1、第二十二讲 平移、旋转与轴对称,一、有关性质 1.平移的性质 (1)平移后的图形与原图形的对应线段_(或在同 一条直线上)且_,对应角_. (2)连接各组对应点的线段_(或在同一条直线上) 且_.,平行,相等,相等,平行,相等,2.旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离_. (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_. (3)旋转前、后的图形_.,相等,旋转角,全等,3.轴对称的性质 (1)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是 任何一对对应点所连线段的_. (2)轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段 的_.,垂直平分线,垂直平分线,4.中心对称的性质 (1)中心对称的两个图形,对
2、称点所连线段都经过_ _,而且被对称中心所_. (2)中心对称的两个图形是_图形.,对,称中心,平分,全等,二、坐标变换的规律 1.在直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单 位长度,可以得到对应点_(或_);将点 (x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点 _(或_).,(x+a,y),(x-a,y),(x,y+b),(x,y-b),2.在直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标 为_,关于y轴对称的点的坐标为_. 3.在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的 坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为 P_.,(x,-y),(-x,y),(-x,-y
3、),【自我诊断】(打“”或“”) 1.平移不改变图形的大小与形状,旋转改变图形的大 小与形状. ( ) 2.成轴对称的两个图形全等. ( ) 3.两个全等的图形一定关于某一点中心对称. ( ) 4.一个角的对称轴是该角的平分线. ( ),5.圆既是轴对称图形也是中心对称图形.( ) 6.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形.( ) 7.中心对称图形一定是轴对称图形.( ) 8.关于某条直线成轴对称的两个图形一定可以通过平 移相互得到.( ) 9.若两个图形关于某点成中心对称,则这两个图形都是 中心对称图形.( ),考点一 平移、旋转与对称的识别 【例1】(2017成都中考)下列图标中,既是
4、轴对称图形,又是中心对称图形的是 ( ),【思路点拨】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.,【自主解答】选D. A.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误; B.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误; C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确.,【名师点津】理解概念,正确判断 (1)抓住图上的“关键点”平移,以“点”带动“整个图形”的平移.平移不改变图形的形状与大小. (2)将图形沿某条直线对折,两旁的部分重合,即为轴对称图形. (3)中心对称图形沿对称中心旋转180后与原图重合.,【题组过
5、关】 1.(2017绵阳中考)下列图案中,属于轴对称图形的是 ( ),【解析】选A.A选项是轴对称图形;B选项不是轴对称图形;C选项是中心对称图形;D选项不是轴对称图形.,2.(2017济宁中考)下列图形是中心对称图形的 是 ( ),【解析】选C.根据中心对称图形的定义,只有选项C中的图形绕着一点旋转180后与原图形重合,符合中心对称图形的定义.,3.(2017绍兴中考)一块竹条编织物,先将其按如图所示绕直线MN翻转180,再将它按逆时针方向旋转90,所得的竹条编织物是 ( ) 世纪金榜导学号16104341,【解析】选B.绕MN翻折180后,是下面的图形:再逆时针旋转90,可得,考点二 平移
6、、旋转与对称性质的应用 【例2】(2017菏泽中考)如图,将RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90,得到ABC,连接AA,若1=25,则BAA的度数是 ( ) 世纪金榜导学号16104342,A.55 B.60 C.65 D.70,【思路点拨】根据旋转的性质可得AC=AC,然后判断出ACA是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得CAA=45,再根据旋转的性质可得结果.,【自主解答】选C.RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90得到ABC,AC=AC, ACA是等腰直角三角形, CAA=45,CAB=CAA-1=20=BAC, BAA=BAC+CAA=65.,【名师点津】抓住图形的变化中的不变性
7、 从“动”的角度去思考,明确“动中不动” (1)对应线段相等,对应角相等,形状、大小不变. (2)把握住平移方向、平移距离,旋转中心、旋转角度及旋转方向.,【题组过关】 1.(2017枣庄中考)将数字“6”旋转180,得到数字“9”,将数字“9”旋转180,得到数字“6”,现将数字“69”旋转180,得到的数字是 ( ) A.96 B.69 C.66 D.99,【解析】选B.现将数字“69”旋转180, 得到的数字是69.,2.(2017泰安中考)如图,在正方形网格中,线段AB是线段AB绕某点逆时针旋转角得到的,点A与A对应,则角的大小为 ( )A.30 B.60 C.90 D.120,【解析
8、】选C.AA和BB的垂直平分线的交点即为旋转中心O,根据网格的特征可知AOA=90,所以旋转角=90.,3.(2017嘉兴中考)如图,在平面直角坐标系xOy中, 已知点A( ,0),B(1,1).若平移点A到点C,使以点 O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是世纪金榜导学号16104343( ),A.向左平移1个单位,再向下平移1个单位 B.向左平移(2 -1)个单位,再向上平移1个单位 C.向右平移 个单位,再向上平移1个单位 D.向右平移1个单位,再向上平移1个单位,【解析】选D.将点A向右平移1个单位,再向上平移1个 单位,得平移后C的坐标为( +1,1),即OBAC,且
9、 OB=AC,即四边形OACB是平行四边形,又OA=OB= ,所 以此时四边形OACB是菱形.,4.(2017宜宾中考)如图,将AOB绕点O 按逆时针方向旋转45后得到COD,若 AOB=15,则AOD的度数是_. 【解析】由旋转可知,BOD=45,AOB=15, AOD=60. 答案:60,考点三 图形的变化与点的坐标变化 【考情分析】平面直角坐标系中图形的变化引起了点的坐标变化,从而赋予了点的坐标更丰富的内容,题型有选择题、填空题,解答题是与平移、旋转、对称作图相结合命题.,命题角度1:平移与坐标的变化 【例3】(2017郴州中考)在平面直角坐标系中,把点A(2,3)向左平移一个单位得到点
10、A,则点A的坐标为_. 【思路点拨】根据平移规律,点左右平移,横坐标减加;上下平移,纵坐标加减.,【自主解答】点A(2,3)向左平移1个单位长度得到点A, 点A的横坐标为2-1=1,纵坐标不变, A的坐标为(1,3). 答案:(1,3),命题角度2:中心对称与坐标变化 【例4】(2015天津中考)在平面直角坐标系中,把点P(-3,2)绕原点O顺时针旋转180,所得到的对应点P的坐标为 世纪金榜导学号16104344( ) A.(3,2) B.(2,-3) C.(-3,-2) D.(3,-2),【思路点拨】将点P绕原点O顺时针旋转180得对应点P,即点P与点P关于原点对称,由对称性质可判定. 【
11、自主解答】选D.根据题意得,点P关于原点的对称点是P,P点坐标为(-3,2), 点P的坐标为(3,-2).,【母题变式】(变换问法)点P(-3,2)关于原点的对称点P的坐标为多少? 提示:点P和点P关于原点对称, P的坐标为(3,-2).,命题角度3:旋转与坐标变化 【例5】(2017青岛中考)如图,若将ABC绕点O逆时针旋转90,则顶点B的对应点B1的坐标为 ( ),A.(-4,2) B.(-2,4) C.(4,-2) D.(2,-4),【自主解答】选B.若将ABC绕点O逆时针旋转90, 则顶点B的对应点B1如图所示,其坐标为(-2,4).,命题角度4:轴对称与坐标变化 【例6】(2017潍
12、坊中考)小莹和小博士 下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图, 棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右 下角方子的位置用(0,-1)表示.小莹将第4枚圆子放,入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是 世纪金榜导学号16104345( ) A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,-2) D.(-1,-2),【自主解答】选B.根据题意可得,右方的圆子即为坐标原点,四个圆子构成一个轴对称图形,即关于直线y=-x-1对称,故第四枚圆子在棋盘中心方子的上方,故位置是(-1,1).,【名师点津】 1.解答此类题目,抓住各类图形变换的特征,找出变换前后坐标的关系,同时注意图形变换的性质的应用
13、. 2.在平面直角坐标系中,图形向右(左)平移m个单位,则图形上各点的纵坐标不变,横坐标加上(或减去)m个单位(m0);图形向上(下)平移n个单位,则图形上各点的横坐标不变,纵坐标加上(或减去)n个单位(n0).,3.对称引起的坐标变化依据关于x轴、y轴、原点对称的坐标变化规律. 4.与旋转有关的坐标变化通常构造直角三角形,利用勾股定理求相关线段的长度.,【题组过关】 1.(2017武汉中考)点A(-3,2)关于y轴对称的点的坐标为 ( ) A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(2,-3) 【解析】选B.因为关于y轴对称的点的纵坐标不变,横坐标互为相反数,所以点A(-3,
14、2)关于y轴对称的点的坐标为(3,2).,2.(2017呼和浩特中考)下列序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是ABC这个图形进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称得到的是 ( )A.(1) B.(2) C.(3) D.(4),【解析】选A.根据轴对称的性质可知,对应点所连的线段被对称轴垂直平分.,3.(2017眉山中考)ABC是等边三角形,点O是三条高的交点.若ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合,则ABC旋转的最小角度是_. 世纪金榜导学号16104346,【解析】因为ABC是等边三角形,点O是三条高的交点,所以点O也是三条边的垂直平分线的交点, 即点O是ABC的
15、外心, 因此AOB=BOC=COA=120, 旋转的最小角度是120. 答案:120,4.(2017盐城中考)如图,在边长为1的小正方形网格中,将ABC绕某点旋转到ABC的位置,则点B运动的最短路径长为_.,【解析】先确定旋转中心.作线段CC 的垂直平分线;连接AA,作线段AA的 垂直平分线交于点O,点O恰好在格点上; 确定最小旋转角.最小旋转角为90;确定旋转半 径.连接OB,由勾股定理得OB= .所以点B 运动的最短路径长为 答案: ,考点四 与平移、旋转、对称相关的网格作图 【例7】(2017安徽中考)如图,在边长 为1个单位长度的小正方形组成的网格 中,给出了格点ABC和DEF(顶点为
16、 网格线的交点),以及过格点的直线l.,(1)将ABC向右平移两个单位长度,再向下平移两个单位长度,画出平移后的三角形. (2)画出DEF关于直线l对称的三角形. (3)填空:C+E=_.,【思路点拨】(1)分别把点A,B,C按照题意平移的方法画出平移后的对称点,连接各对称点即可.(2)分别作点D,E,F关于直线l的对称点,连接各对称点即可.(3)结合(1)(2)画出的图形,连接AF,AFC是等腰直角三角形,得ACF=45,运用平移和轴对称的性质可求C+E.,【自主解答】(1)(2)见如图.(3)45.,【名师点津】网格中平移、旋转作图的要点 (1)确定图形平移的方向、距离. (2)确定图形旋
17、转的方向、旋转角. (3)借助网格确定图形上的关键点,以局部思考整体. (4)利用网格确定平移的距离和旋转角的大小.,【题组过关】 1.(2017衡阳中考)如图,方格 图中每个小正方形的边长为1, 点A,B,C都是格点. (1)画出ABC关于直线BM对称的A1B1C1. (2)写出AA1的长度.,【解析】(1)作图如下:(2)由图直接得出AA1=10.,2.(2017六盘水中考)如图,在边长为1的正方形网格中,ABC的顶点均在格点上. 世纪金榜导学号16104347,(1)画出ABC关于原点成中心对称的ABC,并直接写出ABC各顶点的坐标. (2)求点B旋转到点B的路径(结果保留).,【解析】(1)图形如图所示,A(4,0),B(3,3), C(1,3).,(2)由图可知: 长为OB= .,
