1、2.3 函数的奇偶性与周期性最新考纲 考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x) f(x )，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)
2、 f(x )，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T)f( x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期知识拓展1函数奇偶性常用结论(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶
3、偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa) f(x)，则 T2a(a0)(2)若 f(xa) ，则 T2a(a0)1fx(3)若 f(xa) ，则 T2a(a0)1fx题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(2)若函数 yf(x a)是偶函数，则函数 yf (x)关于直线 xa 对称( )(3)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数( )(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )(5)若
4、 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期 ( )题组二 教材改编2P39A 组 T6已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x )x(1x) ，则f(1)_.答案 2解析 f(1)122，又 f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3P45B 组 T4设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x 1,1)时，f(x) Error!则 f_.(32)答案 1解析 f f 4 221.(32) ( 12) ( 12)4P39A 组 T6设奇函数 f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5 时，f(x) 的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的解集
5、为_答案 (2,0) (2,5解析 由图象可知，当 0x2 时，f (x)0；当 2x5 时，f (x)0，又 f(x)是奇函数，当2x0 时，f( x)0，当5x0.综上，f(x) 0 的解集为(2,0)(2,5题组三 易错自纠5已知 f(x)ax 2bx 是定义在 a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是( )A B. C D.13 13 12 12答案 B解析 依题意得 f(x )f(x )，b0，又 a12a，a ，ab ，故选 B.13 136偶函数 yf( x)的图象关于直线 x2 对称，f (3)3，则 f(1)_.答案 3解析 f(x) 为偶函数，f(1)f(1)又 f(x)的
6、图象关于直线 x2 对称，f(1)f(3)f(1)3.题型一 判断函数的奇偶性典例判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ；3 x2 x2 3(2)f(x) ；lg1 x2|x 2| 2(3)f(x)Error!解 (1)由Error!得 x23，解得 x ，3即函数 f(x)的定义域为 ， ，3 3f(x) 0.3 x2 x2 3f(x )f(x )且 f(x) f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由Error!得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2| 2x，f (x) .lg1 x2 x又f(x) f(x)，lg1 x2x lg1 x2x函数 f(x)为奇函
7、数(3)显然函数 f(x)的定义域为( ，0)(0，) ，关于原点对称当 x0 时，x0，则 f(x )(x) 2x x 2xf (x)；当 x0 时，x 0，则 f(x )(x) 2x x 2xf (x)；综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(x )f (x)，函数 f(x)为奇函数思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)f( x)0(奇函数) 或 f(x)f(x )0(偶函数)是否成立
8、跟踪训练 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )Ayxsin2x Byx 2cosxCy 2x Dyx 2sin x12x答案 D解析 对于 A，f(x)x sin2(x)(x sin2x)f(x )，为奇函数；对于 B，f(x)(x) 2cos(x) x 2cos xf (x)，为偶函数；对于 C，f(x)2 x 2 x f (x)，为偶函数；12 x 12x对于 D，yx 2sinx 既不是偶函数也不是奇函数(2)函数 f(x)lg|sinx |是( )A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 2 的奇函数C最小正周期为 的偶函数D最小正周期为 2 的偶函数答案 C解析 易
9、知 函 数 的 定 义 域 为 x|x k， k Z， 关 于 原 点 对 称 ， 又 f( x) lg|sin( x)| lg| sin x| lg|sin x| f(x)， 所 以 f(x)是 偶 函 数 ， 又 函 数 y |sin x|的 最 小 正 周 期 为 ， 所 以 函 数 f(x) lg|sin x|是 最 小 正 周 期 为 的 偶 函 数 题型二 函数的周期性及其应用1若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0,2 上的解析式为 f(x)Error!则 f f(294)_.(416)答案 516解析 由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数，所以 f f f
10、f(294) (416) (24 34) (24 76)f f f f( 34) ( 76) (34) (76) sin .316 6 5162(2017山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x 4)f(x2)若当 x 3,0时，f(x)6 x ，则 f(919)_.答案 6解析 f(x4)f(x 2)，f(x2)4) f(x2) 2)，即 f(x6) f (x)，f(x)是周期为 6 的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(1)f(1)6，即 f(919)6.3定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6) f (x)，当3x
11、 21，f(3)2，xf(x )0 时，f(x) 1，则当 x0 时，f(x) 1，x当 x0，f(x )f (x)( 1) ， x即当 x0，所以 f(x) (x) 22(x)x 22x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x )f(x)于是 x0，f(x2) ，对任意 xR 恒成立，则 f(2019)等1fx于_答案 1解析 因为 f(x)0，f(x 2) ，1fx所以 f(x4)f(x2) 2 f(x) ，1fx 2 11fx即函数 f(x)的周期是 4，所以 f(2019)f(505 41)f(1)因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(2019)f( 1)f(1)当 x1 时，f( 12)
12、 ，得 f(1) .1f 1 1f1由 f(x)0，得 f(1)1，所以 f(2019)f(1)1.14设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1) f (x1)，已知当x0,1时，f( x)2 x，则有2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2) 上是减函数，在(2,3) 上是增函数；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是_答案 解析 在 f(x 1)f(x 1)中，令 x1t ，则有 f(t2) f( t)，因此 2 是函数 f(x)的周期，故正确；当 x0,1时，f(x)2 x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x
13、)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数 f(x)在(1,2) 上是减函数，在(2,3)上是增函数，故正确；由知，f(x) 在0,2上的最大值 f(x)maxf (1)2，f(x)的最小值 f(x)minf(0)f(2)2 01 且f(x)是周期为 2 的周期函数，f(x)的最大值是 2，最小值是 1，故错误15(2017东北四市联考)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0x 2 时，f(x)x 3x，则函数 yf( x)的图象在区间 0,6上与 x 轴的交点个数为_答案 7解析 因为当 0x2 时，f (x)x 3x .又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)0，则 f(6)f(4)f(2) f(0)0.又 f(1)0，f(3)f(5)f(1) 0，故函数 yf(x) 的图象在区间0,6 上与 x 轴的交点有 7 个16已知函数 f(x)2|x 2|ax(xR )有最小值(1)求实数 a 的取值范围；(2)设 g(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0，则x 0.g(x)g(x )(a2)x 4，g(x)Error!
