1、空间几何体的表面积和体积能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题一、展开图定义一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图二、特殊几何体的定义1.直棱柱：_的棱柱叫做直棱柱2.正棱柱：_的直棱柱叫做正棱柱3.正棱锥：底面是_，并且顶点在底面的_是底面的中心的棱锥叫正棱锥正棱锥的性质：（1）正棱锥的侧棱相等；（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）侧棱、高、底面构成直角三角形4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台正棱台的性质：（1）正棱
2、棱台的侧棱长相等（2）侧面是全等的等腰三角形；（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形三、侧面积与表面积公式1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式(1)设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则直棱柱侧面积计算公式：S 直棱柱侧 ch，即直棱柱的侧面积等于它的_和_的乘积(2)设正 n 棱锥的底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S 正棱锥侧 = .即正棱锥的侧面积等于它的 _和_乘积的一半12 12(3)设正 n 棱台下底面边长为 a、周长为 c，上底面边长为 a、周长为 c，斜高为 h，则正n 棱台的侧面积公式：S 正棱台侧 = .
3、12(+) 12(+)(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即 S 表_.2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式(1)S 圆柱侧 (r 为底面半径，l 为母线长) 2rl(2)S 圆锥侧 (r 为底面圆半径，l 为母线长)rl(3)S 圆台侧 (R、r 分别为上、下底面半径，l 为母线长) (+r)l(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即 S 表S 底S 侧.(5) 若圆锥底面的半径为 ，侧面母线长为 ，侧面展开图扇形的圆心角为 则， l 360rlA3.由球的半径 R 计算球表面积的公式：S 球 .即球面面积等于它的大圆面积的 4 倍42
4、四、体积1.长方体的体积：长方体的长、宽和高分别为 a、b、c，长方体的体积 V 长方体 _.2棱柱和圆柱的体积：(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积，即 V 柱体 _.(2)底面半径是 r，高是 h 的圆柱体的体积计算公式是 V 圆柱 ._3棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为 S，高是 h，那么它的体积 V 锥体 h._(2)如果圆锥的底面半径是 r，高是 h，则它的体积是 V 圆锥 ._4棱台和圆台的体积：(1)如果台体的上、下底面面积分别为 S、S，高是 h，则它的体积是 V 台体 ._(2)如果圆台的上、下底面半径分别是 r、r，高
5、是 h，则它的体积是 V 圆台 ._5球的体积：如果球的半径为 R，那么球的体积 V 球 ._6祖暅原理：幂势既同，则积不容异这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等应用祖暅原理可说明：等_ 、等_的两个柱体或锥体的体积相等7. 球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的_在这两点间的一段劣弧的长度我们把这个弧长叫做两点的球面距离类型一 表面积例 1：(2014江西九江三中高一月考) 已知正四棱台的上、下底面边长分别为 3 和 6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是(
6、)A2 B.52C3 D.72练习 1：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A32 B1616 2C48 D1632 2练习 2：若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的全面积是( )3A3 B3 3C6 D9练习 3：3(2014甘肃天水一中高一期末测试) 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )A. B.3 4C. D2例 2：(2014陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A8 B.8C. D.4 2练习 1：(2014浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面
7、积是( )A90cm2 B129cm2C132cm2 D138cm2练习 2：(2014河南洛阳高一期末测试) 已知圆锥的表面积为 12cm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )A. cm B2cm3C2 cm D4cm3练习 3：(2014浙江理，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A90cm2 B129cm2C132cm2 D138cm2练习 4：(2014陕西汉中市南郑中学高一期末测试)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是_类型二 体积例 3：(2014江西九江三中高一月考)正
8、三棱锥底面三角形的边长为 ，侧棱长为 2，则其3体积为( )A. B.14 12C. D.34 94练习 1：(2014陕西宝鸡园丁中学高一期末测试) 已知正四棱锥PABCD 的底面边长为 6，侧棱长为5，求四棱锥 PABCD 的体积和侧面积练习 2：(2014四川文，4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A3 B2C. 3D1例 4：将长为 a，宽为 b(ab)的长方形以 a 为轴旋转一周，所得柱体的体积为 V1，以 b 为轴旋转一周，所得柱体的体积为 V2，则有( )AV 1V2 BV 1V2CV 1V 2 DV 1 与 V2 的大小关系不确定练习 1：如图，某几何
9、体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A6 3B9 3C12 3D18 3练习 2：一个圆柱的高缩小为原来的 ，底面半径扩大为原来的 n 倍，1n则所得的圆柱的体积为原来的_例 5：在球面上有四个点 P、A、B、C ，如果 PA、PB、PC 两两垂直且 PAPBPCa，求这个球的体积练习 1：体积为 8 的一个正方体，其全面积与球 O 的表面积相等，则球 O 的体积等于_练习 2：平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的2体积为( )A. B4 6 3C4 D6 6 31将一个棱长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小
10、正方体，则表面积增加了( )A6a 2 B12a 2C18a 2 D24a 22正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为( )A. B.2 3C. D.62 2333正四棱柱的体对角线长为 6，侧面对角线长为 3 ，则它的侧面积是_34若一棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为示)是边长为 3、3、2 的三角形，则该圆锥的侧面积为_5(2014沈阳高一检测)已知某几何体的俯视图是如图所示矩形主视图是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，左视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形(1)判断该几何体形状；(2)求该几何体的侧面积 S.6. 若长方
11、体的三个面的面积分别为 ，则长方体的体积为 ；其对角线长为 2,36答案： ，67. 若圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则这个圆锥的体积是 18.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 ，体积为 ，则棱台的高为 5:28314cm基础巩固1. 如果圆锥底面半径为 ，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的全面积为（ ）rA B C D221r213r23r2一个圆台的母线长等于上下底面半径和的一半，且侧面积是 ，则母线长为（ ）A B C D2483轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（ ）A B C D1:2:31:31:44. (2014山东威海市高一期末测试) 某三棱锥的三视图如图所示，
12、该三棱锥的体积为( )A2 B3C4 D65. 已知圆锥的母线长为 8，底面周长为 6，则它的体积是 ( )A9 B9 55 55C3 D355 556. (2014重庆文，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A12 B18C24 D307将半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为_8已知 ABCDA 1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，EF 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点，求四棱锥 A1EBFD 1 的体积能力提升9. 正过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离是球半径 R 的一半，且AB6，BC8 ，AC10，则球的表面积是( )A100 B300C
13、. D. 1003 400310. 一圆锥的底面半径为 4，用平行于底面的截面截去底面半径为 1 的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的( )A. B.6364 116C. D.14 16411.（2014广东揭阳一中高一阶段测试 )如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A. B232C D412. 如图所示，在长方体 ABCDABC D中，截下一个棱锥 CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比13. (2014邵阳一中月考)如图所示，在边长为 52 的正方形 ABCD 中，以 A 为圆心画一2个扇形，以 O 为圆心画一个圆， M、N 、K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆 O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积
