1、全等三角形复习提纲,1.全等三角形的性质:,对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。,2.全等三角形的判定:,知识点,一般三角形全等的判定：,4角平分线的判定：,SSS、SAS、ASA、AAS、HL,3.角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,点Q在AOB的平分线上 QDOA,QEOB, QDQE,到角两边距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,例1、对应边:_与_,_与_,_与_,对应角:_与_,_与_,_与_., ABD CDB,ABC DCB ,全等三角形对应元素规律,公共边是对应边. 公共角是对应角. 一对最长的边
2、是对应边，一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.,1如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD求证：DCAB,5,5。CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与ADE全等吗？为什么？,证明： CAE=BAD(已知), CAE+BAE=BAD+BAE,即BAC=DAE,ABC ADE,AC=AE(已知), B=D(已知),(AAS),6.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交点O，AD=AE，B=C。求证： AB=AC BD=CE,证明 ：C=B（已知）A=A（公共角）AD=AE（已知）,ACDABE（AAS） AB=AC, AD=AE AB-A
3、D=AC-AE(等量减等量，量相等）BD=CE,课堂练习,7.已知BDCD，ABDACD，DE、 DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，求证：DEDF,全等三角形的对应边相等,AAS,垂直的定义,等角的补角相等,已知,证明：ABDACD（ ）EBDFCD（ ）又DEAE，DFAF（已知）EF900（ ）EBDFCDBDCDDEBDFC（ ）DEDF（ ）,垂直的定义,8.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE， BE = DF，BEDF，求证：ABCD,证明：,9.已知，ABC和ECD都是等边三角形，求证：BE=AD,10：如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么
4、？,解：AC=AD,理由：1=23=4EB=EB EBCEBD (AAS) BC=BD 又 AB=AB 1=2 ABCABD (SAS) AC=AD,11.已知: 如图,AB = DC ,AD = BC .求证: A = C,A,B,C,D,12如图ABC刚架,AB = AC ,AD是连结点A与BC中点D的支架.求证: ABD ACD AD BC, D是线段BC的中点 BD=CD 又 AB = ACAD = AD ABD ACD ( SSS ) 1 = 2 1 + 2 = 180 1= 180 = 90 AD BC,证明:,C,证明:,13.如图，1=2，3=4 求证： ABDABC,14.如
5、图， 你能说明图中的理由吗？, ABD +3 = 180 ABC +4 =180 又 3= 4 AB D = ABC 又 1 = 2AB = AB AB D ABC,证明:,证明:,15、OBAB,OCAC,OB=OC .AO平分BAC吗？为什么？,答： AO平分BAC,16. 如图,M是AB中点 ,1 = 2 ,MC=MD. 试说明ACMBDM,证明: M是AB的中点 (已知) MA=MB(中点定义)1 = 2 (已知)MC=MD(已知)ACM BDM (SAS),17已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：E=F., ABCCDA B
6、ACDCA ABCD E=F., AB = CDAD = CBAC = CA,证明:,证明:,18.如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。, ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DFA=DAB=DE ABCDEF （SAS）,答ABCDEF., ABFDEC, ECFBFC,19 ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边的距离相等,BP是ABC的角平分线,PDAB，PEBC,PD=PE(角平分线上的点到角两边距离相等).,同理可证：PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
7、,证明：作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,20.已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM（角平分线上的点到角两边距离相等） 同理可证：FMFHFGFH（等量代换）又 FGAE，FHAD点F在DAE的平分线上 （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） .,G,M,H,21如图，AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分BAD,22已知：ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是ABC和A1B1C1的高.求证：AD=A1D1,24求证：有一条直
8、角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。,已知： AB=A1B1. ADBC， A1D1 B1C 1 AD=A1D1 B1A1C1 = BAC=900 求证： ABCA1B1C1,15,25已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N， 1=2，求证（1）ABE ACD（2）AM=AN,26已知：在ABC中，AD是BC边上的高， AD=BD DE=DC，延长BE交AC于F， 求证：BF是ABC中边上的高.,证明： 1=21+BAC=2+BAC BAE=CAD又 AD=AEAB=ACABE ACD (SAS) B= C又 AB= AC BAN= CAM ABNAC
9、M AM=AN,证明： AD是BC边上的高BDA=ADC=900又 AD=BDDE=DCBDE CD A (SAS) BED= C 又 BDA =90BED+EBD=90 BED+C=90 BFC=90 BF是ABC中边上的高,27已知：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F ,DB=DC， 求证：EB=FC,28如图已知:ADBC，AD CB求证：ADCCBA,29如图，已知ABAC，ADAE，12，证:ABDACE,证明： AD平分BAC 又DEAE，FDAFDEFD（角平分线上的点到角两边距离相等）又 EBFC Rt DBE Rt DFC (HL) BE=FC,证明： AD BC D
10、AC=ACB又 ADBCACACDAC BCA (SAS),证明： 1=21+BAE=2+BAE BAD=CAE又 AD=AEAB=ACABD ACE (SAS),解： BECE，ADCE BEC= CDA= 90 EBC+BCE=90 又 BCA= 90 ACE+BCE=90 ACE=CBE又 BEC= CDAAC=BC CBE ACB AD=CE BE=CD又 CD=CE-DEBE=DA-DE=2.5-1.7=0.8,证明：ABC ABC ABABABC=CBABC=BC又AD.AD是中线 BD= 12 BC BD= 12 BC BD=BD又 ABABABC=CBAABD RABD(SAS
11、) AD=AD,33已知：CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形有哪些对？并证明,32已知：CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，OB=OC。求证：1=2，,证明：CDAB，BEAC BEC= CDA= 90 又 OBOC BOD= COEDBO ECO (AAS) OD=OE又CDAB，BEAC 1=2，到角两边距离相等的点在这个角平分线上,证明 CDAB，BEAC BEC= CDA= 90 又 OAOA 1= 2DAO EAO (AAS) OD=OE又 BEC= CDA= 90BOD= COEDBO ECO (ASA),证
12、明： DBO ECO B= C 又 OAOA 1= 2BAO CAO (AAS) AB=AC又 BEC= CDA= 90A= A BAE CAD (AAS),34在ABC中， AD是ABC的角平分线和中线，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F， 求证： BECF35 在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF 求证：AD是ABC的角平分线。,证明： AD是ABC 中线 DB=DC 又 AD平分CAB，DEAB， DFAC FDDE (角平分线的性质)又 DEAB， DFACBD=DCDE=DF RtCDFRtEDB (HL) BE=CF（全等三角形对应边相等）
13、,证明： AD是ABC 中线 DB=DC 又 DEAB， DFACBE=CF BD=DC RtCDFRtEDB (HL) FDDE 又 DEAB， DFAC AD平分CAB，,36如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？,37如图，为了促进当地旅游发展，要修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?这样的地点有几处？要求尺规作图画出,38如图：在ABC中，C=90AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在 AC上，BD=DF 求证：CF=EB,证明： AD平分CAB，
14、DEAB，C90 CDDE (角平分线的性质)在tFCD和RtDBE中CD=DEDF=DB RtCDFRtEDB (HL) CF=DE（全等三角形对应边相等）,39.如图ABCD，ADBC，O为AC上的一点，过点的直线分别交AD、BC于、，你能说明吗？,证明： AB = DCAD = BCAC=AC ABC CDA ( SSS ) DAC = ACB AD BC 1 = 2,41.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分 CAB和DBA，CD过点E，则AB与 AC+BD相等吗？请说明理由。,证明两条线段的和与一条线段相等常用两种方法： 1（割）在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩
15、余的线段与另一条线段相等 2、（补）把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等,40如图, C=D=90，E是CD的中点、EB平分DBA ，求证：AE是CAB 的角分线。提示：做EF AB,A,C,E,B,D,证明：做EF AB D=90, EB平分DBAED=EF E是CD的中点ED=ECEC=EF 又 EF AB, C=90 AE是CAB 的角分线,F,F,23,42.如图（4）AE=CF，AFD=CEB，DF=BE，AFD与 CEB全等吗？为什么？,证明：AE=CF(已知),A,D,B,C,F,E,AEFE=CFEF(等量减等量，差相等),即AF=CE,在AFD
16、和CEB中，,AFDCEB,(SAS),43.如图， 说出AB 的理由。,P27,26,4、如图，已知AD平分BAC，要使ABDACD， 根据“SAS”需要添加条件 ； 根据“ASA”需要添加条件 ； 根据“AAS”需要添加条件 ；,AB=AC,BDA=CDA,B=C,友情提示：添加条件的题目.首先要 找到已具备的条件,这些条件有些是 题目已知条件 ,有些是图中隐含条件.,二.添条件判全等,27,5、已知：BDEF，BCEF，现要证明ABCDEF， 若要以“SAS ”为依据，还缺条件_；,若要以“ASA ”为依据，还缺条件 _； 若要以“AAS ”为依据，还缺条件_并说明理由。,AB=DE,A
17、CB=F,A=D,28,练一练,一、挖掘“隐含条件”判全等,20,5cm,3cm,学习提示：公共边，公共角， 对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！,例5：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB。,BE=EH,，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定ABEACD的是( ) AAD=AE B AEB=ADC CBE=CD DAB=AC,21求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。,已知：AD是ABC 的中线， 求证：,E,证明：,例4:下面条件中, 不能证出RtABCRt
18、A BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC (C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=AB,C,3、如图：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。,12,c,A,B,D,E,33,8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道ABC=ADC。请用所学的知识给予说明。,解: 连接AC,ADCABC(SSS), ABC=ADC (全等三角形的对应角相等),在ABC和ADC中，,34,12.如图, M、N分别在AB
19、和AC上, CM与BN相交于点O, 若BM = CN, B=C .请找出图中所有相等的线段,并说明理由.,练习,7：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF已知： EGAF 求证：,高,拓展题,8.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF,1.如图1：ABF CDE，B=30， BAE= DCF=20 .求EFC的度数.,练习题：,2 、如图2，已知：AD平分BAC，AB=AC，连接BD，CD，并延长相交AC、AB于F、E点则图形中有（ ）对全等三角
20、形. A、2 B、3 C4 D、5,C,图1,图2,（800）,例5、如图6，已知：A90， AB=BD，EDBC于 D.求证：AEED,提示：找两个全等三角形，需连结BE.,图6,39,实际运用 9. 测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木，视线 与河岸垂直，然后该人沿河岸步行步（每步约0.75M）到O处，进行标记，再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度为 米。,15,A,B,O,D,C,40,16.如图，在四边形ABCD中，已知AB=AD，CD=CB，则图形中哪些角必定相等？请说明理由。,41,18. 如图，AB=DE
21、，AF=CD，EF=BC，AD， 试说明：BFCE,例1 教材122页： 如图，ACBC， BDAD， ACBD，求证：BCAD 注意：在证明时要强调 RtABC RtBAD （补充）例2：如图，B、E、F、C在同一直线上，AFBC于F，DEBC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由 提示：求证B= C即可得到答案,30因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。请你设计一种方案，粗略测出A、B两杆之间的距离。,A,B,解：方案1：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使
22、AC=DC，连结BC并延长至E点，BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。理由:,AC=DC ACB=DCEBC=EC,ACBDCE AB=DE,11.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.,3.如图15（1）已知：E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E点，BFAC于F点，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于M点 (1)求证：MB=MD，ME=MF； (2)当E、F两点移动至如图15（2）所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立
23、，请加以证明 提示:先证明RtABF RtCDE得BF=DE,再证明 BMF DME（AAS)得到结论 （2）证明与(1)方法相同,2.已知：如图3，ABC ，AD、 分别是ABC和 的高. 求证：AD=分析：已知ABC ，相当于已知它们的对应边相等.在证明过程中，可根据需要，选取其中一部分相等关系.可求证 ACD 或求证 ABD (AAS),练习及作业,练习：教材123页1.2 作业(1)教材124页7.8 选作题(2)如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系？,10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1） ；（2） ；,12.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 求证： ADG 为等腰直角三角形。,如图：将纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知1+2=100，则A= 度；,
