1、专题对点练 7 导数与不等式及参数范围1.已知函数 f(x)= x2+(1-a)x-aln x.(1)讨论 f(x)的单调性 ;(2)设 a0,此时 f(x)在 (0,+)内单调递增;若 a0,则由 f(x)=0 得 x=a,当 0a 时,f(x) 0,此时 f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+) 内单调递增.(2)不妨设 x1x 2,而 a0;2 2当 x(-1+ ,+)时,f( x)0),因此 h(x)在0,+)内单调递减,而 h(0)=1,故 h(x)1,所以 f(x)=(x+1)h(x)x+ 1ax+ 1.当 00(x0),所以 g(x)在0,+)内单调递增,而 g(0)=0,故
2、 exx+1.当 0(1-x)(1+x )2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取 x0= ,则 x0(0,1),(1 -x0)5-4-12(1+x0)2-ax0-1=0,故 f(x0)ax0+1.当 a0 时,取 x0= ,则 x0(0,1),f(x 0)(1-x0)(1+x0)2=1ax 0+1.5-12综上,a 的取值范围是1,+).3.解 (1)因为 f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex.所以 f(2)=(2a-1)e2.由题设知 f(2)=0,即 (2a-1)e 2=0,解得 a=.(2)(方法一 )由(
3、1) 得 f(x)=ax2-(a+1)x+1ex=(ax-1)(x-1)ex.若 a1,则当 x 时,f(x)0.所以 f(x)在 x=1 处取得极小值.若 a1,则当 x(0,1)时,ax-1x-10.所以 1 不是 f(x)的极小值点.综上可知,a 的取值范围是(1,+ ).(方法二) 由(1)得 f(x)=(ax-1)(x-1)ex.当 a=0 时,令 f(x)=0,得 x=1.f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:x (-,1) 1 (1,+)f(x) + 0 -f(x) 极大值 f(x)在 x=1 处取得极大值,不合题意.当 a0 时,令 f(x)=0,得 x1=,x2=1. 当 x1=x2,即 a=1 时,f(x)=(x-1)2ex0, f(x)在 R 上单调递增, f(x)无极值,不合题意. 当 x1x2,即 01 时,f(x ),f(x)随 x 的变化情况如下表:x ( -,1) 1 (1,1) 1 (1,+)f(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值 极小值 f(x)在 x=1 处取得极小值,即 a1 满足题意.当 a0,故 f(x)在(0, +)单调递增.若 a0;(0,- 12)当 x 时,f (x) 0;当 x(1, +)时,g(x )0 时,g( x)0.从而当 a0 时,ln +10,(- 12)+12即 f(x)- -2.34
