1、第4章 控制系统稳定性,对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。,A. M. Lyapunov于1892年出版专著运动系统稳定性的一般问题，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。,本章的主要内容为,1. 引言,2. 李亚普诺夫意义下稳定性的定义,3. 李亚普诺夫第二法,5. 线性定常离散系统的稳定性,4. 线性连续系统的稳定性,6. 有界输入-有界输出稳定,7. 非线性系统的稳定性分析,4.1 引言,李亚普诺夫将稳定性问题的研究归纳为两种
2、方法。第一种方法是求出线性化以后的常微分方程的解，从而分析原系统的稳定性。,第二种方法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息。,对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。以下通过一个例子来说明。,例4-1 一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。,令,（1）,选取状态变量,在任意时刻，系统的总能量,（3）,显然，当 时 ， 而当 时,而总能量随时间的变化率为,可见，只有在 时， 。在其他各处均有 ，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
3、,Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。,平衡状态 一般地，系统状态方程为 ，其初始状态为 。系统的状态轨线 是随时间而变化的。当且仅当 （当 tt0 ）则称 为系统平衡。,如果不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 ， 因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。,4.2 李亚普诺夫意义下稳定性的定义,4.2.1 稳定的定义,则,非线性时变系统,（4）,4.2.2 渐近稳定,如果系统的平衡状态 是稳定的。从平衡状态的某个充分小的领域内出发的状态轨线 ，当 时，收敛于，则称 为渐近稳定。,更精密的叙述如下：,如果系统的平衡状态 ，对于 ，存在 和 ，当 时，从 出发的
4、 ，都有 并且 充分大时， 就充分小。则称 为Lyapunov意义下渐近稳定。当 与 、 无关时 ，则称 为一致渐近稳定。,4.2.3 大范围渐进稳定,如果 是整个状态空间中任一点，并且都有 则为大范围渐近稳定或称为Lyapunov意义下全局渐近稳定。,当稳定性与 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。,4.3 李亚普诺夫第二法,例4-2 系统的状态方程如下，判别系统稳定性。,解,选取Lyapunov函数，显然是正定的，即满足,当 ，有 ，故系统 是一致大范围渐进稳定的。,（注：本定理是将定理4-1的条件稍微放宽了一点）,例4-3 系统的状态方程为,其中， a 为大于零的实数。判别系统的稳定性。,
5、显然它是正定的，即满足,可见，当 和任意的 时，有 ，而 和任意 时， 。又因为 ，只要 变化 就不为零，因此在整条状态轨线上不会有 。,因此， 是一致渐进稳定的。,当 ，有 ，故系统 是一致大范围渐进稳定的。,（注：本定理只是比定理4-2少了第3个条件，不能保证渐近稳定，只能保证一致稳定。）,因为 0,则系统可能存在闭合曲线（极限环），在上面恒有 ，则系统可能收敛到极限环，而不收敛到平衡点。因此 是一致稳定的。,例4-4 系统的状态方程为,其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。,显然它是正定的，即满足,而,由定理4-3可知， 为Lyapunov意义下一致稳定。,解 系统的平衡
6、状态为,选取Lyapunov函数：,显然它是正定的，即满足,而,由定理4-4可知， 是不稳定的。,应该指出：到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般方法。因为Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数，既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该系统稳定性的信息（即：inconclusive 没有得出结论）。,4.4 线性连续系统的稳定性,对线性时变系统，其相应的齐次状态方程为,由第2章介绍的方法求出其解为 由此可判别齐次以及非齐次系统的稳定性，如果收敛则都稳定； 如果发散，则都不稳定。,首先介
7、绍矩阵正定性的定义：对于方阵,当它的所有主子式均大于零时，则Q是正定的。即：,对线性定常系统 ，可以用Lyapunov第二法。,如果方阵Q 是正定的，则Q 就是负定的。负定的矩阵主子式负正相间。,Lyapunov函数 为状态变量 的二次型函数，即,如果P 为 维正定的对称常数矩阵，则 为正定的。,令 ，其中Q 为正定实数矩阵，且满足,如果给定Q阵，能够推出P 为正定的，则系统在 为稳定的。并且线性定常系统为稳定，就一定是大范围一致渐近稳定。,（注：线性定常系统，可以判断A的特征值是否全部具有负实部，既可以判别其稳定性。）,例4-6 线性定常系统的状态方程为,判别系统的稳定性。,解得,有,可见，
8、 P 为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。,4.5 线性定常离散系统的稳定性,线性定常离散系统的状态方程为,（8）,系统的平衡状态为,假设G 为 维非奇异常数阵， 是唯一的平衡状态。,选取Lyapunov函数,（9）,式中，P 为 正定的对称常数，因此 是正定的。,的差分为,例4-7 线性定常离散系统的状态方程如下，试判别其稳定性。,解得,4.6 有界输入-有界输出稳定,4.6.1 有界输入-有界输出稳定,Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable,定理4-5 由方程 描述的线性定常系统。,为初始松弛系统。其输出向量的解为,（11）,4.6.2
9、BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系,对于线性定常系统,（12）,平衡状态 的渐近稳定性由A 的特征值决定。而BIBO的稳定性是由传递函数的极点决定的。,的所有极点都是A 的特征值，但 A 的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以， 处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是 处的渐近稳定。,那么在什么条件下，BIBO稳定才有平衡状态 渐近稳定呢？结论是：如果（12）式所描述的线性定常系统是BIBO稳定，且系统是既能控又能观测的，则系统在 处是渐近稳定的。,4.7 非线性系统的稳定性分析,4.7.1 用Lyapunov第二法分析非线性系统稳定性,到目前为止，尚没
10、有构造Lyapunov函数的一般性方法。往往都是根据经验，用试凑法。以下是两种比较有效的方法。,1. 克拉索夫斯基法,其中 和 均为n维向量。 为非线性多元函数，对各 都具有连续的偏导数。,构造Lyapunov函数如下,（13）,其中,（17）,如果 是负定的，则 是负定的。而 是正定的，故是一致渐近稳定的。如果 ， ，则 是大范围一致渐近稳定的。为简便，通常取 ，这时,例4-10 非线性定常系统状态方程为,试分析 的稳定性。,解,雅可比矩阵,选择 W=I 则,检验 的各阶主子式：,显然， 是负定的，故 是大范围一致渐近稳定的。,4.7.2 用Lyapunov第一近似理论分析非线性系统稳定性,
11、非线性定常系统方程为,如果当 ，有 ，则 为高阶无穷小项。,（18）,忽略高阶无穷小，得到非线性系统的线性化模型,（20）,其中,这是一个雅可比矩阵,定理4-6 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有特征值具有负实部，则式（18）所描述的非线性系统在 处为渐近稳定。,定理4-7 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有特征值中如果有一个（或一个以上）具有正实部，则式（18）所描述的非线性系统在 处为不稳定。,Lyapunov第一法由以下3个定理组成：,定理4-8 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的特征值中有实部为零的，而其余的特征值实部均为负，则式（18）所描述的非线性系统在 处是否为稳定则不能确定。（要取决于高阶项）,第4 章 结束,
