1、数学问题中的文化,斐波那契数列,一 斐波那契与兔子问题 斐波那契（L. Fibonacci,1170-1250）,欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家。其著作算盘书（1202），第一次系统介绍了印度阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。1228年修订后的算盘书中载有“兔子问题”,某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？,1 1235813,二 斐波那契数列 1. 通项公式1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，,2.神奇的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
2、13，21，34，55，89，144 上面数列平方得到 1，1，4，9，25，64，169，441， 连续两项相加得 2，5，13，34，89，233， ,1，1，2，3，5，8，13，21，34， 1，1，4，9，25，64，169，441， 1=1 1+1= 1 2 1+1+4= 23 1+1+4+9= 3 5 1+1+4+9+25= 5 8,奇数项求和得 1，3，8，21， ,偶数项求和,每连续10个斐波那契数的和有什么特点呢？ 1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143 1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=231 2+3+5+8+13+21+34+55+89+
3、144= 3+5+8+13+21+34+55+89+144+233=,11,3 斐波那契数列与连分数这不是一个普通的分数，而是一个分 母上有无穷多个“1”的繁分数，我们通常 称这样的分数为“连分数”。,12,上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。,13,通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。如果把该连分数从第 条分数线截住，即把第 条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第 次近似值，记作,14,对照 可算得,15,顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为其分子、分母恰是菲波那契数；有无极限，若有，极限值即为连分数的值。,4 斐波那契数列与黄金分割
4、,17,上述连分数可以看作是 中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是反复迭代，就得到上述连分数。,18,美妙的结论斐波那契数列相邻两项比的数列的极限是最简连分数的值，此值为黄金分割数。,21,黄金分割,定义：把任一线段分割成两段， 使 ，这样的分割叫黄金分割， 这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）1,22,故有,23,黄金分割的尺规作图设线段为 。作 ，且 ，连 。作 交 于 ， 再作 交 于 ，则 ， 即 为 的黄金分割点。,24,证：不妨令 ，则 ， ， 证完。,25,黄金分割的美黄金分割之所以称为“黄金”分割，是 比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金 比，是
5、工艺美术、建筑、摄影等许多艺术 门类中审美的因素之一。认为它表现了恰 到好处的“和谐”。例如:,26,1） 人体各部分的比肚 脐 ： （头脚） 印堂穴： （口头顶）肘关节： （肩中指尖）膝 盖： （髋关节足尖）,27,2） 著名建筑物中各部分的比,如埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为3405530.615 （外形的高与宽之比？大理石廊柱高与神殿高之比？）,28,3） 美观矩形的宽长比如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）,29,4） 正五角星中的比,30,5） 舞台报幕者的最佳站位 在整个舞台宽度的0.618处较美,31,
6、四 推广的斐波那契数列 卢卡斯数列1） 卢卡斯数列卢卡斯（Lucas，F.E.A. 1824-1891） 构造了一类更值得研究的数列，现被 称为“推广的斐波那契数列”。,32,即从任何两个正整数开始，往后的每 一个数是其前两个数之和，由此构成无穷 数列。此即，二阶递推公式 中，递推式与前面一样，而起始整数 可任取。,33,斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 是这类数列中最简单的一个，起始整数分别取为1、1。次简单的为1，3，4，7，11，18， 现称之为卢卡斯数列。卢卡斯数列的通项公式是,34,推广的斐波那契数列与斐波那契数列 一样，与黄金分割有密切的联系：该数列 相邻两数之比，交替地大于或
7、小于黄金 比；并且，两数之比的差随项数的增加而 越来越小，趋近于0，从而这个比存在极 限；而且这个比的极限也是黄金比 。,35,类似于前面提到的数列,对于推广的斐波那契数列，相邻两项之比的极限也是,五 自然界中的斐波那契数,37,菜花表面排列的螺线数（5-8）,38,向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。,1 c,42,1 跳格游戏,43,如图，一个人站在“梯子格”的起点处向上跳，从格外只能进入第
8、1格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：可以用多少种方法，跳到第n格？,44,2蜜蜂进蜂房问题：,一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到、n号蜂房，只允许它自左向右（不许反方向倒走）。则它爬到各号蜂房的路线多少？,45,第三讲 韩信点兵与中国剩余定理,46,韩信是中国古代一位有名的大元帅。他少年时就父母双亡，生活困难，曾靠乞讨为生，还经常受到某些泼皮的欺凌，胯下之辱讲的就是韩信少年时被泼皮强迫从胯下钻过的事。 后来他投奔刘邦，展现了他杰出的军事才能，为刘邦打败了楚霸王项羽立下汗马功劳，开创了刘汉皇朝四百年的基业。 民间流传着一些以韩信为主角的有关聪明人的故事，韩信点兵的故事就是其中的一个。,一、“韩信
9、点兵”的故事与孙子算经中的题目,47,相传有一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。双方大战一场，楚军不敌，败退回营。而汉军也有伤亡，只是一时还不知伤亡多少。于是，韩信整顿兵马也返回大本营，准备清点人数。当行至一山坡时，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。韩信驰上高坡观看，只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已经十分疲惫了，这时不由得人心大乱。韩信仔细地观看敌方，发现来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。不一会儿，值日副官报告，共有1035人。他还不放心，决定自己亲自算一下。,1.“韩信点兵”的故事,48,韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士
10、兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。,49,约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。现在传本的孙子算经共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”。,2.孙子算经,书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话
11、的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？,孙子算经,50,我国古代数学名著孙子算经中有“物不知数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？,孙子算经中的题目,51,二问题的解答1.筛法先给出 被3除余2的数2，5，8，11，3k+2, 上列数种被5除余3的数8，23，38， ，8+15k第二列中被7除余2的数23，128，233， ，23+105k,2从另一个问题入手(公倍数方法)问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩
12、7，九九数之剩8，问物几何？,53,再从中挑“用5除余4”的数，一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。,54,设问题中，需要求的数是 ，则 被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数 再加1，则 就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是说， 是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数2,3,4,5,6,7,8,9的倍数。,55,即 这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的个数”总是正整数。,56,思： 求“用2，3，4，5，6，7
13、，8，9除 都余1”的数。求“用5，7，9，11 除都余2”的数。,57,现在仿照上边用过的“公倍数法”来看物不知数问题，设要求的数为 ，则依题意，得联立方程组,58,按上一问题中“公倍数法”解决问题的思路：把方程两边同时加上或减去一个什么样的数，就能使三个等式的右边分别是3，5，7的倍数，从而等式左边就是3，5，7的公倍数了。这要通过反复的试算去完成。,59,一种试算的方法,60,从第三个等式入手，两边加5（或减2）则 得,61,则右边是7的倍数了，但两边加5（或减2）并不能使前两式的右边分别是3的倍数和5的倍数，所以两边加5（或减2）并不能使右边成为3，5，7的公倍数。再继续从第三个等式入
14、手，为使第三个等式右边仍然保持是7的倍数，可再加 （或再减 ），则（或 ）将 代入试算、分析，,62,最后发现，为达到目的 （三个等式的右边分别是3，5，7的倍 数），最小的加数是82（ 时 ）（或最小的减数是23，即 时 ）。,63,用等式两边加82来求解，有用等式两边减23来求解，有多了一个“ ” ，因这时 也是正数，合要求。,64,这两组解是一样的，都是“23，23+105，23+2105，”。原因是82+23=105，故令 第一组解就成为便转化成第二组解。,65,3 单因子构件凑成法我们先对前几页（*）式作两个方面的简化：一方面是每次只考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整除
15、的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样得到三组方程。,66,（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70，105，）寻找被3除余1的数；（2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42，63，）寻找被5除余1的数；（3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30，45，）寻找被7除余1的数。,67,对（1）式而言，这个数可以取70，对（2）式而言，这个数可以取21，对（3）式而言，这个数可以取15。,68,现在重复一下：所得的x是被3除余1，被5和7除余0的数；y是被5除余1，被3和7除余0的数；z是被7除余1，被3和5除余0的数。,69,那么，凑出 ，s 不就是我们需要求的数吗？,
16、70,于是我们要求的数是这就是孙子算经中“物不知其数” 一题的解，有无穷多解，最小的正整数解是 23（ 时）。,71,这里，（1），（2），（3）三式分别叫三个“单子因构件”，分别解得每个单因子构件，都是用某一个数去除余1，用另两个数去除均余0的情况。再据题目要求余数分别是2，3，2的情况，凑成,72,4 歌诀推广了的“物不知其数”问题的解为明朝数学家程大位在算法统宗中把上式总结为一首通俗易懂的歌决：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。其中正半月是指15，这个口诀把3，5，7；70，21，15及105这几个关键的数都总结在内了。详细说，歌诀的含义是：用3除的余数乘7
17、0，5除的余数乘21，7除的余数乘15，相加后再减去（“除”当“减”讲）105的适当倍数，就是需要求的（最小）解了。,73,当然，解，不是唯一的，每差105， 都是另一个解答，但如果结合实际问题， 答案往往就是唯一的了。例如一队士兵的 大约人数，韩信应是知道的。,74,三、中国剩余定理1247年南宋的数学家秦九韶把孙子算经中“物不知其数”一题的方法推广到一般的情况，得到称之为“大衍求一术”的方法，在数书九章中发表。这个结论在欧洲要到十八世纪才由数学家高斯和欧拉发现。所以世界公认这个定理是中国人最早发现的，特别称之为“中国剩余定理”（Chinese remainder theorem）。,75,
18、四、有趣的应用某单位有100把锁，分别编号为1，2，3，100。现在要对钥匙编号，使外单位的人看不懂，而本单位的人一看见锁的号码就知道该用哪一把钥匙。,76,能采用的方法很多，其中一种就是利用中国剩余定理，把锁的号码被3，5，7去除所得的三个余数来作钥匙的号码（首位余数是0时，也不能省略）。这样每把钥匙都有一个三位数编号。例如23号锁的钥匙编号是232号，52号锁的钥匙编号是123号。,77,8号锁231 19号锁145 45号锁003 52号锁123因为只有100把锁，不超过105，所以锁的号与钥匙的号是一一对应的。如果希望保密性再强一点儿，则可以把刚才所说的钥匙编号加上一个固定的常数作为新的钥匙编号系统。甚至可以每过一个月更换一次这个常数。这样，仍不破坏锁的号与钥匙的号之间的一一对应，而外人则更难知道了。,78,趣题找次品：,1）有5个外形相同的乒乓球，其中只有1个重量不标准的次品乒乓球。现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球。,79,最优化思想,最少次数完成预定任务最大限度发挥该天平的作用,80,趣题找次品：,2）有12个外形相同的乒乓球，其中只有1个重量不标准的次品乒乓球。请用一架不带砝码的天平，最多三次使用该天平，找出上述次品乒乓球，并判断它是重于标准球，还是轻于标准球。,
