1、23 2 1321 nnn第 四 讲 有 理 数 相 关 规 律 探 究一 、 典 例 解 析【 例 1】 意 大 利 著 名 数 学 家 斐 波 那 契 在 研 究 兔 子 繁 殖 问 题 时 ， 发 现 有 这 样 一 组数 :1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， ， 请 根 据 这 组 数 的 规 律 写 出 第 10 个 数 是 （ ）A.55 B.68 C.64 D.50【 例 2】 小 华 利 用 计 算 机 设 计 了 一 个 计 算 程 序 ， 输 入 和 输 出 的 数 据 如 下 表 :那么 当 输 入 数 据 是 10 时 ， 输 出 的 数 据 是 _.输 入 1
2、 2 3 4 5 输 出 58 1015 1017 2635 【 例 3】 大 于 1 的 正 整 数 m 的 三 次 幂 可 “ 分 裂 ” 成 若 干 个 连 续 奇 数 的 和 ，如 23 3 5， 33 7 9 11， 43 13 15 17 19， 若 m3 分 裂 后 ， 其 中 有 （ ）个 奇 数A.43 B.44 C.45 D.46【 例 4】 一 个 正 整 数 数 表 如 下 （ 表 中 下 一 行 中 数 的 个 数 比 上 一 行 中 数 的 个 数 多一 个 ， 符 号 正 负 相 间 ） :（ 1） 第 6行 中 的 最 后 一 个 数 为 ;（ 2） 第 20行
3、 的 所 有 数 的 和 为 ;（ 3） 第 4m(m 为 自 然 数 ） 行 中 的 最 后 一 个 数 为 .参 考 公 式 (n为 自 然 数 ）第 一 行 1第 二 行 -2,3第 三 行 -4,5,-62aa11 261,151,101,31,21 311 a【 练 1】 a是 不 为 1的 有 理 数 ， 我 们 把 称 为 a的 差 倒 数 ， 已 知 ,是 1a 的 差 倒 数 ， 3a 是 2a 的 差 倒 数 .以 此 类 推 ， 2014a 的 差 倒 数 2015a _.【 练 2】 按 一 定 规 律 排 列 的 一 列 数 ： 按 此 规 律 排 列 下去 ， 这
4、列 数 中 第 7个 数 是 _.【 例 5】 古 希 腊 著 名 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 把 1， 3， 6， 10 这 样 的 数 称 为 “ 三角 形 数 ” ， 而 把 1， 4， 9， 16 这 样 的 数 称 为 “ 正 方 数 ” 从 图 中 可 以 发 现 ，任 何 一 个 大 于 1 的 “ 正 方 形 数 ” 都 可 以 看 作 两 个 相 邻 “ 三 角 形 数 ” 之 和 下 列等 式 中 ， 符 合 这 一 规 律 的 是 （ ）A.13 3 10 B.25 9 16 C.36 15 21 D.49 18 31【 练 3】 观 察 下 图 给 出 的 四 个
5、点 阵 ， s 表 示 每 个 点 阵 中 的 点 的 个 数 ， 按 照 图 形中 的 点 的 个 数 变 化 规 律 ， 猜 想 第 n个 点 阵 中 的 点 的 个 数 s 为 （ ）A.3n 2 B.3n 1 C.4n 1 D.4n 3【 练 4】 下 列 图 案 由 边 长 相 等 的 黑 、 白 两 色 正 方 形 按 一 定 的 规 律 拼 接 而 成 ， 依此 规 律 ， 第 10个 图 形 中 白 色 正 方 形 的 个 数 为 （ ） .A.20 B.30 C.32 D.34【 练 5】 观 察 下 列 一 组 图 形 中 点 的 个 数 ， 其 中 第 1 个 图 中 共
6、 有 4 个 点 ， 第 2个 图 中 共 有 10 个 点 ， 第 3 个 图 中 共 有 19 个 点 ， ， 按 此 规 律 第 5 个 图中 共 有 点 的 个 数 是 （ ）A.31 B.46 C.51 D.6【 例 6】 16计 数 制 中 ， 采 用 数 字 0 9 和 字 母 A F 共 16 个 计 数 符 号 ， 这些 符 号 与 十 制 数 对 应 关 系 如 下 表 :0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例 如 ， 用 表 示 :C+F=1B， 19 F=A， 1
7、8 4=6， 则 A B=（ ）【 例 7】 16计 数 制 ， 采 用 数 字 0 9 和 字 母 A F 共 16 个 计 数 符 号 ， 这 些计 数 符 号 与 十 制 数 之 间 对 应 关 系 如 下 表 :0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15例 如 :十 制 中 42=16 2+10， 可 用 表 示 为 2A； 在 中 ， C+D=19 等 由 上 可 知 ， 在 中 ，2 9= _【 练 6】 将 信 息 转 换 成 二 数 行 处 理 ， 二 即 “ 21” ， 如
8、（ 101） 2表 示 二 数 ， 将 它转 换 成 十 形 式 :1 22+0 21+1 20=5， 那 么 将 二 数 （ 1101） 2 转 换 成 十 数 （ ）A.13 B.12 C.11 D.9【 练 7】 在 计 数 中 ， 通 常 我 们 使 用 “ 十 ” ， 即 “ 十 ” ， 而 计 数 方 法 很 多 ， 如 60:60秒 化 为 1 分 ， 60 分 化 为 1 小 时 ； 24 位 :24 小 时 化 为 1 天 ； 7 天 化 为 1周 等 ，而 二 处 理 数 据 依 据 已 知 二 位 与 十 位 比 较 如 下 表 :十 0 1 2 3 4 5 6 二 0
9、1 10 11 100 101 110 请 将 二 数 2101001 写 成 十 数 为 _。【 例 8】 某 出 租 车 司 机 小 李 某 天 下 午 营 运 全 是 在 东 西 走 向 的 雄 楚 大 道 上 进 行的 ， 如 果 规 定 向 东 为 正 ， 向 西 为 负 ， 他 这 天 下 午 行 车 里 程 （ 单 位 :千 米 ） 如 下 所示 : 15、 2、 3、 1、 10、 3、 2、 12、 4、 7、 6（ 1） 将 最 后 一 名 乘 客 送 到 目 的 地 时 ， 小 李 距 下 午 出 车 时 的 出 发 点 多 远 ？（ 2） 若 汽 车 耗 油 量 为 0
10、.09 升 /千 米 ， 这 天 下 午 小 李 共 耗 油 多 少 升 ？【 例 9】 小 虫 从 某 点 出 发 在 一 直 线 上 来 回 爬 行 ， 假 定 向 右 爬 行 的 路 程 记 为 正 数 ，向 左 爬 行 的 路 程 记 为 负 数 ， 爬 过 的 各 路 程 依 次 为 （ 单 位 :厘 米 ） : 5， 3， 10， 8， 6， 12， 10.（ 1） 小 虫 最 后 是 否 回 到 出 发 点 0？ 如 果 没 有 ， 在 出 发 点 0 的 什 么 地 方 ？（ 2） 小 虫 一 共 爬 行 了 多 少 厘 米 ？（ 3） 小 虫 在 爬 行 过 程 中 ， 如
11、果 连 续 爬 完 1 厘 米 奖 励 1 粒 芝 麻 ， 连 续 爬 完2 厘 米 奖 励 2 粒 芝 麻 ， 连 续 爬 完 3 厘 米 奖 励 4 粒 芝 麻 ， 连 续 爬 完 4 厘 米 奖励 8 粒 芝 麻 依 此 类 推 ， 小 虫 在 这 次 爬 行 结 束 后 得 到 芝 麻 _粒 .【 例 10】 “ 十 一 ” 黄 金 周 期 间 ， 某 风 景 区 在 7 天 假 期 中 每 天 旅 游 人 数 变 化如 下 表 （ 正 号 表 示 人 数 比 前 一 天 多 ， 负 号 表 示 比 前 一 天 少 ）日 期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日人 数
12、 变 化 1.8 0.6 0.8 0.7 1.3 0.5 2.4（ 1） 若 9 月 30 日 的 旅 客 人 数 为 4.2 万 人 ， 则 10 月 4 日 的 旅 客 人 数为 _万 人 ；（ 2） 七 天 中 旅 客 人 数 最 多 的 一 天 比 最 少 的 一 天 多 _万 人 ；（ 3） 如 果 每 万 人 带 来 的 经 济 收 入 约 为 100 万 元 ， 则 黄 金 周 七 天 的 旅 游 总收 入 约 为 多 少 万 元 ？【 练 8】 某 食 品 厂 从 生 产 的 袋 装 食 品 中 抽 取 20 袋 ， 检 测 每 袋 的 质 量 是 否 符合 标 准 ， 超 过
13、 或 不 足 的 部 分 分 别 用 正 、 负 数 来 表 示 ， 记 录 如 下 表 :与 标 准 质 量 的 差 值 （ 单 位 :克 ） 5 20 0 1 3 6袋 数 1 4 3 4 5 3（ 1） 这 批 样 品 的 质 量 比 标 准 质 量 多 还 是 少 ？ 多 或 少 几 克 ？（ 2） 若 每 袋 标 准 质 量 为 450 克 ， 则 抽 样 检 测 的 总 质 量 是 多 少 ？【 练 9】 某 自 行 车 厂 计 划 一 周 生 产 自 行 车 1400 辆 ， 平 均 每 天 生 产 200辆 ，但 由 于 种 种 原 因 ， 实 际 每 天 生 产 量 与 计
14、划 量 相 比 有 出 入 ， 下 表 是 某 周 的 生 产 情况 ， （ 超 产 记 为 正 ， 减 产 记 为 负 ） :星 期 一 二 三 四 五 六 日增 减 +5 2 4 +13 10 +16 9（ 1） 根 据 记 录 的 数 据 可 知 该 厂 星 期 四 生 产 自 行 车 _辆 ；（ 2） 根 据 记 录 的 数 据 可 知 该 厂 本 周 实 际 生 产 自 行 车 _辆 ；（ 3） 产 量 最 多 的 一 天 比 产 量 最 少 的 一 天 多 生 产 自 行 车 _辆 ；（ 4） 该 长 实 行 每 周 计 件 工 资 制 ， 每 生 产 一 辆 车 可 得 60 元
15、 ， 若 超 额 完 成任 务 ， 则 超 过 部 分 每 辆 另 奖 15 元 ； 少 生 产 一 辆 扣 20 元 ， 那 么 该 厂 工 人 这 一周 的 工 资 总 额 是 多 少 ？【 例 11】 某 书 店 推 出 售 书 优 惠 方 案 : 一 次 性 购 书 不 超 过 100 元 ， 不 享 受 优惠 ， 一 次 性 购 书 超 过 100 元 且 不 超 过 200 元 一 律 打 九 折 一 次 性 购 书 超 过200 元 一 律 打 八 折 。 如 果 王 明 同 学 一 次 性 购 书 付 款 162 元 ， 那 么 王 明 所 购 书的 原 价 是 元 .【 例
16、12】 张 阿 姨 准 备 在 某 商 场 购 买 一 件 衣 服 、 一 双 鞋 和 一 套 化 妆 品 ， 这 三 件物 品 的 原 件 和 优 惠 方 式 如 下 表 所 示 ， 请 帮 张 阿 姨 分 析 一 下 ， 选 择 一 个 最 省 钱 的购 买 方 案 .此 时 ， 张 阿 姨 购 买 这 三 件 物 品 实 际 所 付 出 的 钱 的 总 数 为 （ ）欲 购 买 的 商 品 原 价 （ 元 ） 优 惠 方 式一 件 衣 服 420 每 付 现 金 200 元 ， 返 购 物 券 200 元 ， 且 付 款 可以 使 用 购 物 券一 双 鞋 280 每 付 现 金 200
17、 元 ， 返 购 物 券 200 元 ， 但 付 款 时 不可 以 使 用 购 物 券一 套 化 妆 品 300 付 快 是 可 以 使 用 购 物 券 ， 但 是 不 返 购 物 券A.500 元 B.600 元 C.700 元 D.800 元【 练 10】 在 五 一 黄 金 周 期 间 ,某 超 市 推 出 如 下 优 惠 方 案 :（ 1） 一 次 性 购 物 在 100 元 （ 不 含 100 元 ） 以 内 时 ， 一 律 不 享 受 优 惠 ；（ 2） 一 次 性 购 物 在 100 元 (含 100 元 )以 上 ,300 元 以 内 时 ,一 律 享 受 九 折优 惠 ;（
18、3） 一 次 性 购 物 在 300 元 (含 300 元 )以 上 时 ,一 律 享 受 八 折 优 惠 ,王 茜 在 本 超 市 两 次 购 物 分 别 付 款 80 元 、 252 元 .如 果 她 改 成 在 本 超 市 一 次 性 购买 与 上 两 次 完 全 相 同 的 商 品 ， 则 应 付 款 （ ）A.332 元 B.316 元 或 332 元C.288 元 D.288 元 或 316 元【 练 11】 开 展 学 生 售 活 动 ， 凡 200 的 一 律 九 折 ， 超 过 200 的 ， 其 中 200按 九 折 计 算 ， 超 过 200 的 部 分 按 八 折 ，
19、学 生 第 一 次 去 付 款 72， 第 二 次 去 八 折 ，他 查 看 了 买 的 定 价 ， 发 现 两 次 共 节 省 34， 求 学 生 第 二 次 实 际 付 .三 、 课 后 练 习1.(2017水 果 湖 中 学 )下 列 图 案 是 晋 商 大 院 窗 格 的 一 部 分 ， 其 中 “ ” 代 表 窗 纸上 所 贴 的 剪 纸 ， 则 第 n 个 图 中 所 贴 剪 纸 “ ” 的 个 数 为 （ ）A.3n B.3n 1 C.3n 2 D.3n 32.超 市 出 如 下 :（ 1） 购 物 款 200；（ 2） 购 物 款 超 过 200 但 600 一 律 九 折 ；
20、（ 3） 购 物 款 超 过 600 一 律 八 折 小 明 的 妈 妈 两 次 购 物 分 别 付 款 168、 423 如 果 小 明 的 妈 妈 在 超 市 购 买 与 上 两次 价 值 相 同 的 商 品 ， 则 小 明 的 妈 妈 应 付 款 （ ）A.522.80 B.560.40 C.510.40 D.472.803.有 一 列 数 :1， 2， 1， 1， ， 其 规 律 是 :从 第 二 个 数 起 ， 每 个 数 都 是 其 前 后两 个 数 之 和 ， 根 据 此 规 律 ， 则 第 2011 个 数 是 _.4.计 算 机 是 将 信 息 转 换 成 二 进 制 数 进
21、 行 处 理 的 ， 二 进 制 即 “ 逢 二 进 一 ” ， 如 将二 进 制 数 1101 转 换 成 十 进 制 数 是 1 23+1 22+0 21+1 20=13， 则 二 进 制数 110 1111个 转 换 成 十 进 制 数 是 . （ 用 数 字 作 答 ） .5.如 下 表 ， 在 每 个 都 ， 得 其 格 所 填 都 ， 则 第 2013 个 格 的 为 _.6.（ 2017洪 山 区 期 中 ） 如 图 ， 是 一 个 “ 有 理 数 转 换 器 ” （ 箭 头 是 指 数 进 入 转 换 器的 路 径 ， 方 框 是 对 进 入 的 数 进 行 转 换 的 转 换
22、 器 ） 当 小 明 输 入 的 数 是 3 时 ， 则 输出 的 结 果 是 _.7.（ 2017青 山 区 期 中 ） 红 红 有 5 张 写 着 以 下 数 字 的 卡 片 ， 请 你 按 要 求 抽 出 卡片 ， 完 成 下 列 各 问 题 :2 a b c 6 8 20182017 11216121 （ 1） 从 中 取 出 2 张 卡 片 ， 使 这 2 张 卡 片 上 数 字 乘 积 最 大 ， 最 大 值 是 _.（ 2） 从 中 取 出 2 张 卡 片 ， 使 这 2 张 卡 片 上 数 字 相 除 的 商 最 小 ， 最 小 值 是_.（ 3） 从 中 取 出 除 0 以
23、外 的 其 他 4 张 卡 片 ， 将 这 4 个 数 字 进 行 加 、 减 、 乘 、除 或 乘 方 等 混 合 运 算 ， 使 运 算 结 果 为 24.（ 注 :每 个 数 字 只 能 用 一 次 ， 如 :23 1 ( 2)， 请 另 外 写 出 两 种 符 合 要 求 的 运 算 式 子 :_.8.（ 2017武 昌 区 期 中 ） 某 检 修 小 组 乘 一 辆 汽 车 沿 检 修 路 约 定 向 东 走 为 正 ， 某 天从 A 地 出 发 到 收 工 时 行 走 记 录 （ 单 位 :km） :+15， 2， +5， 10， 1， 3， 2， 12， +4， 5， +6， 求
24、 :（ 1） 请 以 0 为 原 点 ， 0.5 厘 米 为 一 个 单 位 长 度 画 出 数 轴 ， 并 在 数 轴 上 依次 用 B、 C 表 示 检 修 小 组 第 4 次 、 第 9 次 行 走 后 到 达 的 位 置 ；（ 2） 问 收 工 时 检 修 小 组 在 A 地 的 哪 一 边 ， 距 A 地 多 远 ？（ 3） 若 每 平 米 汽 车 耗 油 3 升 ， 开 工 时 储 存 180 升 汽 油 ， 从 开 工 到 收 工 ，中 途 是 否 需 要 加 油 ， 若 加 油 最 少 加 多 少 升 ？ 若 不 需 要 加 油 ， 到 收 工 时 ， 还 剩 多少 升 汽 油
25、 ？9.(2017汉 阳 期 中 ) 观 察 下 列 有 规 律 的 数 : 21 ， 61 ， 121 ， 201 ， 421 .根 据 规律 可 知 :（ 1） 第 7 个 数 是 _， 第 n 个 数 是 _（ n 是 正 整 数 ）（ 2） 132 是 第 _个 数 ；（ 3） 计 算 :10.（ 2017汉 阳 区 期 中 ） 某 厂 一 周 计 划 生 产 1400个 玩 具 ， 平 均 每 天 生 产 200个 ，由 于 各 种 原 因 实 际 每 天 生 产 量 与 计 划 量 相 比 有 出 入 ， 下 表 是 某 周 每 天 的 生 产 情况 （ 超 产 为 正 ， 减 产
26、 为 负 ， 单 位 :个 ） :星 期 一 二 三 四 五 六 日增 减 5 2 4 13 10 16 9（ 1） 根 据 记 录 可 知 前 三 天 共 生 产 个 ；（ 2） 产 量 最 多 的 一 天 比 产 量 最 少 的 一 天 多 生 产 个 ;（ 3） 该 厂 实 行 计 件 工 资 制 ， 每 生 产 一 个 玩 具 60元 ， 若 超 额 完 成 任 务 ， 超出 部 分 每 个 75元 ； 若 未 完 成 任 务 ， 生 产 出 的 玩 具 每 个 只 能 按 45元 发 工 资 。 那么 该 厂 工 人 这 一 周 的 工 资 总 额 是 多 少 ?11.如 下 数 表
27、 ， 是 由 从 1 开 始 的 连 续 自 然 数 组 成 的 ， 观 察 规 律 并 完 成 下 列 各 题的 解 答 . 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36（ 1） 表 中 第 8 行 的 最 后 一 个 组 是 ， 它 是 自 然 数 的 平 方 ， 第 8行 共 有 个 数 ；（ 2） 用 含 n 的 代 数 式 表 示 “ 第 n 行 的 第 一 个 数 是 ， 最 后 一 个 数是 ， 第 n 行 共 有 个 数 ；（ 3） 若 将 每 行 最 中 间 的 数 去 除 ， 得 到 新 的 一 列 数 1,3,7,13,21,31， ，则 第 n 个 和 第 （ n 1） 个 数 的 差 是 多 少 ？ 其 中 有 两 个 相 邻 的 数 的 差 是 24， 那么 这 两 个 数 分 别 在 原 数 表 的 第 几 行 ？
