1、第六讲 错排问题,考虑如下问题:某人写了5份信与5个信封,将信随便乱装入信封(每个信封装一封信),问无一匹配的装法是多少?,这个问题实质上就是一个错排问题,6.1 错排问题,当,时,的全排列只有一个,它不是错位.,所以,当,时,的全排列有2个,和,前者不是错位,后者是错位.所以,当,时,的全排列有6个,前4个不是错位,后2个是错位.所以,6.1 错排问题,n个元素依次给以标号1，2，n。n个元素的全排列中，求每个元素都不在自己原来位置上的排列数。,设 为数 在第 位上的全体排列，=1，2，n。因数字 不能动，因而有：,同理,6.1 错排问题,每个元素都不在原来位置的排列数为,又记为,6.1 错
2、排问题,例 在一次聚会上，位男士将他们的帽子寄存衣帽 间有多少种方法使得这些帽子被返还时分别满足下 列条件？,（）没有男士收到自己的帽子；,（）至少一位男士收到自己的帽子；,（）至少两位男士收到自己的帽子,答：,（）,（）,（）,6.1 错排问题,例 数1，2，9的全排列中，求偶数在原来位置上，其余都不在原来位置的错排数目。,解：实际上是1，3，5，7，9五个数的错排问题，总数为：,6.1 错排问题,例 在8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中,求使A,C,E,G四个字母不在原来上的错排数目。,解: 8个字母的全排列中,令 分别表A,C,E,G在原来位置上的排列，则错排数为：,6.1
3、 错排问题,例 求8个字母A,B,C,D,E,F,G,H的全排列中只有4个 不在原来位置的排列数。,解：8个字母中只有4个不在原来位置上，其余4个字母保持不动，相当于4个元素的错排，其数目为,故8个字母的全排列中有4个不在原来位置上的排列数应为：C(8,4)9=630,6.1 错排问题,考虑极限,它表明的是我们随机地选择,的一个全排列是一个错排列的概率.,6.1 错排问题,例 设有n册书分给n个学生，之后又将书收回重新分 给学生问有多少种方式分配这些书使得没有一个学 生两次得到同一本书,解：,第一次分有,种方法,第二次分配，由题义知就是一个错排，,所以有,种方法,所求方式为,6.1 错排问题,
4、定理,证明:,的错排,可以分为互不,相容的两种类型;,(1) 对于,令,由于,故选取,的方法共有,种.,又由于,的值已定,故将剩下的,进行错排列,个数由,故这样的错排列个数为,6.1 错排问题,由乘法法则知,此类型包含的错排列数为,(2) 对于,令,由于,故选取,的方法共有,种.,但这时只有,的值已定,且,故将剩下的,个数由,作错排,其错排数为,由乘法法则知,此类型包含的错排列数为,由于这两种类型互不相容,由加法法则即证,6.1 错排问题,1. 有限制排列,解设出现xxxx的排列的集合记A1， |A1|= =60;设出现yyy的排列的集合记A2， | A2|= =105；,1!3!2!,!,4
5、!1!2!,7!,例 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy，zz图象的排列。,6.2 有限制排列和棋盘多项式,设出现zz的排列的集合记为A3,| A3|= =280；,4!3!,8!,|A1A2|= =12； |A1A3|= =20；|A2A3|= =30； |A1A2A3|=3!=6；全排列的个数为： =1260； 所以：|A1A2A3|=1260(60+105+280)+(12+20+30)6=871,4!,2!,5!,3!,6!,4!,9!,2!3!4!,6.2 有限制排列和棋盘多项式,例 在整数,的无重全排列,中,要求,试求全体排列数,解:,问题等价于在排列中,
6、数,不能排在数,之前,即不允许出现,中任何一种形式.,用,表示所有无重全排列的集合,并设性质,表示,在全排列中具有,形式的这一性质,令,6.2 有限制排列和棋盘多项式,令,则,6.2 有限制排列和棋盘多项式,例 8个小孩围坐在旋转木马上,问有多少种变换坐位的 方法,使得每个小孩前面坐的都不是原来的小孩?,表示所有无重圆排列的集合,则,12,3,4, ,8的圆排列,1,23,4, ,8的圆排列,2,3,4,81的圆排列,解:用,6.2 有限制排列和棋盘多项式,2棋子多项式,n个不同元素的一个全排列可看做n个相同的棋子在nn的棋盘上的一个布局。布局满足同一行（列）中有且仅有一个棋子,x,x,x,x
7、,x,如图所示的布局对应于排列41352。,行:全排列中第几个数 列:全排列中排哪个数,6.2 有限制排列和棋盘多项式,可以把棋盘的形状推广到任意形状：,r1( )=1，,r1( )=2，,r1( )=2，,令r k（C）表示k个棋子布到棋盘C上的方案数,要求 每行每列只有一个棋子。如：,r2( )=0，,r2( )=1。,6.2 有限制排列和棋盘多项式,定义 设C为一棋盘，称R(C)= rk(C) 为C的棋盘多项式。 规定 r0(C)=1，包括C=时。,k=0,n,R( ),R( ),R( ),R( ),R( ),6.2 有限制排列和棋盘多项式,设Ci是棋盘C的某一指定格子所在的行与列都去掉
8、后所得的棋盘；Ce是仅去掉该格子后的棋盘。 在上面定义下，显然有rk(C)=rk1(Ci)rk(Ce)，,即对任一指定的格子，要么布子，所得的 方案数为 rk1(Ci)；要么不布子，方案数为 rk(Ce)。,设C有n个格子，则 r1(C)n r1(C)r0(Ci) + r1(Ce)， r1(Ce)n1 r0(Ci)1故规定 r0(C)1是合理的,6.2 有限制排列和棋盘多项式,从而 R(C)= rk(C) xkrk1(Ci)+ rk(Ce)xk= x rk-1(Ci)xk-1 + rk(Ce)xkxR(Ci) + R(C e) (3),n,n,n,k=0,k=0,k=1,n,k=0,6.2 有
9、限制排列和棋盘多项式,例如：,R( )=1+ x；,R( )= xR( )+ R( )= x+ (1+ x)=1+2x；,R( )= x R( ) + R( )= x(1 + x )+1 + x=1+ 2x +x2,6.2 有限制排列和棋盘多项式,如果 C由相互分离的C1，C2组成，即C1 的任一格子所在的行和列中都没有C2的格 子。则有：rk(C) = ri(C1) rki(C2),i=0,k,故 R(C) = ( ri(C1) rki(C2) ) xk= ( ri(C1) xi) ( rj(C2) xj ),j=0,n,n,k,n,i=0,i=0,k=0, R(C) = R(C1) R(C
10、2) (4),6.2 有限制排列和棋盘多项式,利用（）和（），可以把一个比较复杂的棋盘逐步分解成相对比较简单的棋盘，从而得到其棋盘多项式。,例 R ( ) = xR( )+R( )= x(1+ x)2 +(1+2x)2=1+ 5x +6x2 + x3,*,R( ) = xR( ) + R( )= 1+6x +10 x2 +4x3,*,6.2 有限制排列和棋盘多项式,有禁区的排列,例 设对于排列P=P1 P2 P3 P4，规定P1，P、， P2、， P42。,1 2 3 4,P1,P2,P3,P4,1,2,4 3,1 4 3,2,2 3,4,3,1 2,1 4,这样的排列对应于有禁区的布子。如右
11、图有影线的格子表示禁区。,6.2 有限制排列和棋盘多项式,定理 设 ri 为 i个棋子布入禁区的方案数，i=1,2,3,n。有禁区的布子方案数（即禁区内不布子 的方案数）为,r0 n! r1(n1)! r2(n2)!(1)nrn(1)k rk ( nk)!,k=0,n,证 设Ai 为第i个棋子布入禁区，其他棋子 任意布的方案集，i =1 , 2 , 3, ,n。,6.2 有限制排列和棋盘多项式,则所有棋子都不布入禁区的方案数为A1A2Ann！ (1)k Ai,I(n , k),n,iI,k=1,而 Ai正是k个棋子布入禁区，其他n - k个棋子任意布的方案数。由假设可知等于rk(nk)！(注意
12、：布入禁区的棋子也要遵守无对攻规则）.所以 A1A2An=n!+ (1)k rk ( nk)!,I(n , k),iI,k=1,n,6.2 有限制排列和棋盘多项式,上例方案数为4!6(41)!11(42)!7(43)!1(4)!4,例 ，四位工人，A，B， C，D四项任务。条件如下： 不干B；不干B、C； 不干C、D；不干D。 问有多少种可行方案？,6.2 有限制排列和棋盘多项式,解 由题意，可得如下棋盘：,其中有影线的格子表示禁区。,A B C D,1 2 3 4,R( )=1+6x+10x2+4x3,方案数=4!6(41)!+10(42)!4(43)!+0(44)!=4,6.2 有限制排列
13、和棋盘多项式,例 错排问题 错排问题对应的是nn的棋盘的主对角线上的格子是禁区的布子问题。,C =,R( C ) = ( 1 + x )n = ( ) xk 令rk = ( ),n,k=0,n,k,n,k,故R(C)中的xn : n! + (1)k ( ) (nk)!= n! (1)k =Dn,k=1,n,n,k=0,k!,1,k,n,6.2 有限制排列和棋盘多项式,例 四对夫妇前来参加宴会,围圆桌而坐,男女相间,夫妇不相邻,问有多少种入坐方法数?,解:,设女士,其丈夫依次为,先让女士入坐,其方式是6种.女士入坐后再让男士 入坐,下面计算男士入坐的方法数.,1,2,3,4,1,2,3,4,6.2 有限制排列和棋盘多项式,
