1、小学数学与数学思想方法人民教育出版社小学数学室王永春,对数学思想方法的认识义务教育数学课程标准（2011年版） 总体目标 通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。基本思想作为第三基，不再是附属品，而是实实在在的教学目标和数学素养的一部分，需要在课堂教学中根据学生的年龄特征和思想方法的难易程度进行不同程度的体现。,数学思想方法对于小学数学教学的意义（一）有利于建立现代数学教育观、落实新课程理念学生数学素养的内涵、数学的价值要更新（二）有利于提高教师专业素养、提高教学水平学本课堂，教师要提高专业素养，否则无法授人以
2、渔（三）有利于提高学生的思维水平、培养“四能”不能让学生单纯地认为学数学就是考试拿分的工具,学（生）本课堂的重要体现是培养独立思考能力、自学能力、问题解决能力、创造性：是什么？ 为什么？ 如何运用、应用？概念等 判断推理等 运算、问题解决,中国数学教育的一些优势是明显的，上海参加PISA测试名列前茅。2014年5月召开的首届华人数学教育会议，评价认为我国数学教育主要有三个弱项：独立思考、问题解决、创造性,数学思想方法,5,标准（2011）在教学建议中强调让学生感悟数学思想。教科书中的很多内容都渗透了各种数学思想，有些是明显的，有些是隐藏的。如二上第一单元长度单位体现了符号思想，用字母符号“cm
3、”“m”来表示长度单位厘米和米，是非常明显的；而在第4和6单元表内乘法中体现了函数思想，就是隐藏的。,把教材中哪些内容体现什么数学思想，进行具体描述，便于老师们把握。为了让广大教师更好地理解有关数学思想的理念、落实数学思想的教学目标，建议采用标准（2011）中的行为动词来描述数学思想的教学目标。,教学目标要具体、全面、用词准确、便于落实和检测。了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法
4、解决问题。经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。,一、抽象的思想,1. 对抽象思想的认识。数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。,(1) 数学抽象在数学教学的过程中无处不在。任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习，都要用到抽象概括。(2) 数学抽象是有
5、层次的。随着数学的发展呈现出了逐步抽象的过程。例如，数的发展，从结绳记数得到1，2，3，等有限的自然数，再通过加法的运算，得到后继数，形成了无限的正整数序列： 1，2，3，n, 在此基础上形成了正整数集合N。再如，整数 小数 分数 有理数实数算术中的数（1等）代数中的常量（a）变量(),2. 抽象思想的应用。 抽象思想在数学中无处 不在。一年级上册，10 的认识，11-20的认识。,在教学10的认识时，多数教师会结合计数器、点子图、小棒等直观教具认识到9添上1是10，然后再进一步学习10的组成及加减法；没有引导学生思考：10与前面学习的09这些数有什么不同？这里实际上隐含一个非常重要的思想方法
6、数学抽象，它比8和9的抽象水平更高，因为10不仅是对任何数量是10的物体的抽象，进一步地它已经不再用新的数字计数了而是采用了伟大的十进位值制计数原理。在11-20的认识时，就要引导学生思考：10与9的不同？ 11中的两个1有什么不同？,3. 数学抽象思想的教学。具体 抽象 具体 情境 模型 应用注：这里的模型是广义的，数学概念、法则、公式、数量关系、规律等都可以理解为模型。在到处是情境的数学教育时代，往往容易忽略抽象。,二、模型思想1. 对模型思想的认识。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式
7、、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，主要从侠义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。,如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实
8、中的各种问题；当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。 2011版课程标准与原课程标准相比有了较大变化，在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。,2. 模型思想的应用。 数的表示，自然数列：0,1,2,用数轴表示数 用数字和图形表示排列规律 数的运算a+b=c，ca
9、 =b, cba， abc(a0,b0)，ca=b, cba 用字母表示运算定律，方程ax+b=c 数量关系：时间、速度和路程：s=vt数量、单价和总价：a=np正比例关系：y/x=k反比例关系：xy=k 用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系 用字母表示周长、面积和体积公式 用图表示空间和平面结构 用统计图表描述和分析各种信息 用分数表示可能性的大小。,一下，找规律,六下，找规律，建模,下面讨论以数学模型为核心的问题解决的教学。传统上应用题的结构是与四则运算、混合运算相匹配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较，现在有问题串，这些都是很好的做法和经验，是知识结构的基础。这种结构是线
10、性的。以基本模型和问题为核心，构建问题链，可以是网状结构，从而最大限度地整合丰富多彩的问题。,以svt为例，模型结构图如下，a是常数。请老师自己编题。,案例1：甲地到乙地原来运行的是动车，上午8时出发中午12时到达，运行路程是700千米。现在运行的是高铁，每小时比动车快105千米，上午8时出发，几时到达？分析： (1)此题是生活中的实际问题，属于时间、速度、路程的问题，要解决的问题是求高铁的运行时间, t=sv。 (2)S不变，v比原来大，可用t1=s(v+a)的数学模型。 (3)根据题中的信息, v=700 4=175，a=105。所以v+a=175+105=280。则t1=7002802.
11、5。 (4)高铁8时出发，10:30 到达。,三、化归思想 1. 对化归思想的认识。人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义
12、和作用。,2解决问题中的化归策略。 （1）化抽象问题为直观问题。从数的认识到计算，直观操作帮助理解算理算法； 解决问题中画线段图表等帮助理解数量关系，进行推理； 用图表进行推理； 函数图像直观地表示变量间的关系； 统计图表直观地表示数据。,（2）化繁为简的策略。有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般来说便得到解决。 案例：快速口算8585，9595，105105分析：仔细观察可以看出，此类题有些特点，每个算式中的两个因数相等，并且个位数
13、都是5。不妨从简单的数开始探索，如1515225, 2525625, 35351225。通过这几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现规律是：个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。所以85857225，95959025，10510511025，实际验证也是如此。,（3）化未知问题为已知问题。对于学生而言，学习的过程是一个不断面对新知识的过程，有些新知识通过某些载体直接呈现，如面积和面积单位，通过一些物体或图形直接引入概念；而有些新知识可以利用已有知识通过探索，把新知识转化为旧知识进行学习。如平行四边形面积公式的学习，
14、通过割补平移，把平行四边形转化为长方形求面积。这种化未知为已知的策略，在数学学习中非常常见。 百分数问题转化为分数问题举例。,案例3:2006年广州市中考题。,目前广州市小学和初中在校生共有约万人，其中小学生在校人数比初中生在校人数的倍多万人。 （）求目前广州市在校小学生人数和初中生人数。 （）假设今年小学生每人需交杂费元，初中生每人需交杂费元，而这些费用全部由广州市政府拨款解决，则广州市要为此拨款多少？,分析：上题与人教版小学五上8例4相比，稍复杂。,四、推理思想1. 对推理思想的认识。推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论
15、。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。,(1) 演绎推理。三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情况，结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：一切奇数都不能被整除，
16、()是奇数，所以()不能被整除。选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断，小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支；小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。,假言推理， 假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断，肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如：如果一个数的末位是，那么这个数能被整除；这个数的末位是，所以这个数能被整除
17、。这里的大前提是一个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方，但它不是三段论。关系推理，是前提中至少有一个是关系命题的推理。下面简单举例说明几种常用的关系推理：(1)对称性关系推理，如米厘米，所以厘米米；(2)反对称性关系推理，a大于b，所以b不大于a ；(3)传递性关系推理，ab，bc，所以ac。关系推理在数学学习中应用比较普遍，如在一年级学习数的大小比较时，把一些数按从小到大或从大到小的顺序排列，实际上都用到了关系推理。,(2) 合情推理。归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。分为完全归纳法和不完全归纳
18、法。完全归纳法是根据某类事物中的每个事物或每个子类事物都具有某种性质，而推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。完全归纳法考察了所有特殊对象，所得出的结论是可靠的。不完全归纳法是通过观察某类事物中部分对象发现某些相同的性质，推出该类事物具有这种性质的一般性结论的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。,传统的数学大纲比较强调逻辑推理而忽视了合情推理；而现行的课程标准又
19、矫枉过正，过于强调合情推理，在逻辑推理能力方面有所淡化。就学好数学或者培养人的智力而言，逻辑推理和合情推理都是不可或缺的。据了解，课程标准修改稿在这方面有比较合理的处理，明确了推理的范围及作用“推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性”。人们在利用数学解决各种实际问题的过程中，虽然大量的计算和推理可以通过计算机来完成。但是就人的思维能力构成而言，推理能力仍然是至关重要的能力之一，因而培养推理能力仍然是数
20、学教育的主要任务之一。,2推理思想的教学。就演绎推理和合情推理的关系及教学建议，课程标准修改稿指出“推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求”。根据以上课程标准关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点。,第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的
21、基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。在小学数学中，除了运算是数学的基本方法外，推理也是常用的数学方法。无论是低年级的找规律、总结计算法则，还是高年级的面积、体积公式的推导，无不用到推理的思想方法。因而，广大教师要牢记推理思想从一年级就要开始渗透和应用，是一个长期的培养过程。 第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。合情推理多用于根据特殊的事实去发现和总结一般性的结论，演绎推理往往用于根据已有的一般性的结论去证明和推导新的结论。二者在数学中的作用都是很重要的。 第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。推理能力的发展与各领域知识的学习是一个有机的结合过程，因而在教学过程中要给学生提供
22、各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等活动，去发现结论，培养推理能力。 第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。推理能力的培养要结合具体知识的学习，同时要考虑学生的认知水平和接受能力。,棋 子 个 数 1 1 10 2 2 11 20 3 3 12 21 30 4 4 13 22 31 40 5 5 14 23 32 41 50 6 6 15 24 33 42 51 60 7 7 16 25 34 43 52 61 70 8 8 17 26 35 44 55 62 71 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10,10颗棋子可以摆出多少个数？,案例
23、1：,棋 子 个 数 1 1 10 2 2 11 20 3 3 12 21 30 4 4 13 22 31 40 5 5 14 23 32 41 50 6 6 15 24 33 42 51 60 7 7 16 25 34 43 52 61 70 8 8 17 26 35 44 55 62 71 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91,11、1219颗棋子可以摆出多少个数？20颗呢？,合情推理的或然性,整数乘法运算定律推广到分数,思想方法： 类比 可不必再探究，直接引导学生类比，下面的题目可作为验证。,知识基
24、础：分数的运算顺序、整小数运算律,小学数学教材和教学长期重视归纳法，现在应加强类比法、演绎推理,计算中的推理在加强。 案例2：如下图，已知圆的面积为5 cm，求正方形的面积。,设圆的半径为r，则有5 = r，所以r=5。正方形的边长等于圆的直径， 所以正方形的面积=（2r）=4r=45=20（cm）,（2013北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（ ）。,案例3：如下左图，两条直线相交形成4个角，你能说明2=4吗？,分析：此题在初中要根据“同角的补角相等”来证明对顶角相等。那么，在小学阶段，如何根据已有知识进行简单的证明
25、呢？我们已经知道平角等于180度，再根据等量代换等知识就可以证明。下面给出最简单的证明： 因为1和2、1和4分别组成平角， 所以1+2=180、1+4=180，根据加减法各部分间的关系，可得2=180-1、4=180-1，根据等量代换， 可得2=4。 再看右上图，在初中要证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在小学阶段同样可以类似地得到证明。,人教版新教材六下，加强代数思维、归纳模型,Y=3+2(n-1)=2n+1,（2012杭州）有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7 （1）请写出其中一个三角形的第三边的长； （2）设组中最多有n个三角形，
26、求n的值； （3）当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率分析：利用三角形任意两边之和大于第三边，进行关系推理。可列举出第三边的长：11，10，9，8，7，6，5，4，3。两边的和： 5+7=12，第三边为偶数：10，8，6，4.概率为：4/9.,五、数形结合思想,1. 对数形结合思想的认识。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。数和形是客观事物不可分离的两个数学表象，两者既是对立的又是统一的数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”数与形的对立统一主要表现在数与形的互相转化和互相结合上。尤其是直角坐标系与几何的结合，是数形结合的完美体现。小学数学阶
27、段主要是利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。,2. 数形结合思想的具体应用。 （1）数的表示和运算。数和运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直 观理解数和计算。摆小棒、画图形等。,（）解决问题中的形。 画线段图表示数量关系。,解决问题的直观策略。,(1)有2件不同的上衣、3条不同的裤子，一共有多少种穿法？ (2)有2件不同的上衣、3条不同的裤子、2双不同的鞋，一共有多少种穿法？,2013年辽宁鞍山中考数学试题,19小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明
28、和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜 （1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况 （2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由,奇数：4次 偶数：5次,2013年广州中考数学试题,21.（本小题满分12分）在某项针对1835岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当m10时为A级，当5m10时为B级，当0m5时为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：11 10 6 15 9 16 13 12 0 8 2 8 10 1
29、7 6 13 7 5 7 3 12 10 7 11 3 6 8 14 15 12 （1）求样本数据中为A级的频率； （2）试估计1000个1835岁的青年人中“日均发微博条数”为 A级的人数； （3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2 个人的“日均发微博条数”都是3的概率.,C级的有： 0，2，3，3四人， 画树状图得：,共有12种等可能的结果，抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的有2种情况。 抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率为：2/12=1/6.,利用坐标系中的图像直观理解正比例关系。,（3）统计中的图形。 各种统计图表。,（4）空间与图形中的数。 图形的周长、
30、面积和体积公式，用量来刻画图形。,下面是一个开放题。案例：图中每个小正方形方格的面积是1cm。 以给定的这条线段为边，你能分别画出几个符合 下列要求的多边形？面积是3cm的三角形，面积 是6cm的平行四边形，面积是7cm的梯形。请画出来。,六、数学思想方法的综合运用,小数乘整数,结合具体量计算沟通小数乘法与整数乘法的联系理解算理提供感性支撑 思想方法：转化,基本算理和算法思想方法： 比较差异、转化 类比：整数乘法积的变化规律同样适用于小数 积的小数点处理依据：小数积的变化规律积的小数末尾有0可去掉,小数乘整数,知识基础：整数乘法、整数乘法积的变化规律、小数的性质,基本算理和算法思想方法： 转化
31、、类比、归纳积的小数点不完全归纳,小数乘小数,知识基础：整数乘法、整数乘法积的变化规律、小数的性质、小数点的移动,总结算法,小数乘小数,难点问题：算理、算法相同，两个因数一共扩大到原来的10000倍，积就要缩小到原来的万分之一，要把224的小数点向左移动4位。,小数乘小数,数 陈述性知识（概念系统） 理解、记忆学 程序性知识（规则、技能） 适当训练知 策略性知识 （思想方法） 感悟、智慧识独立思考+在交流中学他人之长,为什么很多人学不好数学呢？ 数学成绩与多个变量有关，有两个与数学有关的核心要素：一是不理解概念或没有形成概念系统，二是没有掌握数学的规则和方法。传统的数学教学，尤其是中学数学教学
32、，习惯于精讲多练，重点在训练，导致普通学生学不好数学、害怕数学。,对于学生而言，小学学习六年、初中学习3年、高中学习3年，这12年每年都要学习数学，很多人甚至上了大学还要学习数学，课本有几十本。也就是说，从小学到高中，数学书越学越多、越学越厚。那么如何能够越学越薄呢？最好的方法就是，适当掌握双基、提炼思想方法、学会运用思想方法。生本课堂、学本课堂 等主体性教学模式的探索，也要围绕这个目标开展。,作 者：王永春 出版者：华东师范大学出版社 开 本：7001000 16开 定 价：37.00 ISBN：978-7-5675-2260-2/G7469 出版日期：2014年10月,本书于2014年10月上市，全国各大新华书店有售。当当、卓越、京东网均有销售。 天猫官方旗舰店网址，http:/。 批发可与华东师范大学出版社教辅分社发行部联系。 联系人：余洁 电话：021-60821645 传真：021-60821643 出版社账号信息 户名：华东师范大学出版社有限公司 账号：1001247209014476553 开户行：102290024724工行上海普陀区支行金沙江路分理处,谢 谢！地址：北京中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081 电话：（010）58758306 网址：http：/ 邮箱：,
