1、,第二章 有理数及其运算复习课,有 理 数 总 复 习,一、有理数的基本概念,二、有理数的运算,1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数,加、减、乘、除、乘方运算,一、有理数的基本概念,1.负数：,在正数前面加“”的数；,0既不是正数，也不是负数。,判断：1）a一定是正数；2）a一定是负数；3）（a）一定大于0；4）0是正整数。,2.有理数：,整数和分数统称有理数。,有理数,整数,分数,正整数（自然数）,零,负整数,正分数,负分数,有理数,正有理数,零,负有理数,正整数,正分数,负整数,负分数,8、-1/8、
2、-1、-8、-（-1/8）、0。整数集合 , 分数集合 , 正数集合 , 负数集合 , 正整数集合 , 有理数集合 ,8,-1,-8,0,8,-1/8,-1,-8,-（-1/8）,0,-1/8,-（-1/8）,8,-1/8,-1,-8,-(-1/8),8,例1、把各数分别填在相应的集合里。,3.数 轴,规定了原点、正方向和单位长度的直线.,1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；,2）正数都大于0,负数都小于0；正数大于一切负数；,3）所有有理数都可以用数轴上的点表示。,数轴：原点、正方向、单位长度（三要素）,任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,A点表示_，B点表示_，C点表示_
3、，D点表示_，E点表示_.总结：一条正确的数轴，必须要有_，_，_.,1.5,-3,-0.5,-2,3,原点,正方向,单位长度,4.相反数,只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。,1）数a的相反数是-a,2）0的相反数是0.,-2,2,-4,4,3）若a、b互为相反数，则a+b=0.,（a是任意一个有理数）；,5.倒 数,乘积是1的两个数互为倒数 .,1）a的倒数是 （a0）；,3）若a与b互为倒数，则ab=1.,2）0没有倒数 ；,例：下列各数，哪两个数互为倒数？8， ，-1，+（-8），1，,6.绝对值,一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。,1）数a的绝对值记作a
4、;,a,-a,0,3) 对任何有理数a,总有a0.,正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0,如：+2的绝对值是2，记作|+2|=2 2的绝对值是2，记作|2|=2,绝对值的法则,1.若|x|y|=0，则（ ）A.x=y B.x=y C.x=y=0 D.x=y或x=y,2.有理数a,b在数轴上对应位置如图所示，则a+b的值为（ ）,A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.大于a,选择题,D,B,A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数,4 .|x|=1,则x与3的差为（ ）A. 4 B. 2 C. 4或2 D. 2,C,C,5.下列说法中，正确的是( )(A) 0是最小
5、的有理数 (B) 0 是最小整数 (C) 0的倒数和相反数都是0 (D) 0是最小的非负数,6.下列结论正确的是（ ）A.若|x|=|y|，则x=y B.若x=y，则|x|=|y|C.若|a|b|，则ab D.若ab，则|a|b|,负数更小！,零无倒数！,D,B,绝对值的特性,例1、| a 2 | + | b 3 | = 0 , 求2 a + 3 b的值。,解：依题意有| a 2 | = 0 | b 3 | = 0 , 则a = 2 b = 3 2 a + 3 b = 13,7.有理数大小的比较,1）可通过数轴比较：在数轴上的两个数，右边的数 总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0； 正数
6、大于一切负数； 2）两个负数，绝对值大的反而小。 即:若a0,b0,且ab,则a b.,利用绝对值比较两个负数的大小,两个负数比较大小，绝对值大的反而小。,例、比较和的大小,解： 因为-5= 5， | -8 | = 85 -8,8.科学记数法、近似数,1. 把一个大于10的数记成a10n 的形式，其中a是整数数位只有一位 的数，这种记数法叫做科学记数法 .,有理数的五种运算,1.运算法则 2.运算顺序 3.运 算 律,1.运算法则,1）有理数加法法则 2）有理数减法法则 3）有理数乘法法则 4）有理数除法法则 5）有理数的乘方,1)有理数加法法则, 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；
7、, 异号两数相加,取绝对值较大 的加数的符号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值；互为相反数 的两数相加得0；, 一个数同0相加,仍得这个数。,若a0,bb, 则a+b=,用数学语言描述有理数加法法则：,同号相加：若a0,b0,则a+b=,若a0,b0,则a+b=,若a0,b0,ab,则a+b=,异号相加,与0相加,若a、b互为相反数，则a+b=,a是任一个有理数，则a+0=,a+b,-,a-b,(b-a),0,a,(a+b),-,2)有理数减法法则,减去一个数，等于加上这个数的相反数.即 a-b=a+(-b),例：分别求出数轴上两点间的距离： 表示2的点与表示-7的点； 表示-3的点与表示-
8、1的点。,解：2-（-7）=2+7=9=9-3-（-1）=-3+1=-2=2,3）有理数的乘法法则,两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0., 几个不等于0的数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个 时，积为正., 几个数相乘，有一个因数为0， 积就为0.,用数学语言描述有理数乘法法则：,同号相乘若a0,b0,则 ab=,ab,若a0,b0,则 ab=,ab,异号相乘若a0,b0,则 ab=,若a0,则 ab=,ab,ab,数与0相乘,a为任何有理数，则 a0=,0,+,+,-,-,4)有理数除法法则,除以一个数等于乘上
9、这个数的倒数;即,ab=a (b0), 两数相除,同号得正,异号得负, 并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数,都 得0.,5)有理数的乘方,求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。,正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.,正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数,乘方运算的法则：,1、(-2)4 与 -24 相同吗？,它们的意义不相同,填空：,（1） 的底数是_，指数是 _，读作_。(2) 表示_个_相乘,读作_。(3)3.6 5 的指数是_,底数是_,读作_。（4）x m 表示_个_相乘,指数是_,底数是_,读作_。,熟悉乘方,m,-2的10
10、次方（幂）,-2,10,-3,x,12,-3的12次方（幂）,-3的12次方（幂）,x的m次方（幂）,m,5,3.6,x,有理数的混合运算,混合运算法则： 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的。,2.运算顺序,1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 3）对只含乘除，或只含加减的运算，应从左往右运算。,3.有理数的运算律,1)加法交换律,a+b=b+a,2)加法结合律,(a+b)+c=a+(b+c),3)乘法交换律,ab=ba,4)乘法结合律,(ab)c=a(bc),5)分 配 律,a(b+c)=ab+ac,巩固练习：,1、,2、,3、,4、,
11、_ 的倒数是它本身,_的绝对值是它本身.,3. a+b=0,则a与b .,4.最大的负整数与绝对值最小的数的和是_,5. 若b0且a=|b|，则a与b的关系是_.,1.,填空题,1,正数和零,互为相反数,互为相反数,6.如果|a|a，那么a是_.某人向东走了4千米记作+4千米，那么2 千米表示,. 如果|a| = |a|，那么a .,a,向西走了千米,如果表示最小的正整数， 表示最大的负整数， 表示绝对值最小的有理数，那么（ ） 。,0,10.已知 |a| + |b| +|c| = 0,则 a = _, b = _, c = _.,11.在数轴上与表示-1的点相距4个单位长度的点表示的数是。,
12、12. 在数轴上距离原点为2的点所对应的数为，它们互为.,则x = _ y =_.,13.若,0,0,0,，,，,相反数,14、右图是正方体的侧面展开图，请你在其余三个空格内填入适当的数，使折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数。,1,-0.5,3,1.若|x|y|=0，则（ ）A.x=y B.x=y C.x=y=0 D.x=y或x=y,2.有理数a,b在数轴上对应位置如图所示，则a+b的值为（ ）,A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.大于a,选择题,D,B.,()有理数a,b在数轴上的对应点的位置如下图所示，则（ ）A a+b0 B a+b0 C a-b=0 D a-b0,B,D,二、
13、典型例题,3如果点A、B、C、D所对应的数为a、b、 c、d，则a、b、c、d的大小关系为（ ）,A.acdb B.bdac; C.bdca D.dbca,C.,A.负数 B.正数 C.非正数 D.非负数,5 .|x|=1,则x与3的差为（ ）A. 4 B. 2 C. 4或2 D. 2,C.,C.,a=2,等式不 成立,a=-2或0, 等式成立,|x|=1， x （） （） 3 选C.,(6)天安门广场的面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万分之一大约相当于（ ） A. 教室地面的面积 B. 黑板面的面积 C. 课桌面的面积 D. 铅笔盒盒面的面积,(7)有一张厚度是0.1毫米的纸.将它
14、对折1次后,厚度为20.1毫米,对折20次后,它的厚度大约相当于( ) A. 30层楼房的高度 B. 10层楼房的高度 C. 100层楼房的高度 D. 1个人的身高,C,A,8.下列说法中，正确的是（ ）A. 一个有理数的绝对值不小于它自身; B. 若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等. C. 若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数; D. a的绝对值等于a,A,9.下列说法中，正确的是( )(A). 0是最小的有理数 (B). 0 是最小整数 (C) .0的倒数和相反数都是0 (D) .0是最小的非负数,10.下列结论正确的是（ ）A.若|x|=|y|，则x=y B.若x=y，则
15、|x|=|y|C.若|a|b|，则ab D.若ab，则|a|b|,负数更小！,零无倒数！,可用特殊值法，例如 X=2 ,y=2 则x y,D,X=2,y=2,满足X=y,|x|=2,|y|=2, 所以|x|=|y| 选B.,B,11校、家、书店依次坐落在一条南北走 向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家北边100米，张明同学从家里 出发，向北走了50米，接着又向北走了 70米，此时张明的位置在( )A. 在家 B. 在学校 C. 在书店 D. 不在上述地方,学校,家,书店,B,12.下列计算正确的是( ),D,三(1).写出大于4.1且小于2.5的所有整数，数并把它们在数轴上表示出来.,大
16、于4.1且小于2.5的所有整数为-4.-3.-2.-1.0.1.2.,-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6,2、已知|a|=5,|b|=2, ab0. 求(1). 3a+2b的值; (2). ab的值.,注意符号！,注意符号！,已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，m为最大的负整数。 试求 的值.,3.观察下列等式: 9 -1 =8, 16 - 412, 25 - 9=16, 36 -16 = 20,设n为正整数(n1),用关于n的等式表示上述等式的规律是_,2. 观察下列等式： 71=7,72=49,73=343,74=2401, ,由此可判断7100 的个位数字是 。,1,(n+2)2-n2=4 (n+1),4、用表示实心圆，用表示空心圆，现有若干个实心圆与空心圆，按一定的规律排列如下： 问：前2009个 圆中，有_ _个空心圆。,用火柴棒按下图的方式搭三角形. ,（2）根据你的探究，搭第n个图形需要多少根火柴棒？ （3）当n=100时，需要多少根火柴棒？,
