1、1专题分类突破一 二次函数的解析式及图象特征, 类型 1 由图象上的点确定解析式 )例 1题图【例 1】 如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边长为 4，顶点 A，C 分别在 x轴、y 轴的正半轴上，抛物线 y x2bxc 经过 B，C 两点，点 D为抛物线的顶点，连12结 AC，BD，CD.(1)求此抛物线的解析式；(2)四边形 ABDC的面积是_12_解：(1)由已知，得 C(0，4)，B(4，4)，把 B与 C坐标代入 y x2bxc，得12 4b c 12，c 4， )解得 b2，c4，则解析式为 y x22x4.12(2)y x22x4 (x2) 26，抛物线顶点坐标为(2，
2、6)，则 S 四边形12 12ABDCS ABC S BCD 44 428412.12 12变式 已知抛物线经过 A(1，0)，B(0，3)两点，且对称轴是直线 x1，求抛物线对应的函数解析式(用顶点式与交点式两种方法完成)解：方法一：设 ya(x1) 2b，2将 A(1，0)，B(0，3)两点坐标代入，求得 a1，b4；所求的函数解析式 y(x1) 24x 22x3.方法二：由题意可得抛物线与 x轴的另一个交点为(3，0)，设 ya(x1)(x3)，将 B(0，3)的坐标代入，得 a1，所求的函数解析式为 y(x1)(x3)x 22x3., 类型 2 由系数的特征确定二次函数图象 )【例 2
3、】 在一次函数 ykxb(k0)中，y 随 x的增大而减小，则二次函数yk(x1) 2的图象大致是( B )A B C D.变式图变式 二次函数 yax 2bxc 的图象如图所示，那么下列关于此二次函数的四个结论中，正确的有( D )a0；c0；b 24ac0； 0.a2bA1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解析】 图象开口向下，a0，故本选项正确；该二次函数的图象与 y轴交于正半轴，c0，故本选项正确；二次函数 yax 2bxc 的图象与 x轴有两个不相同交点，根的判别式b 24ac0，故本选项正确；对称轴 x 0， 0，故本选项正确b2a a2b, 类型 2 由图象的平移变换确定解析式
4、 )【例 3】 2017天津中考已知抛物线 yx 24x3 与 x轴相交于点 A，B(点 A在点 B左侧)，顶点为 M.平移该抛物线，使点 M平移后的对应点 M落在 x轴上，点 B平移后的对应点 B落在 y轴上，则平移后的抛物线解析式为( A )Ayx 22x1 Byx 22x1Cyx 22x1 Dyx 22x13变式图变式 如图，抛物线 yx 22x 与直线 y x1 交于 A，B 两点，与直线 x2 交于点12P，将抛物线沿着射线 AB平移 个单位求：32 5(1)求平移后的抛物线的顶点坐标；(2)在整个平移过程中，点 P经过的路径长. 解：(1)由题意，抛物线沿着射线 AB平移 个单位时
5、，32 5点 A向右平移 3个单位，再向上平移 个单位，32抛物线 yx 22x 的顶点坐标为(1，1)，平移后抛物线的顶点坐标为 .(2，12)(2)设抛物线向右平移 a个单位，再向上平移 a个单位，12抛物线的解析式为 y(x1a) 21 ，a2令 x2，y(3a) 21 a，12ya 2 a8，y ，112 (a 114)2 7160a3，y 的最大值为 8，最小值为 ，716a3 时，y ，12点 P经过的路径长为 8 2 .12 (12 716) 61841已知二次函数 ya(xh) 2k，其中，a0，h0，k0，则函数图象大致是( A )A B C D.2在平面直角坐标系中，将抛物
6、线 yx 2x6 向上(下)或向左(右)平移 m个单位，使平移后的抛物线经过原点，则|m|的最小值为( B )A1 B2 C3 D43已知二次函数 yx 2mxn 的图象经过点(2，4)，且顶点在直线 y2x1 上，则二次函数的表达式为_yx 22x4_第 4题图4如图所示，已知抛物线 C1：ya 1x2b 1xc 1和 C2：ya 2x2b 2xc 2都经过原点，顶点分别为 A，B，与 x轴的另一个交点分别为 M，N，如果点 A与点 B，点 M与点 N都关于原点 O成中心对称，则抛物线 C1和 C2为姐妹抛物线请你写出一对姐妹抛物线 C1和 C2，使四边形 ANBM恰好是矩形：_y x22
7、x_和 y x22 x(答案不唯一，符合3 3 3 3条件即可) 5已知抛物线 C：yx 24x3.(1)求该抛物线关于 y轴对称的抛物线 C1的解析式；(2)将抛物线 C1平移使顶点在 x轴上得到 C2，求 C2的解析式解：(1)配方，yx 24x3(x2) 21.该抛物线的顶点为(2，1)，与 y 轴交点(0，3)C 1与 C关于 y轴对称，C 1顶点坐标是(2，1)，且与 y轴交点(0，3)设抛物线 C1的解析式为 ya(x2) 21，把(0，3)代入，解得 a1，抛物线 C1的解析式为 yx 24x3.(2)抛物线 C1的解析式为 yx 24x3(x2) 21.将抛物线 C1向上平移
8、1个单位得到抛物线 C2：y(x2) 2.此时顶点坐标是(2，0)，符合题意5第 6题图6在直角坐标系中，抛物线 yax 2bx2 过 B(2，6)，C(2，2)两点(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为 D，求BCD 的面积；(3)若直线 y x向上平移 b个单位所得的直线与抛物线 BDC(包括端点 B，C)部分有12两个交点，写出 b的取值范围解：(1)由题意 解得4a 2b 2 6，4a 2b 2 2， ) a 12，b 1， )抛物线解析式为 y x2x2.12第 6题答图(2)y x2x2 (x1) 2 .12 12 32顶点坐标 ，(1，32)直线 BC为 yx4，对称轴与
9、 BC的交点 H(1，3)，S BDC S BDH S DHC 3 13.12 32 12 32(3)由 消去 y得到 x2x42b0，y 12x b，y 12x2 x 2， )当 0 时，直线与抛物线有唯一公共点，14(42b)0，b ，158当直线 y xb 经过点 C时，b3，126当直线 y xb 经过点 B时，b5，12直线 y x向上平移 b个单位所得的直线与抛物线段 BDC(包括端点 B，C)部分有12两个交点， b3.15872017江西中考已知抛物线 C1：yax 24ax5(a0)(1)当 a1 时，求抛物线与 x轴的交点坐标及对称轴；(2)试说明无论 a为何值，抛物线 C
10、1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线 C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 C2，直接写出 C2的表达式；(3)若(2)中抛物线 C2的顶点到 x轴的距离为 2，求 a的值解：(1)当 a1 时，抛物线表达式为 yx 24x5(x2) 29，对称轴为 x2，当 y0 时，x23 或3，即 x1 或 5，抛物线与 x轴的交点坐标为(1，0)或(5，0)(2)抛物线 C1表达式为 yax 24ax5，整理，得 yax(x4)5.当 ax(x4)0 时，y 恒定为5，抛物线 C1一定经过两个定点(0，5)，(4，5)这两个点连线为 y5，将抛物线 C1沿 y5 翻折，得到抛物线 C2，开口方向变了，但是对称轴没变，抛物线 C2的表达式为 yax 24ax5.(3)抛物线 C2的顶点到 x轴的距离为 2，则 x2 时，y2 或2.当 y2 时，24a8a5，解得 a ；74当 y2 时，24a8a5，解得 a .34a 或 .74 34
