1、,数 据 结 构,（数据结构及其算法）,冯耀霖,Chap 5 树,树的基本概念 二叉树二叉树遍历树的存储结构,树结构是元素之间具有分层关系的结构，它类似于自然界中的树，是一种很重要的非线性数据结构。一方面，计算机应用中常出现嵌套的数据，树结构提供了对该类数据的自然表示；另一方面，利用树结构可以有效地解决一些算法问题。因此，树结构有着广泛的应用。树结构常采用递归方式定义，被称为递归数据结构，有关树的许多算法是递归的。,1 树的基本概念,树的定义 基本术语 树的基本操作,1.1 树的定义,层次结构的数据在现实世界中大量存在。例如，一个国家包括若干省，一个省有若干市，每个市管辖若干个县、区。又如，书
2、的内容可以分成章节，章节编号也是有层次的。所有上级和下级、整体和部分、祖先和后裔的关系都是层次关系的例子。,1. 树（Tree）的一般定义,树T=(D,R)，其中，D是包含n个结点的有限非空集合，R是D上的关系的集合，R满足以下特性：(1)有且仅有一个结点rD，不存在任何结点vD，vr，使得R，称r为树的根（root）；(2)除根之外的所有结点uD，都有且仅有一个结点v，vu，使得R。(3)树中任一结点xD，都可以有m（m0）个结点yi（i0），使得R。从上述定义可知，树不为空集合，树中至少有一个根结点，根结点没有前驱，其余结点都有唯一的前驱结点，而每个结点又都可以有0或多个后继结点。因此，树
3、形成了层次结构。,2. 树的递归定义,树是包含n个结点的有限非空集合T，其中一个特定的结点r称为根，其余结点(T-r)划分成m（m0）个互不相交的子集T1,T2,Tm，其中每一个子集都是树，被称为根r的子树。,图5.1 树的示例,A,A,C,B,D,G,E,F,K,L,H,I,J,M,（a）,（b）,在图5.1中，（a）是只有一个根结点的树；(b)是有13个结点的树，其中A是根，其余结点分成3个互不相交的子集：T1=B,E,F,K,L，T2=C,G，T3=D,H,I,J,M；T1,T2,T3都是根A的子树，且本身也是一棵树。例如T1，其根为B，其余结点分成2个互不相交的子集：T11=E,K,L
4、，T12=F。T11和T12都是B的子树。在T11中，E是根，K和L是E的两棵互不相交的子树，其本身又是只有一个根结点的树。可以看出，上述两种关于树的定义是完全一致的。,1.2 基本术语,结点：树中的每个元素分别对应一个结点，结点包含数据元素值及其逻辑关系信息（后继子树的指针）。结点的度：一结点拥有的子树数目。树的度：树中结点度的最大值。叶子结点：度为0的结点，简称叶子，又称终端结点。分支结点：度大于0的结点，又称非终端结点。,子结点和父结点：如果一结点有子树，则子树的根结点称为该结点的子结点，反之，该结点是子结点的父结点。结点的层次：树有明显的层次关系。根结点为第一层，根结点的子结点处于第二
5、层，以此类推。树的深度：树中结点的最大层次，也称树的高度。兄弟结点：同一父结点的结点互为兄弟。,堂兄弟结点：在同一层上但父结点不同的结点互为堂兄弟。祖先结点：从根结点到某个结点路径上的所有结点都是该结点的祖先结点。子孙后裔结点：一个结点的所有子树上的任何结点都是该结点的后裔。路径：从某个结点到另一个结点的分支（边）构成这两个结点之间的路径。,有序树：如果将树中根结点的各子树看成是从左到右有次序的，则称该树是有序树。从左到右，可分别称这些子树为第一子树、第二子树等。无序树：如果根结点的各子树之间不存在确定的次序关系，可以交换位置，则称该树是无序树，也就是通常所说的树。森林：是树的集合。与现实世界
6、的森林不同，在数据结构中，森林和树只有微小的差别，删去树根，树变成森林，对森林加上一个结点作为树根，森林即成为树。但是需要注意的是，森林可以是空森林，但树不能是空树。,图5.2 树和森林的例子,F,E,B,A,G,C,D,L,M,N,J,X,Y,Z,U,E,F,B,A,D,C,G,J,L,N,M,T1,T2,T3,(a)树T1和T2组成的森林,(b)树T3,在图5.2(a)中，T1和T2是两棵树，组合在一起成为森林。如果树是无序的，则图5.2(a)中的树T1和图5.2(b)中的树T3是相同的树，否则它们是不相同的树。在树T1中，结点A、F、和B是结点E的子结点，结点E是A、F、B的父结点，A、
7、F和B互为兄弟。结点E、F、C和L都是结点N的祖先，F的后裔结点有C、L、M、N、D和J。结点E的度为3。根结点E的层次是1，F的层次是2，树T1的深度为5，T2的深度为3。在树T1中，G、M、N、J和B是叶子结点，其余结点是分支结点。,就逻辑结构而言，任何一棵树是一个二元组Tree=(root,F)，其中，root是数据元素，称作树的根结点；F是m（m0）棵树的森林，F=(T1,T2,Tm)，其中Ti=(ri,Fi)称作根root的第i棵子树；当m0时，在树根和其子树森林之间存在下列关系：RF= | i=1,2,m, m0这个定义将有助于得到森林和树与二叉树之间转换的递归定义。,1.3 树的
8、基本操作,InitTree功能：初始化，构造一棵空树。 DcestroyTree功能：销毁树 ClearTree功能：清除树 TreeEmpty功能：查询是否为空树 TreeDepth功能：获取树的深度,Root功能：获取树的根GetElem功能：读取指定结点的元素值SetElem功能：设置指定结点的元素值Parent功能：获取指定结点的父结点LeftChild功能：获取指定结点的最左孩子RightSibling功能：获取指定结点的右兄弟InsertChild功能：插入子树,DeleteChild功能：删除子树 TraverseTree功能：树遍历,2 二叉树,二叉树的定义 二叉树的性质 二叉
9、树的存储结构 二叉树的基本操作,二叉树是非常重要的树形结构。很多从实际问题中抽象出来的数据是二叉树形的，二叉树的算法高效且容易实现。并且，一般树或森林都可通过简单的转换得到与之对应的二叉树，从而为一般树或森林的存储和处理提供了有效方法。,2.1 二叉树的定义,二叉树（binary tree）是结点的有限集合，该集合或者为空集，或者是由一个根和两棵互不相交的左子树及右子树所组成。,二叉树的基本形状：,空二叉树仅有根结点的二叉树右子树为空的二叉树左子树为空的二叉树左右子树均非空的二叉树,二叉树与树之间的差别：,树不能是空树，而二叉树可以是空树；一般地，树的子树之间是无序的，而二叉树中结点的子树要区
10、分左、右子树，其次序不能颠倒，即使在一棵子树的情况下也要指明是左子树还是右子树；树中结点的度可以大于2，但二叉树的每个结点最多只有2棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）。,2.2 二叉树的性质,性质1：在二叉树的第i（i1）层上最多有2i-1个结点。可用数学归纳法证明：当i=1时，二叉树只有一个根结点，结论成立。设当i=k时结论成立，即二叉树的第k层上至多有2k-1个结点，则当i=k+1时，因为每个结点最多只有两个子结点，故第k+1层上的结点数最多是第k层上结点数的2倍，即至多有22k-1=2k个结点。性质成立。,性质2：深度为k（k1）的二叉树上至多有2k-1个结点。证明：当k0时，利用
11、性质1，则深度为k的二叉树上结点的总数最多为：2i-1=2k-1,性质3：任意一棵二叉树中，若叶子结点的个数为n0，度为2的结点的个数为n2，则必有n0=n2+1。证明：设二叉树的结点总数为n，树中度为1的结点数为n1，则有 n=n0+n1+n2 (1)由于除根结点没有父结点外，每个结点都有且仅有一个父结点，于是有 n-1=n1+2n2 个子结点，即有n=n1+2n2+1 (2)将式(2)代入式(1)，便得到 n0=n2+1。结论成立。,性质4：含有n个结点的二叉树的深度至少为log2(n+1)。证明：由性质2，深度为k的二叉树最多有2k-1个结点，因而n2k-1，则有klog2(n+1)。因
12、为k是整数，所以klog2(n+1)。,满二叉树定义：深度为k的二叉树恰好有2k-1个结点时称为满二叉树。或只含度为0和度为2的结点，且度为0的结点只出现在最下层的二叉树称为满二叉树。完全二叉树定义：一棵二叉树中，只有最下面两层结点的度可以小于2，并且最下一层的叶子结点集中在靠左的位置上，这样的二叉树称为完全二叉树。扩充二叉树定义：扩充二叉树中除叶子结点外，其余结点的度均为2。,图5.3 特殊二叉树,(a)完全二叉树,(b)扩充二叉树,图5.3 特殊二叉树,1,4,3,2,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,3,4,5,8,9,10,11,6,7,12,(b)完
13、全二叉树,(a)满二叉树,1,2,3,4,6,7,1,2,3,4,5,5,6,(c)扩充二叉树,(d)非完全二叉树,性质5：具有n个结点的完全二叉树的深度为log2(n+1)。证明：设完全二叉树的深度为k，则除最下层外，前k-1层形成满二叉树，总共有2k-1-1个结点；而最下层，即第k层的结点个数最多不超过2k-1个，因此有2k-1-1n2k-1移项得 2k-1n+12k取对数得 k-1log2(n+1)k因k是整数，故k是不小于log2(n+1)的最小整数。,性质6：若对含n个结点的完全二叉树，按照从上到下、从左至右的次序进行1n的编号，对其中任意一个编号为i的结点，有以下关系：(1) 若i=1，则结点i是二叉树的根；若i1，则结点i/2为结点i的父结点；(2) 若2in，则结点i无左子树，否则（2in）结点2i为左子树；(3) 若2i+1n，则结点i无右子树，否则（2i+1n）结点2i+1为右子树；,Its Over,
