1、组合 Combination,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,情境创设,有 顺 序,无 顺 序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列与组合的概念有什么共同点与不同点？,概念讲解,组合定义:,组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,排列定义: 一般地，从n
2、个不同元素中取出m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.,共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”,不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.,概念讲解,思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,概念理解,构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.,思考三:组合与排列有联系吗?,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线
3、上共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的两个学习小组,共有多少种分法?,组合问题,(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.,1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab , ac , bc,2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
4、素的所有组合.,ab , ac , ad , bc , bd , cd,(3个),(6个),概念理解,从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.,如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:,如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 元素的所有组合个数是：,概念讲解,组合数:,注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来,1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。,abc ， abd ， acd ， bcd .,练一练,不写出所有组合，怎样才能知道组合的个数？,组
5、合,排列,abc bac cab acb bca cba,abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc cdb dcb,你发现了什么?,组合数公式,排列与组合是有区别的，但它们又有联系,根据分步计数原理，得到：,因此：,一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：,第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ,第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ,这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式,概念讲解,组合数公式:,从 n 个不同元中取出m个元素的排列数,概念讲解,例1计算： ,例题
6、分析,例题分析,例2 一位教练的足球队共有17名初级学员， 他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人，问：（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？,练习 (1)凸五边形有多少条对角线？,(2)凸n（ n3）边形有多少条对角线？,例3.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端 点的线段共有多少条？,(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？,例题分析,例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产
7、品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？,说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,练习,按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；,例5、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲
8、、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本.,排列,课堂小结,Homework,(2) In a plane there are 8 points, no three of which are collinear. How many lines do the points determine? (3) 6 boys and 6 girls would like to serve on the homecoming court, which will consist of 3 boys and 2 girls. i) How many different homecoming court
9、s are possible?ii) If a boy David must serve on the homecoming court, how many different homecoming courts are possible?iii) If at least one of two boys David and Paul will serve on the homecoming court, how many different homecoming courts are possible?,(5)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?从
10、中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件，发给三个同学，有多少种分法？,(6) 将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？,(4)在200件产品中，有2件次品，从中抽取5件，问：“其中恰有2件次品”的抽法有多少种？概率是多少？ “其中恰有1件次品”的抽法有多少种？概率是多少？ “其中没有次品”的抽法有多少种？概率是多少？,徐，史，婧，仪,1.在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？,思考,2.从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？,Thank you！,
