1、1,1,第二章 母函数与递推关系,组合数学,马昱春 MA Yuchun ,Project I,全排列生成算法的研究和实现 10分，必作 C/C+ or Java 11月27日前网络学堂提交 目标 Research and Novelty（每组1-3人） 在实现和研究4种全排列生成算法基础上进行创新 算法效率和复杂度分析或理论证明 新的算法, 有关排列生成的任何相关内容的创新点 Paper (80%)： 3-6页 代码以及可执行文件 (20%),3,母函数,定义2-1 对于序列a0, a1, a2, 构造一函数G(x)= a0+a1x+a2x2+,称G(x)为序列a0, a1, a2的母函数。,
2、a0,a1,a2,a3,a4,a5,x0,x1,x2,x3,x4,x5,母函数就是一列用来展示一串数字序列的挂衣架。 赫伯特维尔夫,拉普拉斯 1812年,4,2.8 母函数和递推关系应用举例,例：求图2-8-6所示的n级网络的等效电阻 。,所谓等效电路，相当于图2-8-6中虚线所包围的块用一电阻 取代，使在两端点 和 之间的效果一样。,4,5,2.8 母函数和递推关系应用举例,Rn可以作为由Rn-1等效电阻如图2-8-7所示的方式串并联构成的.,递推关系,5,6,令,因此,令,6,7,将 代入 得到,特征方程是,7,8,2.8 母函数和递推关系应用举例,解方程组,8,9,2.8 母函数和递推关
3、系应用举例,例：设有地址从1到n的单元，用以纪录一组信息。这个信息的每个元素都占用两个单元，而且存放的地址是完全随机的，因而可能出现两个存放信息单元之间留下一个空单元无法存放其他信息，求这n个单元留下空单元的平均数。,设这个平均数为 。,存储单元如上图，设某一信息占用了第i+1，i+2两个单元，把这组单元分割成两个部分，一是从1到i，另一从i+3到n。,9,10,（2-8-13）式是变系数递推关系，可改为,10,由于用相邻两个单元的几率相等，,11,设,11,12,12,13,2.8 母函数和递推关系应用举例,例6：设有n条封闭的曲线，两两相交于两点，任意三条封闭曲线不相交于一点。求这样的n条
4、曲线把平面分割成几个部分？设满足条件的n条封闭曲线所分割成的域的数目为，其中 条封闭曲线所分割成的域的数目为,14,2.8 母函数和递推关系应用举例,第n条封闭曲线和这些曲线相交于 个点，这 个点把第n条封闭曲线截成条弧，每条弧把 个域中的每个域一分为二。故新增加的域数为,15,利用递推关系 得,对应的特征方程为,三重根,计算机界的精灵,一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，n，有多少个不同的出栈序列?,1，2，3, 4,1,2,3,4,17,计算机界的精灵,一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，n，有多少个不同的出栈序列?,第一次为空时进行分步？,1,2,3,4,第一次为空时有k个元素出
5、栈，即1出栈的序号; 将1n的序列分成两个序列，其中一个是1k-1共k-1个元素 另外一个是k+1n，共n-k个元素 设f(n)是n个元素的出栈序列数 f(n)= f(k-1)* f(n-k) k =1n,f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0),分两块的策略？,二叉树,n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？ 根肯定会占用一个结点，设T(i, j)表示根的左子树含i个结点，右子树含j个结点 除了根之外剩余的n-1个结点可以有如下的分配方式，T(0, n-1),T(1, n-2),.T(n-1, 0)，。 设问
6、题的解为f(n)，假设f(0) = 1，那么f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5。,f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0),Catalan数,1751年欧拉在与哥德巴赫的通信中提出一个问题： 正n边形化分为不重叠的三角形有多少种方法？,C(n) = C(0)*C(n-1) + C(1)*C(n-2) + .+ C(n-2)*C(1) + C(0)*C(n-1),回顾历史,1758年，Johann Segner 给出了欧拉问题的递推关系1838年，研究热潮 Gabriel Lame给出完整
7、证明和简洁表达式 Eugne Charles Catalan在研究汉诺塔时探讨了相关问题, 解决了括号表达式的问题. 1900 Eugen Netto在著作中将该数归功于Catalan.,历史回顾,1988年以及1999年的文献研究表明实际上最初发现Catalan数的也不是Euler， 1753欧拉在解决凸包划分成三角形问题的时候，推出了Catalan数。 1730年我国清朝时期的明安图（蒙古人）比Catalan更早使用了Catalan数，见割圜密率捷法。后来他的学生在1774年将其完成发表。,Catalan数,比利时的数学家欧仁查理卡塔兰 (18141894)命名 OEIS A0001081
8、, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, .,C(n) = C(0)*C(n-1) + C(1)*C(n-2) + .+ C(n-2)*C(1) + C(n-1)*C(0),C(n) = C(0)*C(n-1) + C
9、(1)*C(n-2) + .+ C(n-2)*C(1) + C(n-1)*C(0),25,模型转换,求(0,0)点到(m,n)点可接触但不可穿过对角线x=y的格路的数目; 限制线要向下或向右移一格，得xy=1; 问题转化为求(0,1)到(m,n)不接触x-y=1的格路数。 (0,0)关于xy=1的对称点为(1,-1). 利用上一问的方法所求格路数为,(m,n),y=x,(1,-1),x-y=1,(0,0),栈与格路,Dyck Path,限制线要向下或向右移一格，得xy=1; 问题转化为求(0,1)到(n, n)不接触x-y=1的格路数。 (0,0)关于xy=1的对称点为(1,-1). 利用上一
10、问的方法所求格路数为,Cn =,=,28,母函数证法,母函数,c(x)2=C0C0+(C1C0+C0C1)x+(C2C0+C1C1+C0C2)x2+,C1,C2,C3,C0=1,c(x)=C0+C1x+C2x2+,c(x)2=C1 + C2x + C3x2+,Cn =,问题等价,如果失去括号，运算将会怎样,这个经典的括号匹配问题一共有多少种方式？ 用Cn表示长度2n的Dyck word的个数。 这里Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的从第一个字符开始的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的Dyck words: XXXYYY XYXXYY XYXYXY
11、 XXYYXY XXYXYY,Dyck语言,Dyck语言是计算机领域很有意思的一种语言。在计算机科学、数学、语言学的形式化语言理论中，Dyck语言是一个包含了括号、的平衡字符串的语言。 对于那些必须要有正确的括号嵌套序列的表达式，它在解析的过程中扮演了很重要的角色，比如算数和代数表达式。 它是在数学家沃尔特冯戴克死后被命名的。,Hands across the table,有n个人围在圆桌参加晚宴，他们两两直接想通过握手相互认识。但是可能影响别人，所以他们的手不能有交叉，那么一共有多少种握手的方式？ 结果是Catalan数。这就是著名的“Hands across the table”问题。,C
12、atalan数,20世纪研究的热潮 M.Kuchinski找到31种问题结构都对应Catalan数 到2010年8月21日，R. Stanley找到190种不同问题结构都可以用Catalan数来计数。,卡特兰数，计算机界的精灵,36,37,2.7 指数型母函数,二项式定理C(n,k)的生成函数 其系数表示从n项中选择k项的组合数 展开式中根据标号的不同可以进行排列.所有关于x的排列应为k!C(n,k)因此，如果要计算排列，而非组合时，应采用如下的通项,x 1 x x x 1,0 1 2 k-1,38,2.7 指数型母函数,可重排列： 设有n个元素，其中元素a1 重复了n1 次，元素a2重复了n
13、2次，ak重复了nk次，n1+n2+.+nk = n， 从中取r个排列，求不同的排列数,如果 ，则是一般的排列问题。 现在由于出现重复，故不同的排列计数便比较复杂。先考虑n个元素的全排列，若n个元素没有完全一样的元素，则应有n!种排列。若考虑ni个元素ai的全排列数为ni!，则真正不同的排列数为,39,2.7.2 解的分析,先讨论一个具体问题：若有8个元素，其中设 重复3次， 重复2次， 重复3次。从中取r个组合，其组合数为 ，则序列的母函数为,40,从 的系数可知，这8个元素中取4个组合，其组合数为10。这10个组合可从下面展开式中得到,x1x33为一个x1 ，3个x3的组合， x22x32
14、为两个x2 ，两个x3的组合，以此类推。,41,2.7.2 解的分析,若研究从中取4个的不同排列总数，以 对应的两个两个的不同排列为例，其不同排列数为,即六种。同样，1个 ,3个 的不同排列数为,即 以此类推。,42,故从(2-7-2)式可得问题的解，其不同的排列数为,43,为了便于计算，利用上述特点，形式地引进函数,从(2-7-3)式计算结果可以得出：取一个的排列数为 ，取两个的排列数为 取3个的排列数为 ，取4个的排列数为 ，如此等等。把式改写成下面形式便一目了然。,44,母函数指数型母函数,求解组合问题,求解排列问题,是1,1,1的指数型母函数,45,2.7.3 指数型母函数,综合上述可
15、得如下两个结论：,(a) 若元素 有 个，元素 有 个，元素 有 个，由此；组成的n个元素的排列，不同的排列总数为,其中,(b) 若元素 有 个，元素 有 个，元素 有 个，由此；组成的n个元素中取r个排列，设其不同的排列数为 。则序列 的指数型母函数为,46,2.7.3 指数型母函数,指数型母函数解决有重元素的排列具有优越性。,例1：求由2个a，1个b，2个c组成的不同排列总数。,不同的排列总数为,例2：由1，2，3，4四个数字组成的五位数中，要求数1出现次数不超过2次，但不能不出现； 2出现次数不超过1次； 3出现次数可达3次，也可以不出现；4出现次数为偶数。求满足上述条件的数的个数。,4
16、7,数1出现次数不超过2次，但不能不出现； 2出现次数不超过1次； 3出现次数可达3次，也可以不出现；4出现次数为偶数,设满足上述条件的r位数为 ，序列 的指数型母函数为,由此可见满足条件的5位数共215个。,48,2.7.4 举例,例3: 求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数的个数，要求其中3，7出现的次数为偶数，其他1，5，9出现次数不加限制。设满足条件的r位的个数为ar ，则序列a1,a2,a3对应的指数型母函数为,49,由于,2.9 错排问题,n个有序的元素应有n!个不同的排列，如若一个排列使得所有的元素不在原来的位置上，则称这个排列为错排；有的叫重排。 A derangement
17、 is a permutation of the elements of a set such that none of the elements appear in their original position First considered by Pierre Raymond de Montmort in 1708; he solved it in 1713,1 2的错排是唯一的，即2 1。1 2 3的错排有3 1 2，2 3 1。这二者可以看作是1 2错排，3分别与1，2换位而得的。,2.9 排错问题,1 2 3 4的错排有,4 3 2 1，4 1 2 3，4 3 1 2， 3 4
18、1 2，3 4 2 1，2 4 1 3， 2 1 4 3，3 1 4 2，2 3 4 1。,第一列是4分别与123互换位置，其余两个元素错排。,1 2 3 44 3 2 1， 1 2 3 43 4 1 2， 1 2 3 4 2 1 4 3,第2列是4分别与312（123的一个错排）的每一个数互换,3 1 2 44 1 2 3， 3 1 2 43 4 2 1， 3 1 2 4 3 1 4 2,第三列则是由另一个错排231和4换位而得到,2 3 1 44 3 1 2， 2 3 1 42 4 1 3， 2 3 1 4 2 3 4 1,2.9 排错问题,上面的分析结果，实际上是给出一种产生错排的结果。
19、,设n个数1，2，n错排的数目为 ，任取其中一数 ，数 分别与其他的n-1个数 之一互换，其余n-2个数进行错排，共得 个错排。 另一部分位数 以外的n-1个数进行错排，然后 与其中每个数互换得 个错排。,（2-9-1）是一非常系数的递推关系，下面提供一种解法。,由于 故得关于 得递推关系,54,令,可得,56,母函数指数型母函数,求解组合问题,求解排列问题,是1,1,1的指数型母函数,57,57,2.8 母函数和递推关系应用举例,例：由红球两个，白球、黄球各一个，试求有多少种不同的组合方案。,设r，w，y分别代表红球，白球，黄球。,58,58,由此可见，除一个球也不取的情况外，有：,（a）取
20、一个球的组合数为三，即分别取红，白，黄，三种。,（b）取两个球的组合数为四，即两个红的，一红一黄，一红一白，一白一黄。,（c）取三个球的组合数为三，即两红一黄，两红一白，一红一黄一白。,（d）取四个球的组合数为一，即两红一黄一白。,令取r的组合数为 ，则序列 的母函数为,共有1+3+4+3+1=12种组合方式。,59,59,2.8 母函数和递推关系应用举例,例3：n个完全一样的球放到m个有标志的盒子中，不允许有空盒，问共有多少种不同的方案？其中,由于不允许有空盒，令n个球放到m个有标志的盒子的方案数为an，序列an对应的母函数为G(x)。则,n个球,n-1个空隙,r-1个隔板,用r-1个隔板插
21、入到球之间的n-1个空隙，方案数C(n-1,r-1),60,60,因,故二项式 中 项系数为,即,James Stirling(1692-1770),Stirlings approximation (Stirling估计式)Stirling Permutation 多重集 (1, 1, 2, 2,k, k)的排列 要求两个重复数字之间的数字都要大于该数 (1, 1, 2, 2) 1221, 1122, 2211,n! ,Stirling Numbers,Stirling numbers of the first kind,Stirling numbers of the second kind,
22、第一类Stirling数,第二类Stirling数,第一类Stirling数,n个人跳集体舞，分成m个圆环的方法数目。 A, B, C, D四个人跳舞，组成2个圆排列的方法 A,B,C,D A,C,B,D A,D,B,C A,B,C,D A,B,D,C B,A,C,D B,A,D,C C,A,B,D C,A,D,B D,A,B,C D,A,C,B 第一类Stirling数s(n,k) s(4,2)=11,第一类Stirling数,第一类Stirling数s(n,m) s(n,0)=0, s(1,1)=1 s(n+1,m)=s(n, m-1)+n s(n, m) 第n+1个人可以单独自己跳舞，其
23、他n个人构成m-1个圈 第n+1个人加入到别的队伍中，可以选择第i个的左边，所以有n个不同的位置，而其他n个人有s(n, m)种不同的组圈方法,s(n+1,m)=s(n, m-1)+n s(n, m),=s(n,0)+s(n,1)x+s(n,2)x2+s(n,n)xn,第一类Stirling数,Falling factorial,Unsigned Stirling numbers of the first kind,Signed Stirling numbers of the first kind,Rising factorial,=s(n,0)+s(n,1)x+s(n,2)x2+s(n,n)
24、xn,第一类Stirling数,Signed Stirling numbers of the first kind,=s(n,0)+s(n,1)x+s(n,2)x2+s(n,n)xn,xk的系数 s(n,k-1)-ns(n,k)=s(n+1,k),66,定义: n个有区别的球放到m个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数用 或者 表示,称为第二类Stirling数.例如红,黄,蓝,白四种颜色的球,放到两个无区别的盒子里,不允许有空盒,其方案有如下七种:,其中r表红球,y表黄球,b表蓝球,w表白球,2.10 Stirling数,67,s(n,k)和S(n,k),s(n,k)表示把n个人分成k
25、组，每组内再按特定顺序围圈。S(n,k)表示把n个不同的球放入k个相同的盒子1. A,B,C,D 2. A,C,B,D 3. A,D,B,C 4.A,B,C,D 5. B,A,C,D 6.C,A,B,D 7.D,A,B,C,68,n个有区别的球放到m个相同的盒子中,要求无一空盒?,相当于把n个无区别的球放到r个有标志的盒子，盒子允许空着: C(n+r-1,n)有序拆分的放球模型： n的一个r-分拆相当于把n个无区别的球放到r个有标志的盒子，盒子不允许空着: C(k-1,r-1)无序拆分的放球模型：相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空着，也允许放多于一个球。,1 1,1 1,1
26、1,1 1,n个1,x1个1,的xn项系数。,r-1个门框,n,n-1个空隙,r-1,69,2.10 Stirling数,定义: n个有区别的球放到m个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数称为第二类Stirling数. 定理: 第二类Stirling数S(n,m)有下列性质:,证明: 公式(a),(b),(e)是显然的,只证(c),(d).,70,(c)设有n个不相同的球 从中取 出球 ,其余的 个球,每个都有与b1同盒 ,或不与 同盒两种选择.但必须排除一种情 况,即全体与 同盒,因这时另一盒将是空盒. 故实际上只有 种方案,即,(d)n个球放到 个盒子里,不允许有一空 盒,故必有一盒
27、有两个球,从n个有区别的球中 取2个共有 种组合方案.,71,2.10 Stirling数,定理: 第二类Stirling数满足下面的递推关系,证明: 设有n个有区别的球 从中取一个球设为 .把n个球放到m个盒子无一空盒的方案的全体可分为两类。（a） 独占一盒，其方案数显然为（b） 不独占一盒，这相当于先将剩下的 个球放到m个盒子，不允许空盒，共有 种不同方案，然后将 球放进其中一盒，方案数为,根据加法法则有,第一类,72,2.10 Stirling数,红、黄、蓝、白、绿五个球放到无区别的两 个盒子里。,故共有15种不同的方案。先把绿球取走，余下的四个球放到两个 盒子的方案已见前面的例子。和前
28、面一样用 r，y，b，w分别表示红，黄，蓝，白球，绿 球用g表示，故得表,73,2.10 Stirling数,表 2-10-1,74,Stirling数,n个有区别的球放到m个相同的盒子中,要求无一空盒,其不同的方案数: S(n,m) n个有标志的球放进m个有区别的盒子，无空盒，其方案数是m!S(n,m) 相当于m个有标志的元素取n个做允许重复的排列,75,放球问题总结,n个球放到m个盒子里，依球和盒子是否有区别？是否允许空盒？共有 种状态。,n个球有区别，m个盒子有区别，有空盒,n个球有区别，m个盒子有区别，无空盒,n个球有区别，m个盒子无区别，有空盒,n个球有区别，m个盒子无区别，无空盒,n个球无区别，m个盒子有区别，有空盒,n个球无区别，m个盒子有区别，无空盒,n个球无区别，m个盒子无区别，有空盒,的 项系数。,n个球无区别，m个盒子无区别，无空盒,的 项系数。,76,Project II,Deadline: 14周 12月25日 选做 创新 论文 Topic:,随便,下周三交第二章作业,
