1、8.2 单位冲激函数,一、为什么要引入单位冲激函数,引例 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则,一、为什么要引入单位冲激函数,当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.,如果我们形式地计算这个导数, 则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:,有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷,
2、 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.,给定函数序列,二、单位冲激函数的概念及性质,1. 单位冲激函数的概念,(1) 当 时，,(2),单位冲激函数 又称为 Dirac 函数或者 函数。,（在极限与积分可交换意义下）,二、单位冲激函数的概念及性质,2. 单位冲激函数的性质,(2) 对称性质,函数为偶函数，即,设函数 是定义在 上的有界函数，,函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点,出发长度为 1 的有向线段来表示，,同样有，函数 的冲激强度为 A。,二、单位冲激函数的概念及性质,3. 单位冲激函数的图形表示,其
3、中有向线段的长度,三、单位冲激函数的 Fourier 变换,由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有,利用筛选性质，可得出 函数的 Fourier 变换：, ,即 与 1 构成Fourier变换对,相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。,称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。,性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的，,三、单位冲激函数的 Fourier 变换,按照 Fourier 逆变换公式有,解, ,例 求 f(t)=1的Fourier 变换。,(2) 由 ，,它是工程技术中最常用的函数之一。, ,又,四、周期函数的 Fourier 变换,则 的 Fourier 变换为,则,
