1、陕西省汉中中学 2019 届高三上学期第二次月考数学（理）试卷1答题前，考生在答题纸上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目；2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效第卷（选择题 共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合 ，若 ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式解法，求得集合 A，利用
2、几何的包含关系即可求得 a 的取值范围。【详解】解集合 A 得因为 ，且所以所以选 C【点睛】本题考查了集合的基本关系，注意判断包含关系时边界的选取问题，属于基础题。2.下列说法正确的是( )A. 命题 ：“ ”，则 是真命题B. “ ”是“ ”的必要不充分条件C. 命题“ ,使得 ”的否定是：“ ”D. “ ”是“ 在 上为增函数”的充要条件【答案】D【解析】【分析】根据命题与否命题的真假关系可判断 A 是错误的；根据充分必要条件关系可以判断 B 是错误的；由含有量词的否定可判断 C 是错误的；根据充分必要条件关系可以判断 D 是正确的。【详解】对于 A，因为 ：“ ”为真命题，所以 是假命
3、题，所以 A 错误对于 B，若“ ”则“ ”，所以是充分调价，而若“ ”则“”不成立，所以是充分不必要条件，所以 B 错误对于 C，命题“ ,使得 ”的否定是“ ”，所以 C 错误对于 D 是正确的所以选 D【点睛】本题考查了命题的真假的判断，充分必要条件的应用，含有量词的否定形式，属于基础题。3.若向量 与向量 共线，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量共线时坐标关系即可求得 k 的值。【详解】由向量共线坐标表示可得解得 所以选 B【点睛】本题考查了利用向量平行的坐标关系求参数取值，属于基础题。4.已知函数 （ 为常数）为奇函数，那么 （ ）A. B. C.
4、D. 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数定义 ，代入即可求得 的值。【详解】因为函数 （ 为常数）为奇函数所以 ，代入所以选 A【点睛】本题考查了奇函数的应用及三角函数的求值，属于基础题。5.如图，点 为单位圆上一点， ，已知点 沿单位圆按逆时针方向旋转 到点 ，则 的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得 cos（ + ）和 sin（ + ）的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得 sin2 的值【详解】由题意可得，cos（ + ）= ，sin（ + ）= ， （0， ）cos（ +2 ）=2 1=2 1= ，即sin2 = ，sin2
5、 = ，故选： 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题6.已知向量 满足 ，则向量 夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量模的等量关系，可求得 ；由向量的数量积及夹角运算，求得余弦值。【详解】由 ，两边平方可得因为 ，即所以设向量 夹角为 则 所以选 A【点睛】本题考查了向量模的应用，应用向量的数量积求夹角，属于中档题。7.若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，函数 在区间 单调递增， 在区间 上恒成立 ，而 在区间 上单调递减， 的
6、取值范围是 故选：D 考点：利用导数研究函数的单调性.视频8.在ABC 中， ，P 是 BN 上的一点，若 ，则实数 m 的值为A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】分析：根据向量的加减运算法则，通过 ，把 用 和 表示出来，可得 的值详解： 如图： ， ，则 又 三点共线， 故得 故选 C.点睛：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用9.将函数 的图像向右平移 （ ）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，所得图像关于直线 对称，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角函
7、数的平移和伸缩变换，求得变换后的解析式；根据对称轴代入即可求得 的表达式，进而求得 的最小值。【详解】将函数 的图像向右平移 （ ）个单位长度，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的 倍后解析式变为因为图像关于直线 对称所以代入 化简得 ，kZ所以当 k=0 时， 取得最小值为所以选 D【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，三角函数对称轴的应用，属于中档题。10.已知函数 在区间 内单调递增，且 ，若 ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由偶函数 f（x）在（，0上单调递增，可得 f（x）在（0，+）上单调递减，比较三个自变量的大小，可得答案【详解】因为
8、 且 所以.又 在区间 内单调递增，且 为偶函数，所以 在区间内单调递减，所以 所以故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性.根据题意，函数 为偶函数，所以图像关于 轴对称，且在 轴左右两侧单调性相反，即左增右减，距离对称轴越远，函数值就越小，所以原不等式比较两个函数值的大小，转化为比较两个自变量的绝对值的大小，绝对值大的，距离 轴远，函数值就小.如果函数为奇函数，则左右两边单调性相同.11.已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点为，则 （ ）A. 10 B. 20 C. D. 【答案】D【解析】令 ，函数 与 图像的交点的横坐标即为方程的根，由于 ，即 关于原点对称.所以 .所以
9、 .故选 D.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数) ；（2）和差法， （和为零奇函数，差为零偶函数） ；（3）作商法， （ 为偶函数， 为奇函数）12.设函数的定义域为 D，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 ，则称 为“倍缩函数”.若函数 为“倍缩函数” ，则实数 t 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据定义及函数单调性，分析可得关于 x 的方程，判断出方程有两个不等的实数根；构造函数 ，通过
10、求导求得极值点，代入后求得 t 的最大值。【详解】因为函数 为“倍缩函数” ，且为递增函数所以存在 ，使 在 上的值域为则 ，由此可知等价于 有两个不等实数根令则 ，令解得代入方程得解得 ，因为有两个不等的实数根所以 t 的取值范围为所以选 B【点睛】本题考查了函数新定义的理解，函数单调性、函数与方程关系的应用，导数在求最值中的用法，属于难题。第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸的相应位置上）13. _【答案】【解析】【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来
11、即可。【详解】由定积分的几何意义可知 表示的为单位圆在第一象限内的面积，即由微积分基本定理可知 所以【点睛】本题考查了定积分的求法，定积分几何意义与微积分基本定理的应用，属于基础题。14.函数 （其中 ， ， ）的图象如图所示，则函数 的解析式为_【答案】【解析】如图可知函数的最大值和最小值为，当 时， 代入， ，当 时， 代入， ，解得则函数的解析式为15.如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降 1米后，水面宽为_米【答案】 【解析】试题分析：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为 ，将 A（2，-2）代入 ，得 m=-2， ，代入 B 得 ，故水面宽为
12、 m考点：抛物线的应用视频16.设函数 .若 ，则 的最大值为_；若 无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】（1） 时，讨论 的图象与性质，求出 的最大值；（2）利用导数研究 的单调性，求 无最大值时的取值范围【详解】如图，作出函数 与直线 的图象，它们的交点是，由 ，知 是函数 的极小值点，当 时， ，由图象可知 的最大值是 ；由图象知当 时， 有最大值 ；只有当 时， ， 无最大值，所以所求的取值范围是 【点睛】本题考查了分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过
13、程或演算步骤.17.已知函数 的最小正周期为 ，（1 ）求 的值；（2 ）求函数 在区间 上的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】（1 ）因= ，因 ；（2 ）对于 因 ，因此视频18.在 中，角 对应的边分别是 ，已知 （1 ）求角 的大小；（2 ）若 的面积 ，求 的值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）由 ,结合诱导公式和倍角公式可得到 ，进而求得 的大小；（2 ）由 结合（1）可求得 ， ，再由余弦定理求出 ，最后根据正弦定理求出 的值试题解析：（1）由 ，得，即 解得 或 （舍去） 因为 ，所以 （2 ）由 ，得 又 ，所以 由余弦定理，得 ，故 又由正弦定理，得
14、 考点：1、诱导公式及余弦二倍角公式； 2、正弦定理及三角形面积公式19.一缉私艇发现在北偏东 方向，距离 12 nmile 的海面上有一走私船正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 方向逃窜. 缉私艇的速度为 14 nmile/h， 若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东 的方向去追，求追及所需的时间和 角的正弦值.【答案】需时间 2 小时, 且 .【解析】设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 小时后在 B 处追上, 则有然后再利用余弦定理得 ，再解关于 x 的方程可确定 AB，BC 的值，再在三角形 ABC 中利用正弦定理可求出 .设 A,C 分别表示缉私艇,走私
15、船的位置,设经过 小时后在 B 处追上, 则有所以所需时间 2 小时,20.已知函数 (其中 )， 且曲线 在点 处的切线垂直于直线.（）求 a 的值及此时的切线方程；（）求函数 的单调区间与极值【答案】 （1） ； （2）减区间为 ，增区间为 ；极小值为 ，无极大值【解析】【分析】（）先求导函数，根据切线与直线 垂直可得切线的斜率为 k=-2.由导函数的意义代入即可求得 a 的值；代入函数后可求得 ，进而利用点斜式可求得切线方程。（）将 a 代入导函数中，令 ，结合定义域求得 x 的值；列出表格，根据表格即可判断单调区间和极值。【详解】 （）由于 ，所以 ， 由于 在点 处的切线垂直于直线
16、，则 ，解得 . 此时 ，切点为 ，所以切线方程为 . （）由（）知 ，则 ,令 ，解得 或 （舍） ，则 的变化情况如下表，50递减 极小值 递增所以函数 的减区间为 ，增区间为 .函数 的极小值为 ，无极大值.【点睛】本题考查了函数图像上点切线方程的求法，利用导函数研究函数的单调性与极值，属于基础题。21.已知函数 （）当 时，求函数 的零点；（）若函数 对任意实数 都有 成立，求函数 的解析式；（）若函数 在区间 上的最小值为 ，求实数的值【答案】 （1） ； （2） 或 .【解析】【分析】（）代入 a 的值，令 即可求得函数的零点。（）根据 可知函数的对称轴为 ，进而求得 a 的值，即
17、可得到解析式。（）讨论对称轴 与区间 的位置关系，结合单调性和最小值，即可求得 a 的值。【详解】 （）当 时， ，由 可得 或 ，所以函数 的零点为 1 和 3 （）由于 对任意实数 恒成立，所以函数 图像的对称轴为 ，即 ，解得 故函数的解析式为 （）由题意得函数 图像的对称轴为 当 ，即 时， 在 上单调递减，所以 ，解得 符合题意 当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，解得 ，与 矛盾，舍去 当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，解得 符合题意所以 或 【点睛】本题考查了二次函数的对称性和单调性，对“轴动域定”型二次函数讨论其单调性与最值，属于中档题。22.已知函数
18、 ， .（）函数 的图象与 的图象无公共点，求实数的取值范围；（）是否存在实数 ，使得对任意的 ，都有函数 的图象在 的图象的下方？若存在，请求出整数 的最大值；若不存在，请说理由.（参考数据： ， , ）.【答案】 （） ， （）1【解析】试题分析：（）函数图象无公共点，可以转化为方程 无实根，此方程可用分离参数法化为 无实根，从而只要求出函数 的值域即可，这可导数的知识求得；（）同样问题转化为“不等式 对 恒成立” ，即 对恒成立，因此问题转化为求函数 的最小值试题解析：（）函数 与 无公共点，等价于方程 在 无解令 ，则 令 得 0 增 极大值 减因为 是唯一的极大值点，故故要使方程 在
19、 无解，当且仅当 ，故实数的取值范围为（）假设存在实数 满足题意，则不等式 对 恒成立.即 对 恒成立.令 ，则 ，令 ，则 ， 在 上单调递增， ， ，且 的图象在 上连续，存在 ，使得 ，即 ，则 ， 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，则 取到最小值 ， ，即 在区间 内单调递增.，存在实数 满足题意，且最大整数 的值为 .考点：转化与化归思想导数的综合应用【名师点睛】命题“对任意的 ，都有函数 的图象在 的图象的下方”等价于不等式“ 不等式 对 恒成立”，从而转化为“ 对恒成立”，最终转化为“求函数 的最小值”容易出错的地方是误认为函数 的最大值小于或等于函数 的最小值，解题时要注意
