1、1第 6 讲 一元二次方程重难点 1 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2018随州)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2k3)xk 20 有两个不相等的实数根 x1，x 2.(1)求 k 的取值范围；(2)若 1，求 k 的值1x1 1x2【思路点拨】 (1)根据方程的系数结合根的判别式 0，即可得出关于 k 的一元二次不等式，解之即可得出 k 的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出 x1x 22k3，x 1x2k 2，结合 1 即可得出关于 k 的分式方程，1x1 1x2解之经检验即可得出结论【自主解答】 解：(1)关于 x 的一元二次方程 x2(2k3)xk 20 有两个不相
2、等的实数根， (2k3) 24k 20.解得 k .34(2)x 1，x 2是方程 x2(2k3)xk 20 的实数根，x 1x 22k3，x 1x2k 2. 1.1x1 1x2 x1 x2x1x2 （ 2k 3）k2解得 k13，k 21.经检验，k 13，k 21 都是原分式方程的根又k ，34k3.方 法 指 导1判断一元二次方程根的情况，要明确 a，b，c 的值，然后比较 b24ac 与 0 的大小2利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有 x1x 2与 x1x2的式子解答关于二次项系数中含有未知数的一元二次方程时，容易忽视一元二次方程的前提条件是：二次
3、易 错 提 示项系数 a0.因此，在解答过程中，要首先列出前提条件，即：在满足二次项系数 a0 的条件下求解【变式训练 1】 (易错易混)若关于 x 的一元二次方程(k1)x 24x10 有实数根，则 k 的取值范围是 k5 且k1【变式训练 2】 (2018南充)已知关于 x 的一元二次方程 x2(2m2)x(m 22m)0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为 x1，x 2，且 x x 10，求 m 的值21 2解：(1)由题意可知， (2m2) 24(m 22m)40，方程有两个不相等的实数根(2)x 1x 22m2，x 1x2m 22m，x x (x 1x
4、2)22x 1x210.21 2(2m2) 22(m 22m)10.m 22m30.m1 或 m3.(山西中考，7 分)解方程：2(x3) 2x 29.2解：2(x3) 2(x3)(x3). 1 分2(x3) 2(x3)(x3)0. 2 分(x3)(2x6x3)0. 3 分(x3)(x9)0. 4 分x30 或 x90. 5 分x 13，x 29. 7 分重难点 2 一元二次方程的应用某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球 2016 年单价为 200 元，2018 年单价为 162 元(1)求 2016
5、 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【思路点拨】 (1)设 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根据 2016 年及 2018 年该品牌足球的单价，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其小于 1 的值即可得出结论；(2)根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买 100 个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论【自主解答】 解：(1)设 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根据题意，得200(1x) 2162.
6、解得 x0.110%或 x1.9(舍去)答：2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的 百分率为 10%.(2)在 A 商城需要的费用为 16290(10099)14 742(元)，在 B 商城需要的费用为 162100 14 580(元)91014 74214 580.答：去 B 商场购买足球更优惠【变式训练 3】 (2017兰州)王叔叔从市场上买一块长 80 cm，宽 70 cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长 x cm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为 3 000cm2的无盖长方形工具箱，根据 题意列方程为( C)A(8
7、0x)(70x)3 000B80704x 23 000C(802x)(702x)3 000D80704x 2(7080)x3 000【变式训练 4】 某商品的进价为每件 40 元当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件现在要使利润为 6 120 元，每件商品应降价( A)A3 元 B2.5 元 C2 元 D5 元【变式训练 5】 (2018通辽)为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)现计划安排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛
8、？设邀请 x 个球队参赛，3根据题意，可列方程为 x(x1)2112列一元二次方程解应用题的常见关系：方 法 指 导(1)平均变化率问题：若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a(1x)2b；(2)利润问题：利润售价成本；利润率 100%；利 润成 本(3)矩形面积问题镶边矩形：如图，镶边矩形 ABCD 中空白区域的面积为 S(a2x)(b2x)；内嵌十字架型矩形：如图，图 1 中阴影区域可以通过平移的方法变成图 2 中的样子，此时易得图 1 矩形 ABCD 中空白区域的面积为S(ax)(bx)要检验方程的解是否符合实际意义易 错 提 示考点
9、1 一元二次方程及其解法1(2018临沂)一元二次方程 y2y 0 配方后可化为( B)34A(y )21 B(y )21 C(y )2 D(y )212 12 12 34 12 342(2018宁夏)若 2 是方程 x24xc0 的一个根，则 c 的值是( A)3A1 B3 C1 D23 3 33(2018铜仁)一元二次方程 x24x30 的解为( C)Ax 11，x 23 Bx 11，x 23Cx 11，x 23 Dx 11，x 234(2018柳州)一元二次方程 x290 的解是 x13，x 235(2018淮安)一元二次方程 x2x0 的根是 x10，x 216(整体思想)(2018扬
10、州)若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 6m29m2 015 的值为 2_0187(2018荆门)已知 x2 是关于 x 的一元二次方程 kx2(k 22)x2k40 的一个根，则 k 的值为38(2018黄冈)一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x210x210 的根，则三角形的周长为169选择适当的方法解下列方程：4(1)x25x10；解：x 25x1.x25x( )21( )2.52 52(x )2 .52 214x .52 212所以 x1 ，x 2 .5 212 5 212(2)(x3)(x1)3；解：方程化为 x24x0.x(x4)0.所以 x10，x
11、24.(3)2x22 x50；2解：(2 )242(5)48.2x .224822 22434 2232所以 x1 ，x 2 .2 232 2 232(4)(y2) 2(3y1) 2.解：(y2) 2(3y1) 2 0.(y23y1)(y23y1)0.(4y1)(2y3)0.4y10 或2y30.所以 y1 ，y 2 .14 32考点 2 一元二次方程根的判别式10(2018上海)下列对一元二次方程 x2x30 根的情况的判断，正确的是( A)A有两个不相等实数根 B有两个相等实数根C有且只有一个实数根 D没有实数根11(2018山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是( C)Ax 22x0
12、Bx 24x10 C.2x24x30 D3x 25x212(2018 吉林)若关于 x 的一元二次方程 x22xm0 有两个相等的实数根，则 m 的值为1考点 3 一元二次方程根与系数的关 系13(2018眉山)若 ， 是一元二次方程 3x22x90 的两根 ，则 的值是( C) A. B C D.427 427 5827 582714(2018长沙)已知关于 x 的方程 x23xa0 有一个根为 1，则方程的另一 个根为 215(2018德州)若 x1，x 2是一元二次方程 x2x20 的两个实数根，则 x1x 2x 1x23考点 4 一元二次方程的应用16(2018大连)如图，有一张矩形纸
13、片，长 10 cm，宽 6 cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折5叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为( B)A10646x32 B(102x)(62x)32C(10x)(6x)32 D1064x 23217(2018绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为( C)A9 人 B10 人 C11 人 D12 人18(2018沈阳)某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 3
14、61 万元假设该公司 2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测 4 月份该 公司的生产成本解：(1)设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意，得400(1x) 2361，解得 x10.055%，x 21.95(不合题意，舍去)答：每个月生产成本的下降率为 5%.(2)361(15%)342.95(万元)答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元19(2018盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单
15、价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件(1)若降价 3 元，则平均每天销售数量为 26 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1 200 元？解：设每件商品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1 200 元根据题意，得(40x)(202x)1 200.整理，得 x230x2000.解得 x110，x 220.要求每件盈利不少于 25 元，x 220 应舍去，x10.答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1 200 元20(2018咸宁)已知一元二次方程 2x22x10 的两个根为 x1，x 2，且 x1x 2，下列结论正确的是( D)Ax 1x 21 B
16、x 1x21 C|x 1|x 2| Dx x 1211221(2018潍坊)已知关于 x 的一元二次方程 mx2(m2)x 0 有两个不相等的实数根 x1，x 2.若 4m，m4 1x1 1x2则 m 的值是( A)A2 B1 C2 或1 D不存在22(2018泰州)已知 x1，x 2是关于 x 的方程 x2ax20 的两根，下列结论一定正确的是( A)Ax 1x 2 Bx 1x 20 Cx 1x20 Dx 10，x 2023(2018包头)已知关于 x 的一元二次方程 x22xm20 有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为( B)6A6 B5 C
17、4 D324(2018孝感)已知关于 x 的一元二次方程(x3)(x2)p(p1)(1)试证明：无论 p 取何值，此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两根 x1，x 2，满足 x x x 1x23p 21，求 p 的值21 2解：(1)证明：原方程可变形为 x25x6p 2p0. (5) 24(6p 2p)25244p 24p4p 24p1(2p1) 20，无论 p 取何值，此方程总有两个实数根(2)原方程的两根为 x1，x 2，x 1x 25，x 1x26p 2p.又x x x 1x23p 21，21 2(x 1x 2)23x 1x23p 21.5 23(6p 2p)3p 21.25183p 23p3p 21.3p6.p2.25(2018嘉兴)欧几里得的原本记载，形如 x2axb 2的方程的图解法是：画 RtABC，使ACB90，BC ，ACb，再在斜边 AB 上截取 BD .则该方程的一个正根是( B)a2 a2AAC 的长 BAD 的长 CBC 的长 DCD 的长
