1、常用解题思路,（一）直接思路,【顺向综合思路】从已知条件出发，根据数量关系先选择两个已知数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法”。,例1 兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？,提示：已知狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来
2、回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？ 狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。可以求出这时狗总共跑了多少距离？,【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是已知的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。,例1 、两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速为每分钟30米，两船在静水中的速度都是每分钟600米，有一天，两船又分别从A、B两地同时相向而行，但这次水流速
3、度为平时的2倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米，求A、B两地间的距离。,分析（用分析思路考虑）：（1）要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件？需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。（2）要求两船的速度和，必要什么条件？ 两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟600米，那么不论其水速是否改变，其速度和均为（600+600）米，这是因为顺水船速为：船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2个船速（实为船在静水中的速度）,（3）要求相遇的时间，根据题意要什么条件？两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的
4、，这就是说，尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米，仍不会改变相遇时间，只是改变了相遇地点：偏离原相遇点60米，由此可知两船相遇的时间为6030=2（小时）。此分析思路可以用下图（图2.3）表示：,例2 、五环图由内径为4，外径为5的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等（如图2.4），已知五个圆环盖住的总面积是122.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率取3.14）,【一步倒推思路】顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系，不可分割的。在解题时，两种思路常常协同运用，一般根据问题先逆推第一步，再根据应用题的条件顺推，使双方在中间接通，我们把这种思路叫“一步倒推思
5、路”。这种思路简明实用。,例1 一只桶装满10千克水，另外有可装3千克和7千克水的两只空桶，利用这三只桶，怎样才能把10千克水分为5千克的两份？,（1）逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份，根据题意，关键是要找到什么条件？因为有一只可装3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用32=5，就可以把水分成5千克一桶，所以关键是要先倒出一个2千克水。,例2 今有长度分别为1、2、39厘米的线段各一条，可用多少种不同的方法，从中选用若干条线段组成正方形？,分析（仍可用一步倒推思路来考虑）：（1）逆推第一步。要求能用多少种不同方法，从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么？根据题意，必须知
6、道两个条件。一是确定正方形边长的长度范围，二是每一种边长有几种组成方法。（2）从条件顺推。因为九条线段的长度各不相同，所以用这些线段组成的正方形至少要7条，最多用了9条，这样就可以求出正方形边长的长度范围为（1+2+7） 4 （1+2+ +9） 4 7-11（厘米）。,当边长为7厘米时，各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成，只有一种组成方法。当边长为8厘米时，各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成，也只有一种组成方法。当边长为9厘米时，各边分别由1+8、2+7、3+6及9；18、27、4+5及9；27、36、4+5及9；18、36、45及9；18、2+7、36及45共5种组成方法。当边长
7、为10厘米时，各边分别由1+9、28、37及46组成，也只有一种组成方法。当边长为11厘米时，各边分别由2+9、 38、47及5+6组成，也只有一种组成方法。将上述各种组成法相加，就是所求问题了。,【还原思路】从叙述事情的最后结果出发利用已知条件，一步步倒着推理，直到解决问题，这种解题思路叫还原思路。解这类问题，从最后结果往回算，原来加的用减、原来减的用加，原来乘的用除，原来除的用乘。运用还原思路解题的方法叫“还原法”。,例2 李白街上走，提壶去打酒；遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？分析（用还原思路探索）：李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗
8、叙述的著名算题。题意是：李白提壶上街买酒、喝酒，每次遇到酒店，便将壶中的酒量增添1倍，而每次见到香花，便饮酒作诗，喝酒1斗。这样他遇店、见花经过3次，便把所有的酒全喝光了。问：李白的酒壶中原有酒多少？,下面我们运用还原思路，从“三遇店和花，喝光壶中酒”开始推算。见花前有1斗酒。第三次：见花后壶中酒全喝光。第三次：遇店前壶中有酒半斗。 第一次：见花前壶中有酒为第二次遇店前的再加1斗。遇店前壶中有酒为第一次见花前的一半。其思路图如下,【假设思路】在自然科学领域内，一些重要的定理、法则、公式等，常常是在“首先提出假设、猜想，然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的。数学解题中，也离不开假设思路，尤其
9、是在解比较复杂的题目时，如能用“假设”的办法去思考，往往比其他思路简捷、方便。我们把先提出假设、猜想，再进行检验、证实的解题思路，叫假设思路。,例1 、中山百货商店，委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元。结果运输队获得运费382.5元。问：损坏了花瓶多少只？,Name of your presentation,LOGO,【消去思路】对于要求两个或两个以上未知数的数学题，我们可以想办法将其中一个未知数进行转化，进而消去一个未知数，使数量关系化繁为简，这种思路叫消去思路，运用消去思路解题的方法叫消去法。二元一次方程组的解法，就
10、是沿着这条思路考虑的。,例1 、师徒两人合做一批零件，徒弟做了6小时，师傅做了8小时，一共做了312个零件，徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量，师徒每小时各做多少个零件？,分析（用消去思路考虑）：这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量。如果以徒弟每小时工作量为1份，把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替，那么师傅8小时的工作量相当于这样的几份呢？很明显，师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量，那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量，这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量，题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量，就是徒弟应做多
11、少个。求出了徒弟的工作量，根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系，也就能求出师傅的工作量了。,【转化思路】解题时，如果用一般方法暂时解答不出来，就可以变换一种方式去思考，或改变思考的角度，或转化为另外一种问题，这就是转化思路。运用转化思路解题就叫转化法。,各养兔多少只？,分析（用转化思路思索）：题中数量关系比较复杂，两个分率的标准量不同，为了简化数量关系，,只呢？这时两人养的总只数该是多少只呢？假设后的数量关系，两人养的总只数应是：100-163=52（只）,【类比思路】类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题。例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式，从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类
12、比是一个重要的思想方法，也是解题的一种重要思路。,例2 从时针指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分钟重合。,分析（用类比思路讨论）：本题可以与行程问题进行类比。如图2.11，如果用时针1小时所走的一格作为路程单位，那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格，分,如果分针与时针同时同向出发，问：分针过多少分钟可追上时针？这样就与行程问题中的追及问题相似了。4为距离差，速度差为，重合的时间，就是追上的时间。,【分类思路】把一个复杂的问题，依照某种规律，分解成若干个较简单的问题，从而使问题得到解决，这就是分类思路。这种思路在解决数图形个数问题中经常用到。,例1 如图2.12，共有多少个三角
13、形？,分析（用分类思路考虑）：这样的图直接去数有多少个三角形，要做到能不重复，又不遗漏，是比较困难的。怎么办？可以把图中所有三角形按大小分成几类，然后分类去数，再相加就是总数了。本题根据条件，可以分为五类（如图2.13）。,【等量代换思路】有些题的数量关系十分隐蔽，如果用一般的分析推理，难于找出数量之间的内在联系，求出要求的数量。那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系，使未知条件转化为已知条件，使隐蔽的数量关系明朗化，促使问题迎刃而解。这种思路叫等量代换思路。,例2 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两色棋子。第一,这三堆棋子集中一起，问白子占全部棋子的几分之几？,【对应思路】分
14、数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率，也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几，这种关系叫做对应关系。找对应关系的思路，我们把它叫做对应思路。例1 有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是91公亩，麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公亩，那么，菜地是几公亩？,【割补】在数学中，把图形的某个部分割下，补到某一个新的位置，往往可以使新的图形，更便于发现数量关系，从而较快地解答出数学题目。,例如，在图4.38中，三个圆的面积都是12.56平方厘米，且三个圆两两相交，三个交点都是圆心，求三块阴影部分的面积。,从表面上看，题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现，根据轴对称性及割补方法，题目可作如下的解答：,如图4.39，将图形1翻折到图形2的位置；再将图形3和4割下来，合并在一起，补到图形5的位置上。于是，原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。所以，三块阴影部分的面积是12.562=6.28（平方厘米）,
