1、华中师大一附中 20182019 学年度上学期期中检测高二年级数学理科试题时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1 抛物线 的焦点 坐标为2yxA. B. C. D.(,0)1(,0)1(0,)41(0,)82.设 满足约束条件 ，则 的最大值为,xy231xy3zxyA.4 B.5 C.6 D.73.点 M 的直角坐标为 ，则点 M 的一个极坐标为(2,3)A. B. C. D.(4,)64,7(4,)64(,)34.已知圆 与圆 相交于 A、B 两点，则21: 0Cxy2
2、:10Cxyy线段 AB 的垂直平分线的方程为来源:学。科。网A. B. C. 错误！未找到引用源。 D.30xy30xy340xy错误！未找到引用源。795.椭圆 与椭圆 的2:15xy22:1(9)59ykkA.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等6.过 的直线 l 与圆 相错误！未找到引用源。交于 A，B 两点，(2,)P220xy且 错误！未找到引用源。 ，则直线 l 的方程为|3ABA. B. 或420xy 4320xyxC. 或 D. 或3y7.已知方程 的曲线为 C，下面四个命题中正确的个数是214xt当 时，曲线 C 不一定是椭圆；14t当 时，曲线 C 一
3、定是双曲线；或若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则 ；512t若曲线 C 是焦点在 y 轴上的双曲线，则 .4A.1 B.2 C.3 D.48.已知直线 与圆 相切，则圆 M 和圆 N:(x1) 2+(y1)340xy20()Mxyax：2=1 的位置关系是A.相离 B.外切 C.相交 D.内切9.数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称来源:学在圆 C 上，是否存在点 M(m，n)，使得直线 l 的方程为 mx+ny=1，且此时OAB 的面积恰好取到中的最大值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分 12 分)
4、已知椭圆 的离心率为 ，过其右焦点 F 且与 x2:1(0)xyCab12轴垂直的直线交椭圆 C于 P，Q 两点，椭圆 C 的右顶点为 R，且满足 .2PRQ(1)求椭圆 C 的方程；(2)若斜率为 k(其中 )的直线 l 过点 F，且与椭圆交于点 A，B，弦 AB 的中点为 M，直线0OM 与椭圆交于点 C，D，求四边形 ACBD 面积 的取值范围 .SyxCOAFBDM22.(本小题满分 10 分)已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线 l 的极坐标方程为 .曲线3()R( 为参数，且 ).2cos:inxCy0,2)(1)试写
5、出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的极坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 的值.|AB华中师大一附中 20182019 学年度上学期高二期中检测数学试题(理科) 参考答案与评分标准一、 选择题:DBDA CBDC ABBA二、填空题13.5 14. 15. 16.260xy34512三、解答题来源:学&科&网 Z&X&X&K17.(1)由已知，得 x，y 满足的关系为 ，210539,Nxy即 ，2503,Nxy该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分中的整点所示6 分(2)设该厂所得利润为 z 百元，则目标函数为 ，32zxy将 变形为 ，其图象是是斜
6、率为 ， 在 y 轴上截距为 的32zxy32zx2z直线 .由图可知，当直线 经过可行域上的点 M 时，截距 最大.llz解方程组 ，得 ， ，点 M 的坐标为(200 ，100).2503xy20x1y所以 max18z故该厂编成 200 个花篮，100 个花盆时，所获得的利润最大，最大利润为 8 万元 12 分18.(1)由题意，可设所求双曲线的方程为 (*)243xy当 ，(*)即为 ，满足 ，得02143xy26()94双曲线方程为24197xy当 时，(*)即为 ，满足 ，得023x263()3双曲线方程为219y因而双曲线的标准方程为 或 6 分2417xy219x(2)设 P(
7、x0，y 0) ，满足22043则 来源:学_科_网22 2 2000 0077167|4()(1)813()44xAyxxx当 时， 有最小值，为 .12 分0167x|P3719.(1)设直线 ，A(x 1，y 1)，B( x2，y 2):Bxmyn由 消去 得，2yxn2012mn121214OABykxy则 ，那么128yn即 ，即 AB 过定点 (4，0).6 分:4ABxm(2)由(1)中知以 为直径端点的圆的方程为：12(,)(,)yBx212() 0xy设 ，则 是方程,0(,)EFx,EFx1212()(0)0xy即 的两 个实根212120y故有21216484EFx所以
8、.12 分|8EFOx20.(1)设圆心是(x 0，0)( )，它到直线 的距离是 ，320xy2d解得 或 (舍去)，所以所求圆 C 的方程是 4 分02x062()4xy(2)设圆心 O 到直线 的距离为 ，来源:学.科.网 Z.X.X.KABh则OAB 的面积2214|4()2hSh当且仅当 时等号成立，故OAB 的最大面积为 2.8 分2h(3)存在 .理由如下：因为点 M(m，n)在圆 C 上，所以 ，2()4mn且 .2224()4nm04又因为原点到直线 的距离 ，解得 ，:1lxny2124hn146由(2)中知当 时， CAB 取最大面积 2.2h此时 即 ，点 M 的坐标是
9、 12 分14m1813(,)821.(1)由 得 ， ，12ceac|2|PNF即 |PF解得 ，1c223bac则椭圆 4 分:4xyC(2)设直线 ，:(1)lk设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D (x4，y 4)，M (x0，y 0)，不妨令 ，则 ，且3044由 ，得 ，21243xy2211043xy故 ，设直线 OM 的斜率为 t，则 ，则012123344xyxkxyy0yx34tk由 ，得 ，243ytx32 221434()kxt 2344Cyxkk6 分故点 到直线 的距离之和为,CDAB33442|(1)|(1)|CDkxykxyd8 分3344322|(1)(1)|1-=kxykxyk 28641k由 ，得 ，243(1)ykx22(4)8410kxk从而 ， ，21281223于是222212118411|()434kkkxxx因此2212()|3ABkk四边形 ABCD 的面积 S |()CDABd 10 分22221()861134434(3)1kkkk故 S .12 分622.(1)直线 ，曲线 C 的直角坐标方程为:3lyx22()xy将 代入上式得 ，cosinx24sin0即为曲线 C 的极坐标方程.5 分(2)将 代入曲线 C 的极坐标方程，得3230，则 10 分21211|()48|AB
