1、第十章 期权的回报与价格分析,2018/11/20,第一节 期权的回报与盈亏 一、看涨期权多头的回报与盈亏,2018/11/20,2,1回报与盈亏的数学表达式：买方收益无限，损失有限；卖方相反。概率：实际交易中，买方行权概率很小：三个条件同时满足：方向，涨穿执行价，在规定期限。相反，卖方概率大。 2回报与盈亏的分布图,二、看涨期权空头的回报与盈亏,2018/11/20,3,1回报与盈亏的数学表达式 2回报与盈亏的分布图,三、看跌期权多头的回报与盈亏,2018/11/20,4,1回报与盈亏的数学表达式 2回报与盈亏的分布图,四、看跌期权空头的回报与盈亏,2018/11/20,5,1回报与盈亏的数
2、学表达式 2回报与盈亏的分布图,欧式期权回报与盈亏公式汇总,2018/11/20,6,一、期权的价格构成期权的价格即期权费，主要由内在价值和时间价值两部分组成。期权价格（当前价值）内在价值时间价值 （一）期权的内在价值（内涵价值） 期权的内在价值（Intrinsic Value）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。或者，期权的内在价值，是0与多方行使期权时所获收益贴现值的较大值。下面以欧式期权为重点讨论期权内在价值。,第二节 期权价格结构与影响价格因素,1、欧式看涨期权的内在价值：ST-X的现值 （1）无收益资产欧式看涨期权的内在价值S-Xe-r(T-t) 因为期权多头只有权利而无义务，所
3、以内在价值不可能是负的，至少为0，所以涨期权的内在价值：max （2）有现金收益D的资产欧式看涨期权的内在价值是S-D-Xe-r(T-t)与0的最大者 美式看涨期权的内在价值:因为提前执行美式看涨期权是不明智的，因此美式看涨期权的内在价值与欧式看涨期权一样。,2、欧式看跌期权的内在价值：X-ST的现值 （1）无收益资产欧式看跌期权的内在价值是X e-r(T-t)-S与0的最大者 （2）有现金收益D的资产欧式看跌期权的内在价值是X e-r(T-t)+D-S与0的最大者。 美式看跌期权的内在价值:由于提前执行有可能是合理的，因此其内在价值与欧式看跌期权不同。设在时刻执行期权,无收益资产美式期权的内
4、在价值为： Xexp-r(-t)-S 有收益资产美式期权的内在价值为： Xexp-r(-t)+从t到期间收益现值-S,期权内在价值汇总,2018/11/20,10,(二)实值期权、平价期权与虚值期权,平价点：使期权内在价值由正值变化到零的标的资产价格临界点。根据临界点和内在价值可把实值期权、平价期权和虚值期权定义如下：,实值期权、平价期权与虚值期权,2018/11/20,12,（三）期权的时间价值（外在价值）,1、期权时间价值：在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。2、时间价值对双方的影响对期权卖方：反映了期权交易的时间风险，期权有效期越长，风险也就越大，因而
5、期权售价也就越高。对期权买方：反映期权内在价值在未来增值的可能性，到期之前时间越长，越能找到一个好的价格履约买卖标的物，所以期权剩余有效期越长，其时间价值也就越大。,3、时间价值分析（1）当S=临界点，这时内在价值=0，期权费低，将来标的价在实值与虚值之间波动大，给期权多头行权带来收益机会大，所以时间价值大。（2）期权处于实值越大，内在价值越高，期权费越高，虽然多头可行权，但行权收益减去期权费后获利很小，所以时间价值小。（3）期权处于虚值越大，虽然内在价值为0，期权费低，但多头行权获利机会小，所以时间价值小。结论：对无收益资产，在期权的平价点，即S=Xe-r(T-t)，内在价值为0,时间价值最
6、大；当S-Xe-r(T-t)的绝对值越大，时间价值就越小，用图形表示为：,时间价值S图10.3 无收益资产看涨期权时间价值与(S-X e-r(T-t)的关系,Xe-r(T-t),3、影响时间价值的因素 （1）期权剩余有效期； （2）标的资产价格波动率； （3）期权的时间价值受内在价值的影响，在期权平价点时间价值达到最大，并随期权实值量和虚值量增加而递减,2018/11/20,16,4、举例说明当S=Xe-r(T-t)时,时间价值大；当|S-Xe-r(T-t)|大时,时间价值小。 无收益的标的当前价S=9.05， T-t=1年，r=10%，考察X1=10元和X2 =8元的两个欧式看涨期权。两期权
7、内在价值：S-X1e-r(T-t) =0，S-X2e-r(T-t) =1.81元.因为期权1标的资产当前价格处于内在价值的临界点上，所以期权1的时间价值应大于期权2的时间价值。下面分ST在涨、跌、平三种情况说明这一事实。设期权1时间和期权2时间价值都是2元，则两期权价格分别是C1=2元，C2=3.81元。,观察在T时刻标的价各种不同情况的时间价值 （1） ST =14元，两个期权的多头都会行权，获利分别为，期权1：14-10-2e0.1=1.79元；期权2：14-8-3.81e0.1=1.79元。 （2） ST =10元，两个期权的多头可以行权，但获利分别为，期权1：10-10-2e0.1=-
8、2.21元；期权2：10-8-3.81e0.1=-2.21元。 （3） ST =8元，两个期权的多头不会行权，获利分别为，期权1：-2e0.1=-2.21元；期权2：8-8-3.81e0.1=-4.12元。 可见，在三种情况下期权1都优于期权2，由此：期权1的时间价值期权2时间价值。,二、期权价格的影响因素,记欧式看涨、看跌期权的价格分别是c，p；美式看涨、看跌期权的价格分别是C、P。 （一）标的资产的市场价格与期权的协议价格X如果ST，则C，而P；如果X，则C，而P 即: （1）对看涨期权，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。 （2）对看跌期权，标的资产的价格越低、协议价
9、格越高，看跌期权的价格就越高。其中资产价格是最重要的因素。因为这一因素影响大，而且通过买卖资产就可以掌控这一因素，可以与期权一起构造资产组合，达到期权与资产之间互相对冲的目的。,这些因素敏感性作用问题用一个例讨论：ST，则C，而P 1、这一结论只是定性的结论，方向性的结论，具体影响有多大? 用Delta()表示期权价格关于标的资产价格的变化率，它衡量标的资产价格的单位变动导致的期权价格变动的程度。c=limc/s=dc/dsp=limp/s=dp/ds 2、用B-S公式计算无收益资产欧式期权价delta值,3、应用 用于期权与标资产风险的对冲原理，确定交易方向和数量： （1）对冲原理 要实现期
10、权与标的资产完全对冲，必须满足以下风险中性原理NC*c +NS*S=0NP*p + NS*S=0由以上式子，构造期权与标的资产的Delta中性组合，从而确定期权和标的资产的数量的交易方向。,（2）数量 NS/NC=-c/S-C0。以上两式式子表明，每单位看涨期权需要C单位标的资产对冲其风险；每单位标的资产需要1/ C单位看涨期权对冲其风险。每部位看跌期权需要P单位标的资产对冲其风险；每单位标的资产需要1/ P单位看跌期权对冲其风险。 （3）交易方向以上两式式子表明，c与S交易方向相反；p与S交易方向相同。,（二）期权的有效期 1、美式期权有效期越长期权价格越高 由于美式期权，可以在有效期内任何
11、时间执行，所以有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。 2、欧式期权有效期与期权价格之间的关系复杂 由于欧式期权只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。所以欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。,（三）标的资产价格的波动率,标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。 由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。,（四）无风险利率,1、无风险利
12、率r：r是购买期权的机会成本，即期权费的折现率。 2、r的增加会产生两种效应（1）r增加，标的预期收益增加，看涨的倾向增加； （2）r增加，折现率增加，预期收益的现值会降低。,3、r对看跌期权价格的影响如果r增加，则两种效应都使看跌期权的价格将减少。 4、r对看涨期权价格的影响r增加时，由于效应（1）的作用比效应（2）的作用大得多。所以当r增加时，看涨期权的价格增加。,（五）标的资产的收益,由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此： 在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。,期权价值的影响因素汇总,2018/11/20,28
13、,第三节 期权价格特征 一、欧式期权价格特征 （一）欧式看涨期权 1、资产无收益 欧式看涨期权价格取值范围 证明：考虑三个组合： 组合A：一份标的资产； 组合B：一份欧式看涨期权+现金K*exp-r(T-t)； 组合C：一份标的资产+现金K*exp-r(T-t) ； 在T时刻三组合的价值有：， ， 显然有 由无套利基本引理，在t时刻有,29,2、资产有现金D收益 以上三个组合中，A和C都有现金D收益，所以B应该加上D，所以：,30,（二）欧式看跌期权 1、资产无收益 此时欧式看跌期权价格取值范围如下证明：考虑三个组合： 组合A：现金K*exp-r(T-t) ； 组合B：一份欧式看跌期权+一份标
14、的资产； 组合C：一份标的资产+现金K*exp-r(T-t) ； 在T时刻三组合的价值有：显然有 由无套利基本引理，在t时刻有,31,2、资产有现金D收益 以上三个组合中，B和C都有现金D收益，所以A应该加上D，所以,32,（三）平价关系 1、用无套利原理分析 （1）资产无收益 欧式看涨看跌期权有平价关系 证明：(1)用无套利原理证明，考虑两个组合： 组合A：一份欧式看涨期权+现金K*exp-r(T-t) ； 组合B：一份欧式看跌期权+一份标的资产； 在T时刻两组合的价值有： 由无套利基本引理，在t时刻有 （2）资产有现金D收益 以上两个组合中，B有现金D收益，所以A应该加上D，所以：,33,
15、2、用风险中性原理证明，考虑看涨期权与看跌期权在T时刻的回报（价值）：,34,对上式两边都用无风险利率r贴现当前时刻t就有：,二、美式期权价格特征（只讨论资产无收益，资产有收益情况复杂） （一）美式看涨期权1、资产无收益 结论1：提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。 （1）直观分析： （2）理论证明： 考察以下两个组合在三个时刻tT的价值 组合A：一份美式看涨期权+现金K*exp-r(T-t) ； 组合B：一份标的资产。,35,当提前到时刻行使期权，A在价值 ：当不提前，到期才行使期权，A在T价值： 即提前行使期权，会使A的价值变小，给别人套利机会，所以提前执行无收益资产的美式期权是不
16、明智的。 结论2：C=c，且,36,2、资产有现金收益D（自习）郑振龙教材认为：当资产有现金收益D，使提前行权明智，设时刻行权，则资产收益只有从t到的人，其现值的D，美式看涨期权价值范围是其中，X只从贴现到t，贴现率是r 。处理结果不实用，因为在t时很难判断在什么样的行权。张元萍金融衍生工具教程，首都经济贸易大学出版社（2007）认为：提前执行有收益资产的美式看涨期权是明智的，该期权随时都有可能行权，把期权价值下限定为（实用）。,37,（二）美式看跌期权 1、资产无收益 结论1：提前执行无收益资产的美式看跌期权是明智的。 （1）直观分析： （2）理论证明：考察以下两个组合在三个时刻tT的价值
17、组合A：一份美式看跌期权+一份标的资产； 组合B：现金K*exp-r(T-t) 。,38,当提前A时： 当不提前执行A时： 即提前执行A，不会使A的价值变小，别人不套利机会，所以提前执行无收益资产的美式看跌期权是明智的。所以P=p。张元萍处理：美式看跌可提前执行，所以有美式看跌期权价格取值范围结论2：P=p。,39,2、资产有现金D收益（自习） 以上三个组合中，A和C都有现金D收益，所以B应该加上D，所以：,40,例：考虑一个不付红利的股票欧式看涨期权，此时股票价格为 $51，执行价格为$50，距到期日还有六个月，即 年，无风险年利率为 12。所以，该期权价格的下限为,美元,例：考虑一个不付红
18、利股票的欧式看跌期权，股票价格为S=$28，执行价格为X=$30，距到期日还有三个月，即T-t=0.25年，无风险年利率为r=10。所以期权价格的下限为=1.26 美元。,期权价格上下限汇总,2018/11/20,43,三、期权价格曲线的形状,（一）美式和欧式看涨期权价格（C和c）曲线（以C或c为纵轴，以标的当前价格为横轴） 我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S，下限为max 。期权价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在S=Xe-r(T-t)时最大；当S趋于0和时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于0和SX e-r(T-t)。特别
19、地，当S=0时，C=c=0。,此外，r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如下图所示：,无收益资产欧式、美式看涨期权价格曲线图,46,期权价格曲线的形状,（1）期权价格=内在价值+时间价值。何处最大？最小？ （2）上限=S；下限=内在价值=max （3）当S趋于无穷大时，时间价值和内在价值的趋势？ （4）当S趋于0，时间价值和内在价值的趋势？,（二）看跌期权价格曲线,1.欧式看跌期权价格曲线 我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为 ，下限为 。当 时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下
20、限，当 时，欧式看跌期权内在价值为0，其期权价格等于时间价值。当S= 时，时间价值最大。当S趋于0和时，期权价格分别趋于 和0。特别地，当S=0时， 。,无收益资产欧式看跌期权价格曲线图,49,期权价格曲线的形状,2.美式看跌期权价格曲线,对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为X，下限为X-S。但当标的资产价格足够低时，提前执行是明智的，此时期权的价值为X-S。因此当S较小时，看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值X-S是重合的。当S=X时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如下图所示。,美式看跌期权价格曲线 （特点：因提前执行是明智的，所以当S较小时，价格曲线收敛于下限）x 上
21、限美式看跌期权价格下限、内在价值 时间价值0 x s,四、看涨期权与看跌期权之间的平价关系,（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 1.无收益资产的欧式期权 （1）用无套利原理分析，考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权+现金 组合B：一份欧式看跌期权（有效期和协议价相同）+一单位标的资产,在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即： （10.16） 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。 如果式（10.16）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（10.16）成立。
22、,(2)用风险中性原理分析，考虑看涨期权与看跌期权在T时刻的回报（价值）：,54,对上式两边都用无风险利率r贴现到t就有：,2.有收益资产欧式期权,在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为 ，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：（10.17）,（二）美式看涨期权和看跌期权关系,只讨论资产无收益情况（资产有收益美式期权较复杂） 1.无收益资产美式期权C-P的上下界 （1）C-P的上界 由于Pp,C=c P+Sp+S=c+Xexp(-r(T-t)=C+Xexp(-r(T-t) 因此：即 （10.18）,2、C-P的下界 考虑以下两个组合： 组合A：一份欧式看
23、涨期权+金额为X的现金 组合B：一份美式看跌期权+一单位标的资产,如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为 max(ST, X) ，而此时组合 A 的价值为 因此组合A的价值大于组合B。 若美式期权在时刻提前执行，则在时刻 ，组合B的价值为X，而此时组合A的价值 。 因此组合A的价值也大于组合B。 总之，在期权的期限内都有组合A价值组合B价值,因此,在当前有： 又由于c=C，我们有：即 。 结合式（5.18），我们可得：（10.19） 这就是美式看涨期权和看跌期权的平价关系 。 问题：为什么在这一问题的证明过程中，要保证整个合约期有：A价值B价值，才能保证当前有：A价值B价值,3.有收益资产美式期权（自习）,只要把组合A的现金改为D+X， S-D-XC-P 由资产有收益的欧式平定理 P+Sp+S=c+Xexp(-r(T-t)+D=C+Xexp(-r(T-t)+D (第二等式考虑把资产收益分离到现金中) 就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t） (10.20),作业： P186，第2、3、4题,2018/11/20,61,
