1、2017-2018届香山中学高三理科数学第一次模拟试题使用时间：2017 年 9月 29日班级： ，姓名： ，考试号： 1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】则本题选择 C选项.2. 已知 ，复数 的实部为 ，虚部为 1，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题可得 的取值范围是本题选择 C选项.3. 设 是非零向量，已知命题 p：若 ， ，则 ；命题 q：若， ，则 . 则下列命题中真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知，命题 P是假命题，如取 ；命题q是真命题，故 为真命题，应选答案 A。4. 对某
2、市人民公园一个月(30 天)内每天游玩人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A. 46,45,56 B. 46,45,53 C. 47,45,56 D. 45,47,53【答案】A【解析】试题分析：直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可解：由题意可知茎叶图共有 30个数值，所以中位数为第 15和 16个数的平均值：=46众数是 45，极差为：6812=56故选：A考点：茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差5. 在高校自主招生中，某学校获得 5个推荐名额，其中中山大学 2名，暨南大学 2名，华南师范大学 1名，并且暨南大学和
3、中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3男2女共 5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）A. 36 B. 24 C. 22 D. 20【答案】B【解析】由题意可分成两类:第一类是将 3个男生每个大学各推荐 1人,共有 种推荐方法;第二类是将 3个男生分成两组分别推荐给暨南大学和中山大学,其余 2个女生从剩下的大学中选,共有 种推荐方法,故共有 12+12=24种推荐方法.本题选择 B选项.点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步
4、之间的方法“相互独立，分步完成” 6. 从班委会 5名成员中选出 3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种.A. 36 B. 30 C. 12 D. 6【答案】A【解析】从班委会 5名成员中选出 3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余 3人中选出 1人担任文艺委员，再从 4人中选 2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有 种.本题选择 A选项.7. 设 ， 是两个不同的平面， l是一条直线，给出下列说法：若 l ， ，则 l ； 若 l ， ，则 l ；若 l ， ，则
5、l ； 若 l ， ，则 l .其中说法正确的个数为( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】若 l ， ，则 l ，或 l ，故错；若 l ， ，则 l 或 l ，故错；若 l ， ，则过 l作两个平面 M， N，使平面 M与 ， 分别交于 m1， m2，平面 N与平面 ， 交于 n1， n2，则由 得到 m1 m2， n1 n2，由 l ，得 l m1， l n1，故 l m2， l n2，故 l ，故正确；若 l ， ，则 l 或 l ，故错。本题选择 C选项.8. 如图是一个几何体的三视图，正视图四一个等腰直角三角形，且斜边 BD长为 2，侧视图为一个直角三角形，俯
6、视图是一个直角梯形，且 AB=BC=1，则此几何体的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：几何体为一个四棱锥，高为 1，底面为直角梯形，上下底为 1和 2，高为 1，因此几何体四个侧面中有两个全等的直角三角形，直角边分别为 ，一个底边长为2的等腰直角三角形，还有一个边长为 的等边三角形，因此表面积为，选 D.考点：三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图2三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽” ，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据9. 某个部件由三个
7、元件按下图方式连接而成，元件 1或元件 2正常工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000小时的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000,502)得：三个电子元件的使用寿命超过 1000小时的概率为 ，设 A=超过 1000小时时,元件 1、元件 2至少有一个正常, B=超过 1000小时时,元件 3正常，C=该部件的使用寿命超过 1000小时则 P(A)=1(1P)2,P(B)= ，事件 A， B为相互独立事件，事件
8、 C为 A. B同时发生的事件 P(C)=P(AB)=P(A)P(B)= .本题选择 D选项.10. 的展开式中， 的系数为( )A. 60 B. 30 C. 20 D. 10【答案】B【解析】试题分析： 的展开式中含 的项为:,所以 的系数为 .故 B正确.考点：二项式定理.11. 已知 p： x0R， ， q： xR， x2 mx10.若 p q为真命题，则实数 m的取值范围是( )A. (，2) B. 2,0) C. (2,0) D. 0,2【答案】C【解析】 p q为真命题， p、 q全真，若 p真，则 m16”.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的
9、结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别15. 已知两个单位向量 a， b的夹角为 60， c ta(1 t)b.若 bc0，则 t_.【答案】2【解析】由 bc=0知,bc=ta+(1-t)bb=tab+(1-t)b2=t11cos60+(1-t)=0.即 1- t=0,t=2.16. 若点 A(m， n)在第一象限，且在直线 上，则 mn的最大值为_.【答案】3【解析】由题已知， m0,n0，因为点在直线 上，所以则 mn的最大值为 3.17. 德庆县某中学高三(1)班排球队和篮球队各有 名同学,现测得排球队 人的身高(单位: )分别是:162,17
10、0,171,182,163,158,179,168,183,168,篮球队 人的身高(单位: )分别是:、 、 、 、 、 、 、 、 、 .(1) 请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中,并通过茎叶图指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(2) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过 的人数为 ,求 的分布列和数学期望.【答案】()答案见解析；()答案见解析.【解析】试题分析：()用中间的数字表示百位数和十位数，两边的数字表示个位数，茎按从小到大的顺序（或从大到小的顺序）从上向下列出，共茎的叶一般按从大到小（或从小到大）的顺序同
11、行列出，从茎叶图中可以看出篮球队身高数字较为集中，故方差较小；() 排球队中超过 的有 人,超过 的有 人,篮球队中超过 的有 人,超过的有 人,所以 的所有可能取值为 ，分别求其取相应值的概率，写出 的分布列，进而求 的期望.试题解析：()茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ()排球队中超过 的有 人,超过 的有 人,篮球队中超过 的有 人,超过 的有 人,所以 的所有可能取值为 ，则, , ,所以 的分布列为所以 的数学期望 .考点：1、茎叶图；2、方差；3、离散型随机变量的分布列和期望.18. 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进
12、行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于 40分钟的观众称为“体育迷” 。()根据已知条件完成下面的 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷 体育迷 合计男女 10 55合计()将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1名观众，抽取 3次，记被抽取的 3名观众中的“体育迷”人数为 X。若每次抽取的结果是相互独立的，求 X的分布列，期望 和方差 。【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】由频率分步直方图可知，在抽取的 100人中， “体育迷”有 25人，
13、从而 列联表如下：非体育迷 体育迷 合计男 30 15 45女 45 10 55合计 75 25 100将 列联表中的数据代入公式计算，得因为 ，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关。（2）由频率分步直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 .由题意 X ，从而 X的分布列为X 0 1 2 3P考点定位：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法以及线性相关问题.求离散型随机变量的分布列和数学期望和方差的方法。19. 如图，在三棱台 中， 分别为 的中点.（）求证： 平面 ；（）若 平面 , ， ，求平面 与平面所成角（锐角）的大小.【答案】
14、(1)证明见解析；(2)60.【解析】试题分析：（）连接 DG，DC，设 DC与 GF交于点 T由已知可得 ，即四边形 是平行四边形,T 是 DC的中点，DG/FC又在 ,H是 BC的中点，则 TH/DB，即可证得；（）点 G为坐标原点， 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面 与平面 法向量，由二面角公式即可求得试题解析：（）证明：连接 DG，DC，设 DC与 GF交于点 T在三棱台 中， 则而 G是 AC的中点，DF/AC，则 ,所以四边形 是平行四边形,T 是 DC的中点，DG/FC又在 ,H是 BC的中点，则 TH/DB，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ；（）由 平面 ,
15、可得 平面 而则 ,于是 两两垂直，以点 G为坐标原点，所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ,则 ,，则平面 的一个法向量为 ，设平面 的法向量为 ，则 ,即 ，取 ，则 ， ，故平面 与平面 所成角（锐角）的大小为 考点：1证明线面平行；2求二面角20. 如图，三棱柱 ABC A1B1C1中， CA CB， AB AA1， BAA160.(1)证明： AB A1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B， AB CB，求直线 A1C与平面 BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（）取 AB的中点 O，连接 OC，OA 1，A 1B，由已知可
16、证 OA1AB，AB平面 OA1C，进而可得 ABA 1C；（）易证 OA，OA 1，OC 两两垂直以 O为坐标原点， 的方向为 x轴的正向，| |为单位长，建立坐标系，可得 ， ， 的坐标，设 =（x，y，z）为平面 BB1C1C的法向量，则 ，可解得 =（ ，1，1） ，可求|cos ， |，即为所求正弦值解：（）取 AB的中点 O，连接 OC，OA 1，A 1B，因为 CA=CB，所以 OCAB，由于 AB=AA1，BAA 1=60，所以AA 1B为等边三角形，所以 OA1AB，又因为 OCOA 1=O，所以 AB平面 OA1C，又 A1C平面 OA1C，故 ABA 1C；（）由（）知
17、OCAB，OA 1AB，又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA 1，OC 两两垂直以 O为坐标原点， 的方向为 x轴的正向，| |为单位长，建立如图所示的坐标系，可得 A（1，0，0） ，A 1（0， ，0） ，C（0，0， ） ，B（1，0，0） ，则 =（1，0， ） ， =（1， ，0） ， =（0， ， ） ，设 =（x，y，z）为平面 BB1C1C的法向量，则 ，即 ，可取 y=1，可得 =（ ，1，1） ，故 cos ， = = ，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线 A1C与平面 BB1C1C所成角
18、的正弦值为： 考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角21. 某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成 A、 B两种规格的小袋. 每袋大米可同时分得 A、 B两种规格的小袋大米的袋数如下表所示：已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为 5袋和 10袋，市场急需 A、 B两种规格的成品数分别为 15袋和 27袋.（）问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需 A、 B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？（要求画出可行域）（）若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率.【答案】(1)答案见解析；(2)
19、 .【解析】试题分析：()由题意列出满足题意的不等式组和目标函数，结合线性规划的知识可得经过的整点是（3，9）和（4，8） ，它们都是最优解.即需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为 袋、 袋或 袋、 袋可使所用的袋装大米的袋数最少.()结合()的结论和古典概型公式可得满足题意的概率值为 .试题解析：（）设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为 、 ，所用的袋装大米的总袋数为 ，则 为整数) 作出可行域 D如图. 从图中可知，可行域 D的所有整数点为：（3，9） ， （3，10） ， （4，8） ， （4，9） ， （4，10） ，（5，8） ， （5，9） ， （5，10） ，共 8点.因为目标函数
20、为 为整数)，所以在一组平行直线 x y t(t为参数)中，经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x y12，其经过的整点是（3，9）和（4，8） ，它们都是最优解.所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为 袋、 袋或 袋、 袋可使所用的袋装大米的袋数最少.（）由（）可知可行域内的整点个数为 8，而最优解有两个，所以所求的概率为.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数请考生在(22)、(23)题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则
21、按所做第一个题目计分，22. 在直角坐标系 中，以原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线 C ： （t 为参数） ， C ： （ 为参数） 。（I）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（II）若 C 上的点 P对应的参数为 ，Q 为 C 上的动点，求 中点 到直线距离的最小值.【答案】(1)答案见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）将已知的两参数方程一边化为只含正弦或余弦，然后平方相加即可消去参数而得到其普通方程，最后由普通方程的类型判断其所表示曲线的类型（2）由已知首先求出点 P的坐标并设点 Q的坐标为 ，进而由中点坐标公式求出线段 PQ的中
22、点 M的坐标；然后将直线方程化为直角坐标方程，最后由点到直线的距离公式将点 M到直线的距离表求为 的三角函数，由三角函数求得其最小值试题解析：（）为圆心是 ，半径是 的圆为中心是坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是 ，短半轴长是 的椭圆（）当 时，故为直线到 的距离从而当 时， 取得最小值考点：1参数方程与普通方程的互化；2极坐标方程与直角坐标方程的互化；3点到直线的距离23. 已知函数 .()当 a1 时，求不等式 f(x)1的解集；()若 f(x)的图像与 x轴围成的三角形面积大于 6，求 a的取值范围【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：()由题意零点分段即可确定不等式的解集为 ；()由题意可得面积函数为为 ，求解不等式 可得实数 a的取值范围为 试题解析：（ I）当 时， 化为 ，当 时，不等式化为 ，无解；当 时，不等式化为 ，解得 ；当 时，不等式化为 ，解得 。所以 的解集为 。 （ II）由题设可得，所以函数 的图像与 x轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， 的面积为 。由题设得 ，故 。所以 a的取值范围为
