1、正弦、余弦定理及解三角形 2【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【知识网络】应用解三角形正弦定理余弦定理【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定： 的三个内角 、 、 所对应的三边分别为 、 、 .ABCABCabc1边的关系：(1) 两边之和大于 x边： ， ， ；abcbc两边之差小于 x边： ， ， ；a(2) 勾股定理： 中， .ABC2290cC2角的关系：中， , =2（1）互补关系： sin()si()sinABCcoccota()ta()ta（2）互
2、余关系：sinsi()cos22ABCcocintanta()cot22AB3直角三角形中的边与角之间的关系中， （如图），有：RtC90，cCcbBaA1sin,si,sin.co,o0要点二、正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等即：（ 为 的外接圆半径）2sinisinabcRABCABCCRcBbAasin2i2. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：2222cosabAaBcC2222cscsbcaabc要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；每个等式可视为一个方程：知三求一.（2）利用正弦
3、定理可以解决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意边，求其他两边和另一角；已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边.（3）利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知三角形的两条边及夹角，求 x 条边及其他两个角；已知三角形的三条边，求其三个角.(4) 利用余弦定理判断三角形形状：勾股定理是余弦定理的特殊情况， .2290cos0abcC在 中， ，所以ABC22coscbAA为锐角；A若 ， ，同理可得角 、 为锐角.22a2aBC当 ， ， 都成立时， 为锐角三角cbc22baA形在 中，若 ，ABC2222os09caAb所以 为钝角，则 是钝角三角形BC同理：若 ，则 是钝角三角
4、形且 为钝角；22acbB若 ，则 是钝角三角形且 为钝角AC要点三、解斜三角形的类型1.已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解.2.已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在中，已知 和角 时，解的情况如下：ABC,abA(1)若 A为锐角时：sin()bia无 解一 解 直 角二 解 一 锐 ， 一 钝一 解 锐 角如图：(2)若 A为直角或钝角时： ab ()无 解一 解 锐 角3.已知三边，用余弦定理有解时，只有一解.4.已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解.要点诠释：1在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时
5、，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍.2在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变换（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会漏掉一种形状的可能要点四、三角形面积公式1 （ 表示 边上的高）；2aSh2 ；1sinsisin2bCcBbcA3 ；2SRA4 ；ac5. 1()().()2Spbpcabc要点五、实际问题中的常用角1. 仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水
6、平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：2.方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为 0360.如图，点 的方位角是 。B01353. 坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡 面 的 铅 直 高 度 和 水 平 宽 度 的 比 叫 做 坡 度或 者 坡 比 ， 常 用 字 母 i表 示 。 坡 比 是 坡 角 的 正 切 值 。【典型例题】类型一、利用正弦、余弦定理解三角形【高清课堂：正、余弦定理及解三角形 40x23 例 1】例 1. 在 ABC 中， AB2， AC3， ，则 BC( )ABCA. B. C D. 37223【思
7、路点拨】画出示意图，注意向量数量积的夹角是 .B【答案】A【解析】 ， ,1Bcos()1 ，cos2C由余弦定理有 ，23cosCB ，从而 BC .23BC3【总结升华】本题主要考查余弦定理以及三角形中有关的向量和三角函数的应用.举一反三：【变式 1】如图，在ABC 中，D 是边 AC上的点，且AB=AD， ，BC=2BD，则 sinC的值为（ ）23ABA B C D636【答案】D【解析】设 BD=1，则 ，BC=2.2A在ABC 中，解得 ，在ABC 中，由正弦定理 ，得 ，2sin3siniABC6sin故选 D.【变式 2】在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c
8、。若 ，23bc，则 A=（ ）sin3siCBA30 B60 Cx0 D150【答案】A【解析】 ，sin23si23cb，2 223abcabcabc222os 2cAb在 ABC中， A=30.【变式 3】已知ABC 的三边长分别为 AB=7，BC=5，CA=6，则 的值为ABC_【答案】 19【解析】由余弦定理可求得 ，19cos35B .19|()|cos753ABCACB例 2. 在 中，试确定满足下列条件的三角形的形状。ABC（1） ； coscosab（2） ；（3） ，且 .()()3ababsin2icosABC【思路点拨】（1）考虑用正弦定理将边化为角；（2）正弦、余弦定
9、理都可以选用；（3）由 可以先化简，再考虑用余弦定理.()()cc【解析】（1）由 得 ，osabAB2sinsiocRAB整理得： inci即 ，s()0同理可得 ，BC所以 为等边三角形.A（2）方法一：化边为角由正弦定理得： 2siniabRB即 ，2aRA ，cosb insincoB即 s2A 0、 （ ， ）B 或 ，即 或AB2故 为等腰三角形或直角三角形。AC方法二：化角为边由余弦定理得222bcacb整理得： ，222()0abc即 或20故 为等腰三角形或直角三角形。ABC（3） 即()()3abcabc2()3abc22abc , 221os60A又 inicosABC
10、，即s()2sin()0B 即 60故 是正三角形.ABC【总结升华】依据正、余弦定理定理的结构特点，若在式子中出现的为与边相关的一次式，则一般多用正弦定理，如果利用余弦定理，将角的关系转化为边的关系，则需要有较高的恒等变形能力（比如第 2 小题） ；若在式子中出现的为与边相关的二次式，则一般多用余弦定理.举一反三：【变式 1】已知ABC 中,bsinB=csinC,且 ,试判断三角形CBA222sinisin的形状【答案】 为等腰直角三角形ABC【解析】bsinB=csinC,由正弦定理得 sin B=sin C， sinB=sinC B=C2由 得 222sinisin2cba三角形为等腰
11、直角三角形【变式 2】在 中，已知 ，试判断 的形状ABCcoscosbBCABC【答案】 为直角三角形【解析】 由 及余弦定理得coscsbaA22222abcab整理得： 222222()()bcac即 ， ， 4()a即 或 ，22bac2ab 为直角三角形ABC类型二、解三角形及其综合应用例 3. 在 ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 .cos2ACcaBb（1）求 的值；sin（2）若 ，b=2，求ABC 的面积 S.1co4B【思路点拨】（1）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后求得 sinC与 sinA的关系式，则 的值可得；（2）先通过余
12、弦定理可求得 a和 c的关系式，sinCA同时利用（1）中的结论和正弦定理求得 a和 c的另一个关系式，最后联立求得 a和c，利用三角形面积公式即可得面积 S.【解析】（1）由正弦定理，设 ，sinisinbkABC则 ，2si2icakCbB所以 .oinscsA即 ，(2)i(2i)cosAB化简可得 sin（A+B）=2sin（B+C）.又 A+B+C=，所以 sinC=2sinA.因此 .sin2CA（2）由 得 c=2a.is由余弦定理 b2=a2+c22ac cosB及 ，b=2，1cos4B得 ，解得 a=1，从而 c=2.22144a又因为 ，且 0B，所以 .1cos415s
13、in4B因此 .15in224Sa【总结升华】处理三角形中的三角函数求值时，要注意角的范围与三角函数符号之间的联系与影响.本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用，考查学生的基本分析能力及计算能力.举一反三：【变式 1】在 中， 所对的边长分别为 ，设ABCCB、 cba、满足条件 和 ，求 和 的值cba、 22abc31ABtn【解析】由余弦定理 ，因此， 2os60在ABC 中， C=180 A B=x0B.由已知条件，应用正弦定理 BCbcsin)1(si321解得 从而,2otsinsi0co120si B,2cot.21tan【变式 2】 中， ， ，则 的周长为（ ）AC
14、3CAA. B. 43sin()43sin()36BC. D.6iBi【答案】D 【解析】 32sinlabcRBCsin(10)B633(sicosin)2B.36sin()B例 4.设在 ABC中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a，b，c 依次成等比数列，试求：（1）角 B的取值范围；（2）设 tsinBcosB，求 t的取值范围；（3）设 ，求 y的取值范围.Bycosin1【思路点拨】（1）比数列的性质及余弦定理表示出 ，利用基本不等式及 BcosB是三角形内角可得到 B的取值范围；（2）t 显然化为 ，易求；（3）)4in(2t结合（2）可知， ，从而函数 y是关于
15、 t的函数，注意 t的取值范1cosin2围，求得 y的范围.【解析】由题意得 acb2（1）由余弦定理得 ， Bcos22acacosB又 ， ，ca21s注意到 ，30),(B， 故 得即所求 B的取值范围为 .(,（2） )4sin(t ， ，30B1271)4sin(B ，即所求 t的取值范围为 .21t ,(（3）设 tsinBcosB，则 且2,1(t 21cosintB （ ） （ ）1)(2ty2t )1(ty2t ， ， ，t0t 20t即 ，即所求 y的取值范围为 .210y 1,(【总结升华】有关三角形中的三角函数问题，灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化，然
16、后应用三角函数的有关概念及公式进行恒等变换，从而达到解题的目的.举一反三：【变式 1】 ABC中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a,b,c成等比数列，且 求： 2,acb（1） 的大小；A（2） 的值。sinbBc【解析】（1）由 a,b,c成等比数列得 acb2又 ，bca2在ABC 中由余弦定理得 212osbcacbA 3A（2）解法一：运用正弦定理在ABC 中，由正弦定理得 aAbBsini ， acb23A 23sinisin)si(sin2AacbAcBb解法二：运用三角形面积公式在ABC 中由三角面积公式得 BacAbcsin21siBacAbsini ， ，
17、acb23Aiin，Bsini .23siiiAcb【高清课堂：正、余弦定理及解三角形 40x23 例 5】【变式 2】在ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C的对边，且sin()sin(2)sin.aAbcBbC（）求 A的大小；（）求 的最大值.si【答案】（） ，（）123例 5. 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点. 5(3)现位于 A点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于 B点南偏西 60且与 B点相距 海里的 C点的救援船立即前往营救，其20航行速度为 30海里小时，该救援船到达 D点需要多少时间？【思路点拨】在
18、DAB 中，由正弦定理得 ，由此可求得 ；sinsiBABDB然后在 DAB中，由余弦定理可求得 CD；最后根据时间=路程速度，即可求得该救援船到达 D点需要的时间. 准确找出题目中的方向角是解题的关键之处.【解析】由题意知 （海里），5(3)ABDBA=9060=30，DAB=9045=45，ADB=180(45+30)=105 ，在DAB 中，由正弦定理得 ，sinsiDBAB sin5(3)sin45(3)sin4510ico60i60ABD（海里）.53(1)02又 DBC=DBA+ABC=30+(9060)=60， 海里，在DBC 中，由余弦203BC定理得 22 1cos12039
19、CDBDB，CD=30（海里），则需要的时间 （小时）.30t【总结升华】对图形进行有效的分析，便于使用正弦、余弦定理.举一反三：【变式 1】如图,甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向302匀速直线航行,当甲船位于 处时,乙船位于甲船的北偏西 的方向 处,此时两船1A1051B相距 20海里.当甲船航行 20分钟到达 处时,乙船航行到甲船的北偏西 方向的2 20处,此时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里?2B02【解析】如图，连结 ，12AB ， ，210AB1203126A2160BA 是等边三角形， ，54B在 中，由余弦定理得:122 2212112 2cos45
20、0(1)010BAA， 120.因此乙船的速度的大小为 10263答：乙船每小时航行 海里.3【变式 2】如图所示，已知两座灯塔 A和 B与海洋观察站 C的距离都等于 a km，灯塔A在观察站 C的北偏东 20，灯塔 B在观察站 C的南偏东 40，则灯塔 A与灯塔 B的距离为（ ）Aa km B km C km D2a km3a2a【答案】B 【解析】利用余弦定理解ABC. 易知ACB=x0，在ABC 中，由余弦定理得，22 221cos10()3ACBACaa km.3a独立性检验的基本思想及其初步应用【学习目标】1. 了解独立性检验（只要求 22列联表）的基本思想、方法及初步应用2. 通过
21、典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用.【要点梳理】要点一、分类变量有一种变量，这种变量所取不同的“值”表示的是个体所属不同类别，称这种变量为分类变量。要点诠释：（1）对分类变量的理解。这里的“变量”和“值”都应作为广义的“变量”和“值”进行理解。例如：“性别变量”有“男”和“女”两种类别，这里的变量指的是性别，同样这里的“值”指的是“男”和“女”。因此，这里所说的“变量”和“值”取的不一定是具体的数值。（2）分类变量可以有多种类别。例如：吸烟变量有“吸烟”与“不吸烟”两种类别，而国籍变量则有多种类别。要点二、22 列联表1. 列联表用表格列出的分类变量的频数表，
22、叫做列联表。2. 22列联表对于两个事件 A，B，列出两个事件在两种状态下的数据，如下表所示：事件 B 事件 合计事件 A a b a+b事件 c d c+d合计 a+c b +d a+b+c+d这样的表格称为 22列联表。要点三：卡方统计量公式为了研究分类变量 X与 Y的关系，经调查得到一张 22列联表，如下表所示 Y1 Y2 合计X1 a b a+bX2 c d c+d合计 a+c b+d n=a+b+c+d统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计量，它的表达式是：22()(nadbcK（ nabcd为样本容量）。要点四、独立性检验1. 独立性检验通过 22列联表，再通过卡方统计量公式计算
23、2K的值，利用随机变量 2K来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。2. 变量独立性的判断通过对 2K统计量分布的研究，已经得到两个临界值：3.841 和 6.635。当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：如果 23.841时，认为事件 A与 B是无关的。如果 2K3.841 时，有 95%的把握说事件 A与事件 B有关；如果 6.635 时，有 99%的把握说事件 A与事件 B有关；要点诠释：（1）独立性检验一般是指通过计算 2K统计量的大小对两个事件是否有关进行判断；（2）独立性检验的基本思想类似于反证法。即在 H0：事件
24、A与 B无关的统计假设下，利用 2K统计量的大小来决定在多大程度上拒绝原来的统计假设 H0，即拒绝“事件A与 B无关”，从而认为事件 A与 B有关。独立性检验为假设检验的特例。（3）利用独立性检验可以考察两个分类变量是否有关，并且能较精确地给出这种判断的把握程度。3独立性检验的基本步骤及简单应用独立性检验的步骤：要推断“A 与 B是否有关”，可按下面步骤进行：（1）提出统计假设 H0：事件 A与 B无关（相互独立）；（2）抽取样本（样本容量不要太小，每个数据都要大于 5）；（3）列出 22列联表；（4）根据 22列联表，利用公式：22()(nadbcK，计算出2K的值；（5）统计推断：当 23
25、.841 时，有 95的把握说事件 A与 B有关；当 K6.635 时，有 99的把握说事件 A与 B有关；当 210.828 时，有 99.9的把握说事件 A与 B有关；当 3.841时，认为事件 A与 B是无关的要点诠释： 使用 2K统计量作 22列联表的独立性检验时，要求表中的 4个数据都要大于5 一定要弄清 2的表达式22()(nadbc中各个量的含义 独立性检验的基本思想类似于反证法要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量 2K应该很小，如果由观测数据计算得到的 2K的观测值很大，则在一定
26、程度上说明假设不合理根据随机变量 2K的含义，由实际计算的 26.635，说明假设不合理的程度约为 99，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为 99当 23.841时，认为两个分类变量是无关的【典型例题】类型一、利用 22列联表计算卡方例 1为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机地抽取了 50 名学生，得到如下列联表：喜欢数学 不喜欢数学 合计男 13 10 23女 7 20 27合计 20 30 50根据表中的数据，计算 2K【思路点拨】利用 2公式计算【解析】得到250(1307)4.8【思路点拨】在利用 列联表计算 统计量作独立性检验时，要求表中
27、的 4个数据大于等于 5，为此，在选取样本的容量时一定要注意这一点。举一反三：【变式 1】研究两个事件 A，B 之间的关系时，根据数据信息列出如下的 22列联表：B 合计A nx nx n1+n21 n22 n2+合计 n+1 n+2 n则以下 2计算公式正确的是（ ）A22121()nB2212()nC22121()nD2212()n【答案】A【变式 2】由列联表 1y2合计1x43 162 205213 x1 134合计 56 283 339则随机变量 2 。（精确到 0.001）【答案】由 K公式计算得：7.469 类型二、独立性检验例 2 近年来，随着我国经济的飞速发展，在生产车间中，
28、由于保护不当，对生产工人造成伤害的事件也越来越多某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业性皮肤炎（注：检查为阳性则为患皮肤炎），在生产季节开始时，随机抽取 75名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数的结果如下：阳性例数 阴性例数 合计新 5 70 75旧 10 18 28合计 15 88 103问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效？并说明你的理由【思路点拨】 这是一个 2列联表的独立性检验问题，根据列联表的数据求解判断。【解析】 提出假设 H0：新防护服对预防工人患职业性皮肤炎无效将表中数据代入22()(nadbc
29、K，得 213.86K，查表可知：P（ 210.828） 0.001，而 13.82610.828，故有 99.9的把握认为新防护服对预防这种职业性皮肤炎有效【总结升华】 在掌握了独立性检验的基本思想后我们一般通过计算 2K的值，然后比较 2K的值与临界值的大小来精确地给出“两个分类变量”的相关程度举一反三：【变式 1】某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析。其中设备改造前生产的合格品有 36件，不合格品有 49件；设备改造后生产的合格品有 65件，不合格品有 30件。根据上面的数据，你能得出什么结论？【答案】由已知数据得到下表合格品 不合格品 合计
30、设备改造后 65 30 95设备改造前 36 49 85合计 101 79 180根据公式22121()n得 79108593642x.38。由于 x.386.635，可以得出产品是否合格与设备改造是有关的。【变式 2】考察黄烟经过培养液处理与否跟发生青花病的关系。调查了 457株黄烟，得到下表中数据，请根据数据作统计分析。培养液处理 未处理 合计青花病 25 210 235无青花病 80 142 222合计 105 352 457分析：计算 2的值与临界值的大小关系。【答案】根据公式 2 352103584741.61。由于 41.616.635，说明经过培养液处理的黄烟跟发生青花病是有关的
31、。【变式 3】为了研究色盲与性别的关系，调查了 1000人，调查结果如下表所示：根据上述数据试问色盲与性别是否是相互独立的？【答案】由已知条件可得下表男 女正常 442 514色盲 38 6男 女 合计正常 442 514 956色盲 38 6 44合计 480 520 1000依据公式22121()n得 5204895613027.139。由于 27.1396.635，所以有 99%的把握认为色盲与性别是有关的，从而拒绝原假设，可以认为色盲与性别不是相互独立的。【高清课堂：独立性检验的基本思想及其初步应用 406875 例题 1】例 3. 对 196个接受心脏搭桥手术的病人和 196个接受血
32、管清障手术的病人进行 3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计心脏搭桥手术 39 157 196血管清障手术 29 167 196合计 68 324 392试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别【思路点拨】先提出假设，然后根据 2K的大小做出准确估计判断。【解析】 假设病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术没有关系由于a=39，b=157，c=29，d=167，a+b=196，c+d=196，a+c=68，b+d=324，n=392，所以22()(nadbcK39(16759)1.78324。因
33、为 21.7790.455。由下表中数据P（K 2k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828得：P(K 20.455)0.50，从而有 50%的把握认为“成绩与班级有关系”，即断言“成绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为 0.5。【总结升华】（1）画出条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系。这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错。（2）计算得到 K2的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班
34、级有关系”。这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立。在独立性检验中，在假设“成绩优秀与班级没有关系”的情况下，计算得到的 K2的值比较小，且P(K20.653)0.42，说明事件(K 20.653)不是一个小概率事件，这个事件的发生不足以说明“成绩优秀与班级没有关系”，即没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”。这里没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾。举一反三：【变式 1】 在调查的 480名男人中有 38名患有色盲，520 名女人中有 6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性
35、别是否有关你所得到的结论在什么范围内有效？【答案】 根据题目所给的数据作出如下的列联表：色盲 不色盲 合计男 38 442 480女 6 514 520合计 44 956 1000作出相应的二维条形图，如图所示由二维条形图可知在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例 6520大，其差值 3860.8452比较大，因而我们可以认为性别与患色盲是有关的；根据列联表中所给的数据可知：a=38，b=442，c=6，d=514，a+b=480，c+d=520，a+c=44，b+d=956，n=1000，代入公式22()(nadbc得2210(385146)7.129，因为 227.110.828，所
36、以我们有99.9的把握认为性别与患色盲有关系这个结论只对所调查的 480名男人和 520名女人有效【变式 2】 某年高考后，某市教育主管部门对该市一重点中学高考上线情况进行统计，随机抽查 244名学生，得到如下表格：语文 数学 英语 综合科目上线 不上线上线 不上线上线 不上线上线 不上线总分上线 201人174 27 178 23 176 25 175 26总分不上线43人30 13 23 20 24 19 26 17总计 204 40 201 43 200 44 201 43试求各科上线与总分上线之间的关系，并求出哪一科目与总分上线关系最大？【答案】对于上述四个科目，分别构造四个随机变量
37、21K， ， 23， 4，由表中数据可以得到：语文：2214(7130)7.946.3504K，数学：22(8).810.231，英语：2234(76954).5.0K，综合科目：224(16)17.640.82304所以，有 99的把握认为语文上线与总分上线有关系，有 99.9的把握认为数学、英语、综合科目上线与总分上线有关系，数学上线与总分上线关系最大【变式 3】有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于 85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀 非优秀 合计甲班 10乙班 30合计 105已知在全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 .27(1)请
38、完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 x 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到 6或 10 号的概率【答案】(1)优秀 非优秀 合计甲班 10 45 55乙班 20 30 50合计 30 75 105(2)根据列联表中的数据，得到 22105(3045)6.1093.847K，因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系” (3)设“抽到 6 或 10 号”为事件 A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(
39、x， y)所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(6,6)，共 36 个事件 A 包含的基本事件有：(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)、(4,6)、(5,5)、(6,4)，共 8 个，P(A) 36 29.直线、平面垂直的判定和性质 1【考纲要求】1、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理； 2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。【知识网络】【考点梳理】考点一、直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 与平面 垂直；l l2、判定定理：（1）内容：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；（2）符合语言：labl直线、平面垂直判定定理性质定理线面垂直面面垂直判定定理性质定理
