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.7. 等差数列 的前 项和为 ,且 ， .设 ，则当数列 的前 项和 取得最大值时, 的值为（ ）A. 23 B. 25 C. 23 或 24 D. 23 或 25【答案】
6、D【解析】分析：由 ， 得到等差数列 的公差 ，且 ，结合 知从 到 的值都大于零， 时 达到最大.详解： ，等差数列 的公差 ，且则 ，且 ，由 ，知从 到 的值都大于零， 时 达到最大，而 与 是绝对值相等，符号相反，相加为零，之后 越来越小，所以数列 的前 项和 取得最大值时, 的值为 ，故选 D.点睛：本题主要考查等差数列求和公式、等差数列的性质，以及数列前 项和得最大值问题，属于难题.数列前 项和的最大值的方法通常有两种：将前 项和表示成关于 的函数，利用函数的性质求解；可根据 且 确定 最大时的 值.8. 若 ，则 的值为（ ）A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C【解析】分析
7、：利用 ，求出二项式系数和即可得结果.详解： ，故选 C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 设非空集合 满足：当 时，有 .给出如下三个命题：若 ，则 ； 若 ，则 ；若 ，则 其中正确命题的个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】分析：先根据非空集合 满足：当 时，有 得到 且 ，然后对三个命题一
8、一进行验证即可.详解：由定义设非空集合 ，满足 时，有 知，符合定义的参数 的值，一定大于等于 或小于等于 ，惟如此才能保证 时，有 即 ，符合条件的 的值一定大于等于 ，小于等于 ，惟如此才能保证打 时，有 即 ，正对各个命题进行判断：对于 ，故必有 ，可得 ； ，则 ，解之可得 ，对于，若 ，则 ，解之得 ，正确命题有 个，故选 D.点睛：本题主要考查元素与集合、不等式的解法以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法
9、的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将集合问题转化为不等式问题是解题的根据.10. ， 是两个平面， 是两条直线，则下列命题中错误的是（ ）A. 如果 ， ， ，那么 B. 如果 ， ，那么C. 如果 ， ， ,那么 D. 如果 , ， ，那么【答案】D【解析】对于 A，如果 则 或 ，因为 ，则 ，故正确；对于 B，如果 ，那么 与 无公共点，则 ，故正确；对于 C，如果 ，则 ，故正确；对于 D，如果 ，那么 与 的关系不确定，故错误 .故选 D.11. 定义在 上的偶函数 在
10、 单调递增，且 ，则 的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ,可得 ，即为 ，可得 ，运用绝对值不等式的解法可得 的取值范围.详解：定义在 上的偶函数 在 单调递增，且 ，可得 ，即为 ，可得 ，即 ，解得 ，即 的取值范围是 ，故选 A.点睛：本题考查奇偶性与单调性的应用，属于中档题. 函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与
11、奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.12. 设 ， ，分别是函数 和 的零点(其中 )，则 的取值围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 分别是函数 和 的零点， 所以 ，即 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 ，即 ，所以 ，且 所以 ，则 ，即 的取值范围是 ，故选 D.二、填空题（本大题共 4
12、小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 若 满足约束条件 ，则函数 的最小值为_【答案】5【解析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得到目标函数经过点 时，目标函数取得最小值，即可求解详解：作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数 ，则 ，由图象可知当取可行域内点 时，目标函数取得最小值，由 ，解得 ，此时函数的最小值为 点睛：本题主要考查简单线性规划解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将
13、函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距 的最值间接求出 的最值；（2）距离型：形如 ；（3）斜率型：形如14. 在数列 中， ，且 ，设数列 的前 项的积为 ，则_【答案】【解析】分析：根据数列的递推关系式，利用归纳推理得到 ，即可求得 的值详解：由 经过递推关系计算可得 ，由此归纳得出 ，所以 点睛：本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提
14、下)15. 定义符号函数 ，若函数 ，则满足不等式的实数 的取值范围是_【答案】【解析】分析：根据分段函数，利用指数函数的性质，得到函数 在 上是增函数，即可得到不等式 ，即可求解详解：由函数 ，得 ，根据指数的性质可得函数 在 上是增函数，又由 ，则 ，解得 点睛：本题考查了函数的单调性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的函数的单调性，转化为不等式 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，即可求解16. 已知正方体 的棱长为 4，点 是 的中点，点 是 内的动点，若，则点 到平面 的距离的范围是
15、_【答案】【解析】分析：在正方体 中，过 作 ，且 交线段 于 ，则平面 ，分别求出点当点 与点 重合时，当点 与点 重合时，以及点 是 的四等分点，所以点 到平面 的距离的最大值与最小值，即可求解结果详解：在正方体 中，点 是 的中点，连接 交 于 ，则 为线段 的中点，所以 为 的中位线，又因为 平面 ，所以 ，过 作 ，且 交线段 于 ，则 平面 ，则点 在平面 内的轨迹是线段 ；当点 与点 重合时，点 到平面 距离取得最大值为 4，当点 与点 重合时，点 到平面 距离最小，又因为 是 的四等分点，所以点 到平面 的距离小值为 3，所以点 到平面 的距离的取值范围是 点睛：本题主要考查了
16、正方体的线面位置关系，以及点到平面的距离的取值范围问题，其中解答中正确把握正方体的线面位置关系和直线与平面垂直的判定，以及点到平面的距离的定义是解答的关键，着重考查了转化与化归思想，以及推理与论证的能力三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.每 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共 60 分 17. 已知数列 为公差不为零的等差数列， 且 成等比数列（I）求数列 的通项公式；（II）若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求证：【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）由 成等比数列得
17、 ，根据 ，即可求得公差 ，从而可得数列 的通项公式；（2）由（1）求得 ，结合放缩法得 ，从而可证 .试题解析：（1）由题意， ，所以， ，即,即 . ，故 .（2）由上知， .故 . .18. 随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式.某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的 10000 名网民中随机抽取了 200 人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性 50 50 100女性 60 40 100合计 110 90 200（）依据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.
18、15 的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关?（）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，从这 5 人中随机选出 3 人赠送网购优惠券，求选出的 3 人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（）将频率视为概率，从该市所有参与调査的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记经常进行网络购物的人数为 ，求 的期望和方差.附： ，其中0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】 （1）不能（2） （3）【解析】试题分析：（1）由列联表中的数据计算 的观测值，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理求出所抽
19、取的 5 名女网民中经常进行网购和偶尔或不进行网购的人数，计算所求的概率值；（3）由列联表中数据计算经常进行网购的频率，将频率视为概率知随机变量 服从 次独立重复实验的概率模型，计算数学期望与方差的大小试题解析：（1）由列联表数据计算 .所以，不能再犯错误的概率不超过 的前提下认为该市市民网购情况与性别有关.（2）由题意，抽取的 5 名女性网民中，经常进行网购的有 人，偶尔或从不进行网购的有 人，故从这 5 人中选出 3 人至少有 2 人经常进行网购的概率是 .（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为 .由题意，从该市市民中任意抽取 1 人恰好是经常进行网购的概率是 .由于该市市民数量很大，故
20、可以认为 .所以， ， .19. 在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， ， 平面 ， ， ， ， ，且 是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值的大小.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）取 AD 的中点 N，连接 MN、NF由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形 MNFE 为平行四边形，从而得到 EMFN，结合线面平行的判定定理，证出EM平面 ADF；（2）求出平面 ADF、平面 BDF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角 的大小.解析：（1）解法一：取 的中点 ，连接 .在 中， 是 的中点， 是 的中点，所以 ，又因为 ，所以 且
21、 .所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 平面 ，故 平面 .解法二：因为 平面 ，故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .由已知可得 ，设平面 的一个法向量是 .由 得令 ，则 .又因为 ，所以 ，又 平面 ，故 平面 .（2）由（1）可知平面 的一个法向量是 .易得平面 的一个法向量是所以 ，又二面角 为锐角，故二面角 的余弦值大小为 .20. 已知椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数，且过点.（1）求椭圆 的方程；（2）过 作两条直线 与圆 相切且分别交椭圆于 、 两点，求证：直线 的斜率为定值；求 面积的最大值(其中 为坐标原点).【答案】 （1） （2） 【解析】
22、试题分析：（1）先求双曲线离心率得椭圆离心率，再将点坐标代入椭圆方程，解方程组得 ， （2）先根据点斜式得直线 方程，再与椭圆方程联立解得 坐标，根据直线 与圆 相切，得斜率相反，同理可得 最后根据斜率公式求斜率，设直线MN 方程，根据原点到直线距离得高，与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长，最后代入三角形面积公式，利用基本不等式求最值.试题解析：（1）可得 ，设椭圆的半焦距为 ，所以 ， 因为 C 过点 ，所以 ，又 ，解得 ， 所以椭圆方程为 （2） 显然两直线 的斜率存在，设为 ， ，由于直线 与圆 相切，则有 ， 直线 的方程为 ， 联立方程组消去 ，得 ， 因为 为
23、直线与椭圆的交点，所以 ，同理，当 与椭圆相交时， ，所以 ，而 ，所以直线 的斜率 设直线 的方程为 ，联立方程组 消去 得 ，所以 ， 原点 到直线的距离 ， 面积为 ，当且仅当 时取得等号经检验，存在 （ ） ，使得过点 的两条直线与圆 相切，且与椭圆有两个交点 M， N所以 面积的最大值为 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21. 已知函数 ， .（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求实数 的值；（
24、2）设 ，若对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，求实数的取值范围；（3）若 上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） （2） （2）【解析】试题分析：（1）求出函数 y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得 a 的方程，解得 a 即可；（2）由题意可得即为 ，令 m（x）=h（x）2x，可得 m（x）在（0，+）递增，求出导数，令导数大于等于 0，分离参数 a，由二次函数的最值，即可得到 a 的范围；（3）原不等式等价于 ，整理得 ，设 ，求得它的导数 m（x） ，然后分 a0、0ae1 和 ae1 三种情况加以讨论，分别解关于 a 的不等式得到 a 的取值，最后综上
25、所述可得实数 a 的取值范围试题解析：（1）由 ，得 .由题意， ，所以 .（2） .因为对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，设 ，则 即 恒成立.问题等价于函数 ，即 在 上为增函数，所以 在 上恒成立.即 在 上恒成立.所以 ，即实数 的取值范围是 .（3）不等式 等价于 ，整理得 .设 ，由题意知，在 上存在一点 ，使得 .因为 ，所以 ，令 ，得 .当 ，即 时， 在 上单调递增.只需 ，解得 .当 即 时， 在 处取最小值.令 即 ，可得 .令 ，即 ，不等式 可化为 .因为 ，所以不等式左端大于 1，右端小于等于 1，所以不等式不能成立 .当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，
26、解得.综上所述，实数 的取值范围是 .（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，若以直角坐标系中的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为（ 为参数）.（）求曲线 和 的直角坐标方程； （）若曲线 与曲线 有公共点，求 的取值范围【答案】 （1） ， ， （2）【解析】试题分析：（1）求出 ，从而得到曲线 的普通方程；由 得到 的直角坐标方程；（2）通过图象并联立曲线 与曲线 的直角坐标方程，利用判别式求得实数的取
27、值范围试题解析：（1）由 得 ，又由 得 ，所以曲线 的普通方程为 ，即 ，又易知 ，曲线 的普通方程为 ， 由 得 ，所以 ，所以曲线 的直角坐标方程为 （2）当直线 过点 时，与曲线 有公共点，此时 ，从该位置向左下方平行移动直到与曲线 相切总有公共点，联立 得 ，令 ，解得 所求实数 的取值范围是 考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、直线与抛物线的位置关系23. 选修 4-5：不等式选讲（1）设函数 ， ，若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的最大值（2）已知正数 满足 ，求 的最小值.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）依据题设条件运用绝对值不等式的性质求解；（2）借助题设条件运用柯西不等式求解.试题解析:（1）由绝对值的性质得 ，所以 的最小值为 ，从而 ，解得 ，因此 的最大值为 （2）由于 ，所以当且仅当 ，即 时，等号成立 的最小值为 考点：绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用
