1、1第 18 讲 相似三角形重难点 相似三角形的性质与判定 (2018包头)如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点F，3AE2EB，连接 DF.若 SAEF 1，则 SADF 的值 为 52【思路点拨】 要求 SADF ，由已知条件 EFBC，3AE2BE，可得到 AF 与 AC 的数量关系，进而转换到 SADF与 SADC 的数量关系，而由平行四边形的性质知，S ADC SABC ，由 EFBC，3AE2BE，S AEF 1，结合相似三角形的性质，得 SABC ，则 SADF 即可求出求三角形面积常用方法方 法 指 导直 接 法
2、 S 12ah等 积 法 S1 S2（ 等 底 同 高 ）（ 同 底 等 高 ） )等 比 法 S1S2 ab （ 同 高不 同 底 ）（ 不 同 高不 同 底 ） )如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，连接 BE，AFBE 于点 F，连接 DF.(1)求证：DE 2 BEEF；(2)求EFD 的度数【思路点拨】 (1)要证 DE2EFBE，而由已知条件知 DEAE，AE 2EFBE，即 ，观察发现，这四AEBE EFAE条边恰好在ABE 和FAE 中，故只需证明ABEFAE，由相似三角形的性质即可使问题得证；(2)要求EFD 的度数，而已知条件中并未告诉已知角，故要在正方形中
3、构造已知角并将EFD 进行转换由(1)知 ，而AEBE EFAEDEFBED，故连接 BD，可证DEFBED，由相似三角形的性质即可求出EFD 的度数【自主解答】 解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，BAE90.AFBE，AFE90.BAEAFE.又AEFAEB，AEFBEA. ，即 AE2BEEF.AEBE EFEAE 为 AD 的中点，AEDE.DE 2BEEF.(2)连接 BD，则EDB45.2由(1)得， .DEEF BEDE又DEFBED，DEFBED.EFDEDB45.方 法 指 导1判定三角形相似的思路有 平 行 线 用 平 行 线 的 性 质 ， 找 等 角有 一 对等
4、 角 ， 找 另 一 对 等 角两 夹 边 对 应 成 比 例 )有 两 边对 应 成比 例 ， 找 夹 角 相 等第 三 边 也 对 应 成 比 例有 一 对 直 角 )直 角 三角 形 ， 找 一 对 锐 角 相 等斜 边 、 直 角 边 对 应 成 比 例 )等 腰 三角 形 ， 找 顶 角 相 等一 对 底 角 相 等底 和 腰 对 应 成 比 例 ) )2证明等积时，先由比例的基本性质，化等积式为比例式，然后把比例式，左侧(或分子)，右侧(或分母)放入两个三角形中，证明两个三角形相似即可，如不能放入两个三角形中，可找到相等边代换或寻找中间比3求某个三角的边长或角度时，可借助条件，确定
5、未知三角形(即包含所求边又有某个已知条件)与已知三角形相似，利用相似三角形的性质求解考点 1 比例线段1(2018白银)已知 (a0，b0)，下列变形错误的是( B)a2 b3A. B2a3b C. D3a2bab 23 ba 322(2018成都)已知 ，且 ab2c6，则 a 的值为 12. a6 b5 c4考点 2 黄金分割3如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， AC 与 AB 的比叫ACAB BCAC做黄金比，其比值是( A)A. B. C. D.5 12 3 52 5 12 3 52考点 3 平行线分线段成比例4(2
6、018哈尔滨)如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GEBD，且交 AB 于点E，GFAC，且交 GD 于点 F，则下列结论一定正确的是( D)A. B. C. D. ABAE AGAD DFCF DGAD FGAC EGBD AEBE CFDF35(2018嘉兴)如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 交 l1，l 2，l 3于点 A，B，C；直线 DF 交 l1，l 2，l 3于点 D，E，F.已知 ，则 2ABAC 13 EFDE考点 4 相似三角形的性质6(2018重庆 A 卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为
7、5 cm，6 cm 和 9 cm，另一个三角形的最短边长为 2.5 cm，则它的最长边为( C) A3 cm B4 cm C4.5 cm D5 cm7(2017连云港)如图，已知ABCDEF， ABDE12，则下列等式一定成立的是( D)A. B. BCDF 12 A的 度 数 D的 度 数 12C. D. ABC的 面 积 DEF的 面 积 12 ABC的 周 长 DEF的 周 长 128(2018荆门)如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E，F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AF，BE 相 交于点 G.则SEFG S ABG ( C)A13 B31 C19 D919(2018重庆 B
8、 卷)制作一块 3 m2 m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( C)A360 元 B720 元 C1 080 元 D2 160 元10(2018资阳)如图，ABC 的面积为 12，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，则四 边形 BCED 的面积为 94考点 5 相似三角形的判定11(2018永州)如图，在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点，ADCACB，AD2，BD6，则边 AC 的长为( B)A2 B4 C6 D812如图，在ABC 中，ACB90，CD 是 AB 边上的高如
9、果 BD4，CD6，那么 BCAC 是( B)A32 B23 C3 D213 1313(2018邵阳)如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点 F，连接 BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一，如EFCAFD，EABAFD，EFCEAB14(2018北 京)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AB 边的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F.若 AB4，AD3，则CF 的长为 10315(2018巴中)如图，O 的两 弦 AB，CD 相交于点 P，连接 AC，BD，得 SACP S DBP 169，则ACBD4316(2018杭州
10、)如图，在ABC 中，ABAC，AD 为 BC 边上的中线，OEAB 于点 E.(1)求证：BDECAD；(2)若 AB13，BC10.求线段 DE 的长5解：(1)证明：ABAC，BC.又AD 为 BC 边上的中线，ADBC，DEAB，BEDCDA90.BDECAD.(2)BC10，BD5.根据勾股定理，得 AD 12.AB2 BD2BDECAD， ， .BDCA DEAD 513 DE12DE .6013考点 6 相似三角形的实际应用17(2018义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置，已知 ABBD，CDBD.垂足分别为 B，D，AO4 m，AB
11、1.6 m，CO1 m，则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为( C)A0.2 m B0.3 m C0.4 m D0.5 m18(2018陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C，A 共线已知：CBAD，EDAD，测得 BC1 m，DE1.5 m，BD8.5 m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB.解：CBAD，EDAD，CBAEDA90.CABEAD，A
12、BCADE. .ADAB DEBC .AB 8.5AB 1.516AB17，即河宽为 17 m.19(2018泸州)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G.若 AE3ED，DFCF，则 的值是( C)AGGFA. B. C. D.43 54 65 7620(2018扬州)如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰 RtABC 和等腰 RtADE，CD 与 BE，AE 分别交于点 P，M.对于下列结论：BAECAD；MPMDMAME；2CB 2CPCM.其中正确的是( A)A B C D21(2018盐城)如图，在 RtABC 中，C
13、90，AC6，BC8，P，Q 分别为边 BC，AB 上的两个动点若要使APQ 是等腰三角形，且BPQ 是直角三角形，则 AQ 或 154 30722(2018咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解：(1)如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D.使四边形 ABCD 是以 AC为“相似对角线”的四边形；(保留画图痕迹，找出 3 个即可)图 17图 2 图 3(2)如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC80，ADC140，对角线 BD 平
14、分ABC.求证：BD 是四边形 ABCD的“相似对角线” ；运用：(3)如图 3，已知 FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ，EFHHFG30，连接 EG.若EFG 的面积为2 ，求 FH 的长3解：(1)如图所示(2)证明：ABC80，BD 平分ABC，ABDDBC40.AADB140.ADC140，BDCADB140.ABDC.ABDDBC.BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” (3)FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线” ，EFHHFG. .FEFH FHFGFH 2FEFG.过点 E 作 EQFG，垂足为 Q.EFHHFG30，EFQ60.则 EQFE sin60 FE.32 FGEQ2 ， FG FE2 .12 3 12 32 3FGFE8.FH 2FEFG8. FH2 .223(2018泰安)九章算术 是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门 H位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步 A 的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木(即点 D 在直线 AC 上)？请你计算 KC 的长为 步2 0003
