1、第五讲 矩阵的初等变换,一 三种初等变换,矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨中都起重要的作用,二 用初等变换化简矩阵为阶 梯形、行最简形,本讲主要讨论两个问题,1 方程组的同解变换与增广矩阵的关系,在解线性方程组的过程中 我们可以把一个方程变为另一个同解的方程 这种变换过程称为同解变换,一 三种初等变换,同解变换有,(1) 交换两个方程的位置,(2) 把某个方程乘以一个非零数,(3) 某个方程的非零倍加到另一个方程上,交换(A b) 的第1行与第2行,增广矩阵的比较,例1,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2
2、-2 4,3 6 -9 7 9,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,(A b)第3行乘以1/2,例1,增广矩阵的比较,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,2 -3 1 -1 2,3 6 -9 7 9,(A b) 第2行乘以(2)加到第1行,例如,增广矩阵的比较,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,0 -3 3 -1 -6,1 1 -2 1 4,2 -3 1
3、 -1 2,3 6 -9 7 9,定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：,对调两行，记作 ；,以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 ；,某一行加上另一行的 k 倍，记作 .,把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换,初等变换,初等行变换,初等列变换,r2r4,例1,r12,-9 3 78 -1 1 1 -2 1 3,2 10 -2 -2,r1-r42,-9 3 78 -1 1 1 -2 1 3,0 14 -4 -8,二 阶梯形、行简化阶梯形、标准形矩阵,1 行阶梯形,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只
4、有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为1; 这些非零元所在的列的其它元素都为零.,行最简形矩阵： 非零行的第一个非零元为1; 这些非零元所在的列的其它元素都为零.,标准形矩阵： 左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.,任何矩阵,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,标准形矩阵,结论,例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形,5 1 3 8 4 7 2 0 0 2 5 6 8 7 5 0 0 3 4 5 2 6 9 0 0 0 0 0 4 2
5、8 0 0 0 0 0 0 0 0,E=,例1 阶梯形,行简化阶梯形，标准形,例2 阶梯形,行简化阶梯形，标准形,例 3 阶梯形,行简化阶梯形，标准形,0 0 0 0 0,例 1 用初等行变换化为行简化阶梯形,0 0 5 -3,0 0 3 -1,例 2 用初等行变换化为行简化阶梯形,0 0 5 -3,0 0 3 -1,0 0 1 1/3,2 1 -1 2,2 1 -1 2,0 0 0 -14/3,0 0 0 -2,2 1 -1 2,0 0 0 1,0 0 0 0,将1所在列上下化为零,0 3 3,0 2 1,行最简形,0 1 1,行阶梯形,0 1,0 0 - 1,首先，化为行阶梯形,练习 1、
6、用初等行变换化为行简化阶梯形,-1 3 -1 1 -1 -1 4 2 3 -2 2 3 4,A=,练习2： 用初等行变换化为行简化阶梯形,1 -1 3 -1 1,0 1 -7 6 0,0 1 -7 6 1,0 1 -7 6 0,1 -1 3 -1 1,0 0 0 0 1,0 1 -7 6 0,0 0 0 0 1,1 0 -4 5 0,1 1 1 1 1 2 1 0 -3 6 0 1 2 3 6 -3 5 4 3 2 6 1,A=,练习3： 用初等行变换化为行简化阶梯形,1 1 1 1 1,0 -1 -2 -3 -6 3,0 1 2 3 6 -3,0 -1 -2 -3 1 -4,1 1 1 1 1,0 -1 -2 -3 -6 3,0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 7 -7,0 -1 -2 0 1,0 1 2 3 0 3,0 0 0 0 1 -1,0 0 0 0 0 0,1 1 1 1 1,0 -1 -2 -3 -6 3,0 0 0 0 1 -1,0 0 0 0 0 0,三 初等变换的应用,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方程组的解,
