1、银川一中 2018/2019 学年度( 上)高二期中考试数学( 文科)试卷一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1. 若 p 是真命题，q 是假命题，则( )A. pq 是真命题 B. pq 是假命题C. 非 p 是真命题 D. 非 q 是真命题【答案】D【解析】解：因为 p 是真命题，q 是假命题，则或命题一真即真，且命题一假即假，选项 A,BC,错误。选项 D 命题的否定和原命题真值相反，因此成立。选 D2.已知物体的运动方程为 （是时间，是位移） ，则物体在时刻 时的速度为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 ，故选 D考点：导数的物理意义3.命题“
2、 x0(0,+),lnx 0=x0-1”的否定是 ( )A. x(0,+),lnxx -1 B. x(0,+),lnx=x-1C. x0(0,+),lnx 0x0-1 D. x0(0,+),lnx0=x0-1【答案】A【解析】因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“x 0（0 ，+） ，lnx 0=x01”的否定是：.故选：A.4.设双曲线 (a0)的渐近线方程为 3x2y0，则 a 的值为( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意， ，即可求出 a 的值【详解】由题意， ，a=2，故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质属基础题5.“ ”是“ 函数
3、为偶函数”的 （ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若 则函数 是偶函数；若函数 是偶函数，则对定义域内任意 x 恒成立；即 恒成立；所以恒成立 不恒成立，舍去；所以故选 A6.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，且它的长轴长等于圆 C：x2y 22x150 的半径，则椭圆的标准方程是( )A. B. C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】利用配方化简 x2+y2-2x-15=0 得到圆的半径为 4，所以椭圆的长轴为 4，根据离心率求出c，根据勾股定理求出 b 得到椭圆的解析式即可【详解】故选：A【点睛】本题考查学生
4、会根据条件求圆标准方程，以及灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力7.若抛物线 y2=2px， （p0）上一点 P（2，y 0）到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为（ ）A. y2=4x B. y2=6xC. y2=8x D. y2=10x【答案】C【解析】试题分析：抛物线 ，准线为 ， 点 到其准线的距离为 4， ， ，抛物线的标准方程为 .考点：1.抛物线的标准方程；2.抛物线的准线方程；3.点到直线的距离.8.若点 P 是曲线 yx 2ln x 上任意一点，则点 P 到直线 yx2 的最小值为( )A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题 ，令：解得； 。 曲线
5、上距离最近的点坐标为则距离为：考点：导数的几何意义及点到直线距离的算法和运动变化的思想.9.设曲线 ysin x 上任一点(x，y)处切线的斜率为 g(x)，则函数 yx 2g(x)的部分图像可以为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知 ，则 ，题中只给了部分图象，所以从选项中观察，四个图象在原点附近均不同，但是分析函数 ，因为都为偶函数，所以在原点附近， 恒成立，且在原点处函数值为 ，只有选项 C 满足，故本题正确选项为 C.考点：基本函数的导数，函数的图象10.设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl， A 为垂足如果直线AF
6、的斜率为 ，那么|PF|( )A. 4 B. 8 C. 8 D. 16【答案】B【解析】【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线 AF 的斜率得到 AF 方程，与准线方程联立，解出 A 点坐标，因为PA 垂直准线 l，所以 P 点与 A 点纵坐标相同，再代入抛物线方程求 P 点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长【详解】：抛物线方程为 y2=8x，焦点 F（2，0） ，准线 l 方程为 x=-2，直线 AF 的斜率为- ，直线 AF 的方程为 y=- （x-2） ，由 可得 A 点坐标为（-2，4 ）PAl，A 为垂足，P 点纵坐标为 4 ，代入抛物线方程，得 P 点坐标
7、为（6，4 ） ，|PF|=|PA|=6-（-2）=8.故选 B.【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题11.设双曲线 ，离心率 ，右焦点 方程 的两个实数根分别为 ，则点 与圆 的位置关系( )A. 在圆外 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 不确定【答案】C【解析】【分析】运用离心率公式和 a，b，c 的关系，结合韦达定理，以及点与圆的位置关系的判断，即可得到结论【详解】曲线 ，离心率 ，右焦点 F（c，0） ，可得 c= a= b，方程 ax2-bx-c=0 的两个实数根分别为 x1，x 2，可得 ，则 x12+x22=（x 1+x2） 2-2x1
8、x2=1+2 8，则 P（x 1，x 2）与圆 x2+y2=8 的位置关系为 P 在圆内故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判断，考查双曲线的离心率和基本量 a，b，c 的关系，考查韦达定理的运用，以及运算能力，属于中档题12.已知 是定义在 R 上的函数 的导函数，且 ，则 的大小关系为( )A. a0 且 a1,设命题 p:函数 y=loga(x-1)在(1,+)上单调递减，命题 q:曲线 y=x2+(a-2)x+4 与 x 轴交于不同的两点若“ p 且 q”为真命题,求实数 a 的取值范围【答案】(6,+).【解析】【分析】先根据对数函数的单调性，和二次函数图象和 x 轴交点的情况
9、与判别式的关系即可求出命题 p，q 下的 a 的取值范围根据 pq 为假，pq 为真即可判断 p，q 的真假情况，根据 p，q的真假情况即可求出 a 的取值范围【详解】由函数 y=loga(x-1)在(1,+)上单调递减,知 00,即 a6.又 a0 且 a1,所以 a6.又因为“ p 且 q”为真命题,所以 p 为假命题,q 为真命题,于是有 所以 a6.因此,所求实数 a 的取值范围是(6,+).【点睛】本题考查对数函数的单调性，二次函数图象和 x 轴交点的情况与判别式的关系，pq，pq 的真假和 p，q 真假的关系18.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点
10、P(1,f(1)处的切线方程为 y=3x+1,y=f(x)在 x=-2处有极值(1)求 f(x)的解析式(2)求 y=f(x)在-3,1上的最大值【答案】 （1）f(x)=x3+2x2-4x+5.（2）最大值为 13.【解析】【分析】（1）求出导函数，令导函数在 0 处的值为 3，在-2 处的值为 0，函数在 0 处的值为 1，列出方程组求出 a，b，c 的值（2）令导函数大于等于 0 在-2，1上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于 0，求出 a 的范围【详解】解：(1)f(x)=3x 2+2ax+b,f(1)=3+2a+b.曲线 y=f(x)在点
11、P 处的切线方程为 y-f(1)=(3+2a+b)(x-1), 即 y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).又已知该切线方程为 y=3x+1,所以 即因为 y=f(x)在 x=-2 处有极值 ,所以 f(-2)=0, 所以-4a+b=-12.解方程组 得所以 f(x)=x3+2x2-4x+5.(2)由(1)知 f(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).令 f(x)=0,得 x1=-2,x2= . 当 x-3,-2)时,f(x)0;当 x 时,f(x)0,所以 f(x)的单调增区间是 -3,-2)和 ,单调减区间是 .因为 f(1)=4,f(x)极大值 =f(-2)=13,
12、所以 f(x)在区间-3,1上的最大值为 13.【点睛】本题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力19.已知点 A(2,8)在抛物线 上,直线 l 和抛物线交于 B,C 两点，焦点 F 是三角形ABC 的重心，M 是 BC 的中点（不在 x 轴上）（1）求 M 点的坐标；（2）求直线 l 的方程.【答案】 （1）（11，4）（2）【解析】【分析】（1）由点 A（2，8）在抛物线 上，有 ，求出 p=16，得到抛物线方程为 ，焦点 F（8，0）是ABC 的重心，设点 M 的坐标为 ，则由即可求出 M 点的坐
13、标；（2）设 BC 所在直线的方程为：由 消 x 得 ，所以 ，由（2）的结论得，解得 ，即可求出直线 l 的方程【详解】解（1）由点 A（2，8）在抛物线 上，有 ，解得 p=16. 所以抛物线方程为 ，焦点 F 的坐标为（8， 0）.F（8，0）是ABC 的重心，M 是 BC 的中点，设点 M 的坐标为 ，则所以点 M 的坐标为（11，4 ）（2）由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为：由 消 x 得 ，所以 ，由（2）的结论得 ，解得因此 BC 所在直线的方程为：【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位
14、置关系，属中档题.20.已知函数 图象上一点 处的切线方程为 (1)求 a,b 的值;(2)若方程 内有两个不等实根，求 m 的取值范围( 其中 e 为自然对数的底数).【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由切线方程得函数在 x=2 处的切线斜率为-3 ，即 f（2）=-3，由函数 f（x）=alnx-bx2 得其导函数，进而得 f（2） ，由 f（2）=-3 得关于 a、b 的方程，又切点在函数图象上，也在切线上，当 x=2 时分别代入两个函数方程，函数值相等，得第二个关于 a、b 的方程，求解方程组，得 a，b 的值；（2）设 h（x）=f（x）+m=2lnx-x2+m，求 h（
15、x） ，令 h（x）0，h （x）0，得函数 h（x）的单调区间，得出 h（x）的图象的大致走向，得出满足题意的不等式组，解得实数 m 的取值范围；【详解】：（1） 所以 =-3，且 ，解得 （2） 令 则 ，令 h（x）=0，得 x=1（x=-1 舍去） 在 内，当 时，h（x）0，所以 h（x）是增函数；当 x（1，e时，h（x）0，所以 h（x）是减函数则方程 h（x）=0 在 内有两个不等实根的充要条件是 即 1m 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，考查利用导数研究函数的性质，属中档题.21.已知函数 , （1）讨论函数 的单调性； （2）当 时, 恒成立,求实数的取值范围【答案】
16、 （1）见解析(2) 【解析】【分析】（1）求出 g（x）=ex-a，由 a0 和 a0 分类讨论，由此能求出结果（2）当 x0 时， 令 ，则 ，令，则， ，由此利用导数性质能求出实数 a 的取值范围【详解】解：（） （1）当 时， 在 单调递增（2）当 时，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增（）当 时， ，即 令 ， 令 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增又 ， ，所以当 时， 即 单调递减，当 时， ，即 单调递增所以 ，所以【点睛】本题考查函数的单调性、实数的取值范围、导数性质、构造法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考
17、查创新意识、应用意识，是中档题22.已知椭圆的焦点坐标是 ,过点 F2 直线与长轴的直线交椭圆与 P,Q 且|PQ|=3（1）求椭圆的标准方程； （2）过 F2 直线与椭圆交与不同的两点 M.N, 三角形 F1MN 的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在,请说明理由【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得 c=1，由|PQ|=3，可得 ，又 ，由此可求椭圆方程；（2）设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，不妨 y10，y 20，设F 1MN 的内切圆的径 R，则F1MN 的周长=4a=8， ，因此 SF1MN
18、 最大，R 就最大设直线 l 的方程为 x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示F 1MN 的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论【详解】解： （）设椭圆的方程是 , 由交点的坐标得: , 由 ,可得 ，解得 故椭圆的方程是 （）设 , 设 的内切圆半径是 ,则 的周长是 , , 因此 最大, 就最大 由题知,直线 的斜率不为 0,可设直线 的方程为 , 由 得, , 则 令 则 则 令 当 时, , 在 上单调递增, 有 , 即当 时, 所以 , 此时所求内切圆面积的最大值是 故直线 , 内切圆的面积最大值是 (或用对勾函数的 单调性做也给满分）【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出 SF1MN 最大，R 就最大是关键
