1、1222 二次函数与一元二次方程01 教学目标1理解二次函数与一元二次方程的关系2会判断抛物线与 x 轴的交点个数3掌握方程与函数间的转化4会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解02 预习反馈阅读教材 P4346，完成下列问题1画出二次函数 yx 23x2 的图象如图，利用图象回答：(1)当 x0 时，y2；当 y0 时，x1 或 2(2)当 y0 时，二次函数 yx 23x2 的图象在 x 轴的上方，此时对应的自变量 x 的取值范围是 x1 或 x2；(3)当 y0 时，二次函数 yx 23x2 的图象在 x 轴的下方，此时对应的自变量 x 的取值范围是 1x22心理学家发现：学生对
2、概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x(min)之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受力最大，为 59.9；当提出概念 30 min2时，学生对概念的接受能力就剩下 31.(1)根据题意，可知 y 与 x 满足的二次函数关系式为 y0.1x 22.6x43；(2)当提出概念 20 min 时，学生对概念的接受能力为 5503 新课讲授例 1 (教材 P43 问题)如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系 h20 t5
3、t2.请解答以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？【思路点拨】 求小球的飞行高度达到 15 m，就是求当 h15 时，相对应的 t 的值【解答】 解方程 1520 t5 t2， t24 t30， t11， t23.当小球飞行 1 s 和 3 s 时，它的飞行高度为 15 m.【点拨】 小球在某一时间达到 15 m，然后继续上升，达到最大高度后开始下落，经过一段时间，小球高度又回落到 15 m所以在两个时间球的高度为 15 m.(2)小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？【思路点拨】 求小球的飞行高度达到 20 m，就是求当 h20 时
4、，相对应的 t 的值【解答】 解方程 2020 t5 t2， t24 t40， t1 t22.当小球飞行 2 s 时，它的飞行高度为 20 m.【点拨】 小球在某一时间达到最大高度，所以只在一个时间球的高度为 20 m.(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？【思路点拨】 求小球能否达到某一高度，就是将 h 的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中 h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中 h 的值【解答】 解方程 20.520 t5 t2， t24 t4.10.因为(4) 244.10，所以方程无实数根这就是说
5、，小球的飞行高度达不到 20.5 m.(4)小球从飞出到落地要用多少时间？【思路点拨】 求小球从飞出到落地要用多少时间，就是求当 h0 时， t 的值3【解答】 小球飞出时和落地时的高度都是 0 m，解方程020 t5 t2， t24 t0， t10， t24.当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m这表明小球从飞出到落地要用 4 s从图来看，0 s 时小球从地面飞出，4 s 时小球落回地面【点拨】 二次函数 y ax2 bx c(a0)与一元二次方程之间的关系，当 y 为某一确定值 m 时，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程 ax2 bx c m.反过来，解方程ax2
6、bx c0 又可以看作已知二次函数 y ax2 bx c 的值为 0，求自变量 x 的值例 2 (教材 P44 思考的变式)(1)已知下列三个二次函数： y x2 x2； y x26 x9； y x2 x1，这些函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？【思路点拨】 先画出相应地二次函数的图象，再根据函数图象即可得出结论【解答】 (1)这些函数的图象如图所示抛物线 y x2 x2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.当 x 取公共点的横坐标时，函数值是 0.由此得出方程 x2 x20
7、 的根是2，1.抛物线 y x26 x9 与 x 轴有一个公共点，这点的横坐标是 3.当 x3 时，函数值是 0.由此得出方程 x26 x90 有两个相等的实数根是 3.抛物线 y x2 x1 与 x 轴没有公共点由此可知，方程 x2 x10 没有实数根【点拨】 如果抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 x x0时，函数的值是 0，因此 x x0是方程 ax2 bx c0 的一个根(2)二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的位置关系与一元二次方程 ax2 bx c0的根的情况有何联系？【思路点拨】 如果一元二次方程有两个不等的实数根，那么
8、相应的二次函数的图象与 x 轴有两个公共点；如果一元二次方程有两个相等的实数根，那么相应的二次函数的图4象与 x 轴有一个公共点；如果一元二次方程没有实数根，那么相应的二次函数的图象与 x轴没有公共点【解答】 二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程 ax2 bx c0 的根的三种情况；没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根【跟踪训练】 已知抛物线 y2x 28xm.(1)若抛物线与 x 轴有两个公共点，则 m 的取值范围是 m8；(2)若抛物线与 x 轴只有一个公共点，则 m 的取值范围是 m8
9、；(3)若抛物线与 x 轴没有公共点，则 m 的取值范围是 m8例 3 (教材 P46 例)利用函数图象求方程 x22 x20 的实数根(结果保留小数点后一位)【解答】 画出函数 y x22 x2 的图象如图所示，它与 x 轴的公共点的横坐标大约是0.7，2.7.所以方程 x22 x20 的实数根为 x10.7， x22.7.【点拨】 根据二次函数的图象来求一元二次方程的根时，我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围来估计一元二次方程的根04 巩固训练1(22.2 习题)小兰画了一个函数 y x2 ax b 的图象如图，则关于 x 的方程x2 ax b0 的解是(D)A无解 B x1C
10、x4 D x1 或 x452二次函数 yx 22x1 与 x 轴的交点个数是( C)A1 个或 2 个 B2 个 C1 个 D0 个3(22.2 习题)抛物线 y ax2 bx c(a0)如图所示，则关于 x 的不等式ax2 bx c0 的解集是(C)A x2 B x3C3 x1 D x3 或 x14已知抛物线 ykx 24x3 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 k 且 k0435如图所示，你能直观看出哪些方程的根？解：x 22x30 的根为 x11，x 23；x 22x34 的根为x1x 21；x 22x 233 的根为 x10，x 22.【点拨】 此题充分体现二次函数与一元二次方程之
11、间的关系，即函数yx 22x3 中，y 为某一确定值 m(如 4、3、0)时，相应的 x 值是方程x 22x3m(m4、3、0)的根05 课堂小结1二次函数 yax 2bxc(a0)与二次方程之间的关系，当 y 为某一确定值 m 时，相应的自变量 x 的值就是方程 ax2bxcm 的根62若抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交点为(x 0，0)，则 x0是方程 ax2bxc0 的根3有下列对应关系：二次函数 y ax2bxc(a0)的图象与 x 轴的位置关系一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况b24ac的值有两个公共点 有两个不相等的实数根 b24ac0只有一个公共点 有两个相等的实数根 b24ac0无公共点 无实数根 b24ac0
