1、- 1 -东山二中 2018-2019 学年高二（上）月考一数学试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1、 某 学 校 为 了 了 解 某 年 龄 段 学 生 的 体 质 状 况 ， 现 采 用 系 统 抽 样 方 法 按 1： 20 的 比 例抽 取 一 个 样 本 进 行 体 质 测 试 ， 将 所 有 200 名 学 生 依 次 编 号 为 1、 2、 、 200， 则其 中 抽 取 的 4 名 学 生 的 编 号 可 能 是 （ ）A3、23、63、113 B31、61、81、121C23、123、163、183 D17、87、127、1672 设 为
2、直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 （ ）l,A若 ， ，则 B若 ， ，则PlPllPC若 ， ，则 D若 ， ，则l l3 直线 过点 且与直线 垂直，则直线 的方程为（ ）(1,2)340xylA B0xy27C D. 58xy4圆： 上的点到直线 的距离最小值是（ ）122yx2A2 B C D 15 右 图 是 某 赛 季 甲 、 乙 两 名 篮 球 运 动 员 每 场 比 赛 得 分 的 茎 叶 图 ，则 甲 、 乙 两 人 这 几 场 比 赛 得分的中位数之和是（ ）A62 B63 C64 D656在 ABC 中， A60， a ， b4，那么满足条件的 ABC( )
3、6A有一个解 B有两个解 C无解 D不能确定7在某次测量中得到的 A 样本数据如下：82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88若B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据，则 A， B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A众数 B平均数 C中位数 D标准差8已知等差数列 an的前 n 项和为 18，若 S31， an an1 an2 3，则 n 等于( )- 2 -A9 B21 C27 D369钝角 的面积是 ， ，则 ( )12,2ABACA B C D.55110.执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8,则判断框内可填入的 条件是
4、( )11如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中， ，1A侧 面 是 正 方 形 CDC1=60，那么异面直线 AD1与 DC1所成角的余弦值是 （ ）A、 B、 C、 D、642243412当 时，若不等式 恒成立，则 的最小值为( )0x0xaaA. B C D.3212二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.若 , 满足约束条件 ，则 的最小值为 xy03xyzxy14已知圆 ，则过原点的圆的切线方程为 2:4+10Cxy 15.期末考试后，班长算出了全班 50 名同学的数学成绩的平均分为 ，方差为 .如果把x21s当成一个同学的分数，与原来的 50 个分数一起
5、，算出这 51 个分数的方差为 ，那么x 2_.21s16设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a11， ，则 Sn_.11nn三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤CDB1A BC1D1A1第 11 题35.ss.4624？ ？ ？ ？- 3 -17(10 分)在 ABC 中， BC6，点 D 在 BC 边上，且(2 AC AB)cos A BCcos C.(1)求角 A 的大小；(2)若 AD 为 ABC 的中线，且 AC2 ，求 AD 的长；318、(12 分)如图,在四面体 ABCD 中， CB CD， AD BD，且 E、 F 分别是 AB、 BD 的中点求
6、证：(1) EF面 ACD； (2)面 EFC面 BCD.19. (12 分) 从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成 6 组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为113642，最右边的一组的频数是 8.请结合直方图的信息，解答下列问题：(1)样本容量是多少？(2)成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率.(3)估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和平均数.- 4 -20. (12 分)大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司 月份至 月份销售某种712机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价 和销售量 之间的一组数据
7、如下表所xy示：月份 i7 8 9 10 11 12销售单位 （元）ix9 9.5 10 10.5 11 8.5销售量 （件）iy11 10 8 6 5 14（1）根据 至 月份的数据，求出 关于 的回归直线方程；71yx（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 元，则认为所得到2的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是 元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销2.5售收入-成本） 。参考公式：回归直线方程 ，其中 ，参考数据
8、：ybxa12niixy， .51392ixy5210ix21(12 分)已知数列 an的前 n 项和 Sn和通项 an满足 2Sn an1，数列 bn中， b11， b2 ， (nN *)12 2bn 1 1bn 1bn 2(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)数列 cn满足 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn, ,.222、(12 分)已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 ， l1C:2650xyA（1）求圆 的圆心坐标；（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；1CAC（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出kL:4ykx- 5 -的取值范围；若不
9、存在，说明理由k东山二中 20182019 学年（上）高二年月考一文科数学答案一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A C C C D C B C A B二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、 14、 15、 16、5304xyx或 510n三解答题（共 6 小题，其中 17 题 10 分，其余每小题均为 12 分，共 70 分）17(10 分)在 ABC 中， BC6，点 D 在 BC 边上，且(2 AC AB)cos A BCcos C.(1)求角 A 的大小；(2)若 AD 为 ABC 的中线，且 AC2 ，求
10、AD 的长；3解 (1)由(2 AC AB)cos A BCcos C 及正弦定理，有(2sin Bsin C)cos Asin Acos C，得 2sin Bcos Asin Ccos Asin Acos Csin( A C)sin B，所以 cos A .12因为 0A180，所以 A60.(2)由正弦定理 ，得 sin B .BCsin A ACsin B ACsin ABC 12因为 A B180，所以 B30，所以 C90.因为 D 是 BC 的中点，所以 DC3，由勾股定理，得 AD .AC2 DC2 2118、(12 分)在四面体 ABCD 中， CB CD， AD BD，且 E
11、、 F 分别是AB、 BD 的中点求证：(1) EF面 ACD； (2)面 EFC面 BCD.证明 (1) E， F 分别是 AB， BD 的中点， EF 是 ABD 的中位线， EF AD， EF面 ACD， AD面 ACD， EF面 ACD.(2) AD BD， EF AD， EF BD. CB CD， F 是 BD 的中点， CF BD.又 EF CF F， BD面 EFC. BD面 BCD，面 EFC面 BCD.- 6 -19. (12 分) 从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成 6 组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为 11
12、3642，最右边的一组的频数是 8.请结合直方图的信息，解答下列问题：(1)样本容量是多少？(2)成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率.(3)估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和平均数.19.【解析】(1)从左到右各小组的频率分别为13642,;717样本容量为 8.(2)成绩落在 之间的人数最多；频率为 ；频数为706176824.17(3)众数的估计值是 75 ，中位数的估计值是,134527010.8366平均数的估计值是 .64275895771120.解：（1）因为 ， ，19.50.0x068y所以 ，则 ，2395083.b 8324a于是 关于 的回归直线方程为
13、 ；yx.yx（2）当 时， ，则 ，8.5.54011.8.2y所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；（3）令销售利润为 ，则W，222.53.403.48103.7.580xxxx当 时， 取最大值.7所以该产品的销售单价定为 元/件时，获得的利润最大.7521(12 分)已知数列 an的前 n 项和 Sn和通项 an满足 2Sn an1，数列 bn中，- 7 -b11， b2 ， (nN *)12 2bn 1 1bn 1bn 2(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)数列 cn满足 cn ，求数列 cn的前 n 项和 Tn, ,.2解 (1)由 2Sn an1，得 Sn (1 a
14、n)12当 n2 时， an Sn Sn1 (1 an) (1 an1 ) an an1 ，12 12 12 12即 2an an an1 ， (由题意可知 an1 0)anan 1 13 an是公比为 的等比数列，而 S1 a1 (1 a1)，13 12 a1 ， an n1n.13 13 (13) (13)由 ， 1， 2，2bn 1 1bn 1bn 2 1b1 1b2得 d 1 ，1b2 1b1 (d为 等 差 数 列 1bn的 公 差 ) n， bn .1bn 1n(2)证明： cn ,2()则 Tn c1 c2 cn，11.345(2)n1()(.)()232n112n32()22、
15、(12 分)已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 ， l1C:2650xyA（1）求圆 的圆心坐标；（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；1CAC（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出kL:4ykx的取值范围；若不存在，说明理由k- 8 -解（1）圆 化为 ，所以圆 的圆心坐标为1C:2650xy234xy1C3,0（2）设线段 的中点 ，由圆的性质可得 垂直于直线 .AB(,)x1l设直线 的方程为 （易知直线 的斜率存在） ，所以 ， ，lmyl1Ckm0xy所以 ，所以 ，即 .130x03202yx 4923200x即 的轨迹 的方程为 .C4925（
16、3）由题意知直线 表示过定点 ，斜率为 的直线.LT(,0)k结合图形， 表示的是一段关于 轴对称，起点为49232yx35xx按逆时针方向运动到 的圆弧.根据对称性，只需讨论在 轴对称下方5,3, x的圆弧.设 ，则 ，而当直线 与轨迹 相切时，P32, 75234PTkLC，解得 .在这里暂取 ，21432k4k4k因为 ，所以 .4375结合图形，可得对于 轴对称下方的圆弧，当x或 时，直线 与 轴对称下方2507k34Lx的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当或 时，直线 与 轴对称2507k34x上方的圆弧有且只有一个交点.L xyO C- 8 -综上当 或 时，直线 与曲线 只有一个交点.752k34L:4ykxC
