1、3 控制系统的时域分析,3.7 控制系统的稳定误差,3.1 典型的试验信号,3.2 一阶系统的时域响应,3.3 二阶系统的时域响应,3.4 高阶系统的时域响应,3.5 线性定常系统的稳定性,3.6 劳斯稳定判据,课程回顾,3.6 劳斯稳定判据,于是便提出这样一个问题，能否不用直接求特征根的方法，而根据特征方程式(即高次代数方程)根与系数的关系去判别系统的特征根是否全部具有负实部的间接方法来分析控制系统的稳定性。,控制系统稳定的条件是其特征根均需具有负实部。因此判别系统稳定与否，就变成求解特征方程的根并校验其特征根是否都具有负实部的问题。,但是当系统阶次高于3时，在一般情况下，求解其特征方程将会
2、遇到较大的困难。因此，通过直接求解特征方程，并按求得的特征根分析系统稳定性的方法是极不方便的。,劳斯稳定判据就是这样一种勿须求解特征方程，而通过特征方程的系数分析控制系统稳定性的间接方法。,设系统的特征方程式为,将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表,劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数,(1)劳斯（Routh）判据,1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根在 s 平面的左半平面，相应的系统是稳定的。,用同样的方法，求取表中其余行的系数，一直到第 n+1 行排完为止。,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系
3、数符号的变换，去判别特征方程式的根在 s 平面上的具体分布，其结论是：,2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 s 平面的右半平面上的个数，相应的系统是不稳定的。,3.6 劳斯稳定判据,例1： 已知一调速系统的特征方程式为,试用劳斯判据判别该系统的稳定性。,解 列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有两个根在 s 的右半平面，因而系统是不稳定的。,试用劳斯判据判别该系统的稳定性。,例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0,10,10,(2) 劳斯判据特殊情况处理,0,例3：D(s)=s3-3s+2=0，判定在右半s平面的极点数
4、。,若某行第一列元素为0，而该行元素不全为0时: 将此0改为 ， 继续运算。,2,例4：,(2) 劳斯判据特殊情况处理,劳斯表的某一行中，所有元都等于零,如果在劳斯表的某一行中，所有元都等于0，则表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。在这种情况下，可利用全0行的上一行各元构造一个辅助多项式（称为辅助方程）。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表的这个全0行，然后继续计算下去。这些大小相等而关于原点对称的根也可以通过求解这个辅助方程得出。,(2) 劳斯判据特殊情况处理,s5 s4 s3 s2 s1 s0,5,25,0,0,10,25,0,列辅助方程：,例5： D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+
5、20s2+35s+25=0,出现全零行时，系统可能出现一对纯虚根；或一对符号 相反的实根；或实部与虚部分别等值且反号的的共轭复根。,出现全零行时： 用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次， 用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。,s5 s4 s3 s2 s1 s0,0,-2,16 /e,0,8,-2,0,列辅助方程：,例6： D(s)=s5+ 2s4-s-2=0,e,第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定,=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j),应用Routh判据分别研究一阶、二阶和三阶微分方程,容易得到以下的简单结论： （1）一阶和二阶系统稳定的充分必要条件是：特
6、征方程所有系数均为正。 （2）三阶系统稳定的充分必要条件是：特征方程所有系数均为正，且,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化判别特征方程式的根在 s 平面上的具体分布，其结论是：,2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 s 平面的右半平面上的个数，相应的系统是不稳定的。,1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根在 s 平面的左半平面，相应的系统是稳定的。,3.6 劳斯稳定判据,3.6 劳斯稳定判据,例8: 设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?
7、,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3,应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定性，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。,令,把虚轴左移 。将上式代入系统的特征方程式，得到z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂直线s=- ）的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量 。,
8、3.6 劳斯稳定判据,例9: 检验特征方程式,是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线S=-1的右边。,解：劳斯表为,第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。,再令S=Z-1，代入特征方程式，得,上表可见，第一列系数的符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直线s=-1的右方。,因为上式中的系数有负号，所以方程必然有根位于垂直线s=-1的右方。列出以z为变量的劳斯表,3.6 劳斯稳定判据,(3) 劳斯判据的应用,例10: 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。,解: 依题意有,系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系,例11: 系统结
9、构图如右，(1)确定使系统稳定的参数(Ka, )的范围;(2)当 =2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的Ka值范围。,解:,(1),(2)当 x=2 时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。,当x=2时，进行平移变换：,问题讨论：,(1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。,(2) 系统稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。,闭环零点影响系数Ci ，会改变动态性能，但不影响稳定性。,闭环极点决定模态，因此决定系统的稳定性，也影响动态性能。,(3) 闭环系统的稳定性与其开环是否稳定没有直接关系。,3.7 控制系统的稳态误差,1. “稳态”是什么概念？,2. 稳态误差是怎样定义的？,3. 稳态误差有几种？,4. 定义在输入和输出端两种计算稳态误差方法有何区别？,5. 在两个输入下怎样计算稳态误差？,6. 系统根据什么分为0型、I型、II型？,
