1、4 匀变速直线运动的速度与位移的关系考试要求知识内容 匀变速直线运动的速度与位移的关系d课时要求1.会从 v v0 at， x v0t at2推导出 v2 v022 ax. 122.理解 v2 v022 ax 的意义及正、负号的含义.3.能用 v2 v022 ax 解决简单问题.4.根据已知条件，会选择公式或联立方程求解相关问题.速度与位移的关系式1.公式： v2 v022 ax.2.推导：速度公式 v v0 at.位移公式 x v0t at2.12由以上两式可得： v2 v022 ax.3.匀变速直线运动的常用推论：推论 1：中间时刻的瞬时速度 2t .xt v0 v2推论 2：匀变速直线运
2、动中，在连续相等的时间 T 内的位移之差为一恒定值，即 x x2 x1 aT2.1.判断下列说法的正误.(1)公式 v2 v022 ax 适用于所有的直线运动.( )(2)确定公式 v2 v022 ax 中的四个物理量的数值时，选取的参考系应该是统一的.( )(3)因为 v2 v022 ax， v2 v022 ax，所以物体的末速度 v 一定大于初速度 v0.( )(4)在公式 v2 v022 ax 中， a 为矢量，与规定的正方向相反时 a 取负值.( )2.汽车以 10 m/s 的速度行驶，刹车的加速度大小为 3 m/s2，则它向前滑行 12.5 m 后的瞬时速度为_ m/s.答案 5一、
3、关系式 v2 v022 ax 的理解和应用如果你是机场跑道设计师，若已知飞机的加速度为 a，起飞速度为 v，则跑道的长度至少为多长？答案 v22a解析 由 v2 v022 ax 得，跑道长度至少为 x .v2 v022a v22a1.适用范围：速度与位移的关系 v2 v022 ax 仅适用于匀变速直线运动.2.公式的矢量性： v2 v022 ax 是矢量式， v0、 v、 a、 x 都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，取 v0方向为正方向：(1)若加速运动， a 取正值，减速运动， a 取负值.(2)x0，位移的方向与初速度方向相同， x0 则为减速到 0，又返回到计时起点另一侧的位移.(
4、3)v0，速度的方向与初速度方向相同， v0 则为减速到 0，又返回过程的速度.注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性.3.公式的特点：不涉及时间， v0、 v、 a、 x 中已知三个量可求第四个量.例 1 某航母跑道长 200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为 6 m/s2，起飞需要的最低速度为 50 m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )A.5 m/s B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s答案 B解析 由 v2 v022 ax 得：v0 m/s10 m/s.v2 2ax 502 26200解答匀变速直线运动问
5、题时巧选公式的基本方法(1)如果题目中无位移 x，也不让求 x，一般选用速度公式 v v0 at；(2)如果题目中无末速度 v，也不让求 v，一般选用位移公式 x v0t at2；12(3)如果题目中无运动时间 t，也不让求 t，一般选用导出公式 v2 v022 ax.例 2 猎豹是目前世界上陆地奔跑速度最快的动物，速度可达每小时 110 多公里，但不能维持长时间高速奔跑，否则会因身体过热而危及生命.猎豹在一次追击猎物时可认为由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为 7.5 m/s2，经过 4 s 速度达到最大，然后匀速运动保持了 4 s 仍没追上猎物，为保护自己它放弃了这次行动，然后以大小
6、3 m/s2的加速度做匀减速运动直到停下，设猎豹此次追捕始终沿直线运动.求：(1)猎豹奔跑的最大速度可达多少？(2)猎豹从开始做匀减速运动直到停下的位移是多少？答案 (1) 30 m/s (2) 150 m解析 (1)设猎豹奔跑的最大速度为 v.对于加速过程，有： v a1t17.54 m/s30 m/s.(2)对于减速过程，根据速度位移公式得：x m150 m.v22a2 30223二、匀变速直线运动的常用结论例 3 一质点做匀变速直线运动的 v t 图象如图 1 所示已知一段时间内的初速度为v0，末速度为 v，求：图 1(1)这段时间内的平均速度(用 v0、 v 表示)(2)中间时刻的瞬时
7、速度 2tv.(3)这段位移中间位置的瞬时速度 2x.答案 见解析解析 (1)因为 v t 图象与 t 轴所围面积表示位移， t 时间内质点的位移可表示为 xtv0 v2平均速度 vxt由两式得 .vv0 v2(2)由题图可知中间时刻的瞬时速度的大小等于梯形中位线的长度，即： 2tv .v0 v2(3)对前半位移有 2xv v022 ax2对后半位移有 v2 x2 ax2两式联立可得 2x .v02 v22三个平均速度公式及适用条件1 ，适用于所有运动.vxt2 ，适用于匀变速直线运动.vv0 v23 t，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变v速直线运动.针对训
8、练 1 一质点做匀变速直线运动，初速度 v02 m/s,4 s 内位移为 20 m，求：(1)质点 4 s 末的速度大小；(2)质点 2 s 末的速度大小答案 (1)8 m/s (2)5 m/s解析 (1)利用平均速度公式4 s 内的平均速度 ，vxt v0 v42代入数据解得，4 s 末的速度 v48 m/s(2)2 s 末的速度 v2 m/s5 m/s.v0 v42 2 82例 4 物体做匀变速直线运动，加速度为 a，从某时刻起 T 时间内的位移为 x1，紧接着第二个 T 时间内的位移为 x2.试证明： x aT2.答案 见解析解析 证明：设物体的初速度为 v0自计时起 T 时间内的位移x
9、1 v0T aT2 12在第 2 个 T 时间内的位移x2 v02T a(2T)2 x1 v0T aT2. 12 32由两式得连续相等时间内的位移差为 x x2 x1 v0T aT2 v0T aT2 aT2，32 12即 x aT2.1匀变速直线运动中，在连续相等的时间 T 内的位移之差为一恒定值，即 x x2 x1 aT2.2应用判断物体是否做匀变速直线运动如果 x x2 x1 x3 x2 xn xn1 aT2成立，则 a 为一恒量，说明物体做匀变速直线运动.求匀变速直线运动的加速度利用 x aT2，可求得 a xT2针对训练 2 一个做匀加速直线运动的物体，在前 4 s 内经过的位移为 2
10、4 m，在第 2 个 4 s 内经过的位移是 60 m，则这个物体的加速度和初速度各是多少？答案 2.25 m/s 2 1.5 m/s解析 (方法一)由公式 x aT2得： a m/s22.25 m/s2，由于 v4 xT2 60 2442 24 608m/s10.5 m/s，而 v4 v04 a，得 v01.5 m/s.(方法二)物体在 8 s 内的平均速度等于中间时刻(即第 4 s 末)的瞬时速度，则 v4 24 608m/s10.5 m/s，且 v4 v04 a，物体在前 4 s 内的平均速度等于第 2 s 末的瞬时速度 v2m/s6 m/s，而 v2 v02 a，联立解得 a2.25
11、m/s 2， v01.5 m/s.2441.(速度位移公式的应用)如图 2 所示，物体 A 在斜面上由静止匀加速滑下 x1后，又匀减速地在水平平面上滑过 x2后停下，测得 x22 x1，则物体在斜面上的加速度 a1与在水平平面上的加速度 a2的大小关系为( )图 2A.a1 a2 B.a12 a2C.a1 a2 D.a14 a212答案 B解析 设匀加速运动的末速度为 v，对于匀加速直线运动阶段有： v22 a1x1，对于匀减速运动阶段，采用逆向思维有： v22 a2x2，联立两式解得 2，即 a12 a2.a1a2 x2x12.(速度位移公式的应用)如图 3 所示，某高速列车在某段距离中做匀
12、加速直线运动，速度由 5 m/s 增加到 10 m/s 时位移为 x.则当速度由 10 m/s 增加到 15 m/s 时，它的位移是( )A. x B. x C.2x D.3x52 53图 3答案 B解析 由 v2 v022 ax 得 1025 22 ax,15210 22 ax，两式联立可得 x x，故 B 正53确.3.(平均速度公式的应用)(2018嘉兴市第一学期期末)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度时间图象如图 4 所示，那么 0 t 和 t3 t 两段时间内( )图 4A.加速度大小之比为 31B
13、.位移大小之比为 13C.平均速度大小之比为 21D.平均速度大小之比为 11答案 D解析 两段的加速度大小分别为 a1 ， a2 ， ，A 错.两段的位移vt v2t a1a2 21x1 vt， x2 vt， ，B 错.两段的平均速度 1 2 ，C 错，D 对.12 x1x2 12 v v v24.(位移差公式 x aT2的应用)(多选)如图 5 所示，物体做匀加速直线运动， A、 B、 C、 D为其运动轨迹上的四点，测得 AB2 m， BC3 m，且物体通过 AB、 BC、 CD 所用的时间均为 0.2 s，则下列说法正确的是( )图 5A.物体的加速度为 20 m/s2B.物体的加速度为
14、 25 m/s2C.CD4 mD.CD5 m答案 BC解析 由匀变速直线运动的规律，连续相等时间内的位移差为常数，即 x aT2可得： a m/s225 m/s2，故 A 错误，B 正确；根据 CD BC BC AB，可知 CD4 BC ABT2 10.04m，故 C 正确，D 错误.一、选择题1.关于公式 x ，下列说法正确的是( )v2 v022aA.此公式只适用于匀加速直线运动B.此公式适用于匀减速直线运动C.此公式只适用于位移为正的情况D.此公式不可能出现 a、 x 同时为负值的情况答案 B解析 公式 x 适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减v2 v022a速直线
15、运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，B 正确，A、C 错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时， a、 x 就会同时为负值，D错误.2.某飞机着陆时的速度是 60 m/s，随后匀减速滑行，如果飞机的加速度大小是 2 m/s2.为了使飞机能够安全地停下来，则滑道的长度至少为( )A.900 m B.90 mC.1 800 m D.180 m答案 A解析 根据 v22 ax 得， x 900 m，选项 A 正确.v22a 60 m/s222 m/s23.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据，刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下的痕迹.在
16、某次交通事故中，汽车刹车线的长度是 14 m，假设汽车刹车时的速度大小为 14 m/s，则汽车刹车时的加速度大小为( )A.7 m/s2 B.17 m/s2C.14 m/s2 D.3.5 m/s2答案 A解析 设汽车开始刹车时的方向为正方向，由 02 v022 ax 得 a 7 m/s2，A 正 v022x确.4.两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为 12，则它们运动的最大位移之比为( )A.12 B.14C.1 D.212答案 B解析 由 0 v022 ax 得 ，故 ( )2 ，B 正确.x1x2 v012v022 x1x2 12 145.一小车从 A 点由
17、静止开始做匀加速直线运动，如图 1 所示，若到达 B 点时速度为 v，到达 C 点时速度为 2v，则 AB BC 等于( )图 1A.11 B.12C.13 D.14答案 C6.一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动.已知汽车从启动到停止一共经历了 10 s，前进了 25 m，在此过程中，汽车的最大速度为( )A.2.5 m/s B.5 m/sC.7.5 m/s D.10 m/s答案 B解析 设汽车的最大速度为 vm，加速时间为 t1，减速时间为 t2，加速阶段的平均速度 1v0 vm2 vm2减速阶段的平均速度 2 vvm 0
18、2 vm2x 1t1 2t2 (t1 t2) vmt，解得 vm5 m/s.v vvm2 127.(多选)一质点从静止开始做匀加速直线运动，第 3 s 内的位移为 2 m，那么( )A.这 3 s 内的平均速度是 1.2 m/sB.第 3 s 末的瞬时速度是 2.2 m/sC.质点的加速度是 0.6 m/s2D.质点的加速度是 0.8 m/s2答案 AD解析 第 3 s 内的平均速度即为 2.5 s 时的速度，即 v2.5 m/s2 m/s，所以加速度 a21 m/s20.8 m/s2，所以 C 错误，D 正确；第 3 s 末的瞬时速度是 v at30.83 v2.5t2.5 22.5m/s2
19、.4 m/s，B 错误；这 3 s 内的平均速度是 m/s1.2 m/s，A 正确.vv2 2.428.(2017浙江 4 月学考6)汽车以 10 m/s 的速度在马路上匀速行驶，驾驶员发现正前方15 m 处的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前，假设驾驶员反应时间为 0.5 s.汽车运动的 v t 图如图 2 所示，则汽车的加速度大小为( )图 2A.20 m/s2 B.6 m/s2C.5 m/s2 D.4 m/s2答案 C解析 根据速度时间图象可知，在驾驶员反应时间内，汽车的位移为 x1 vt5 m，所以汽车在减速阶段的位移 x2 x x110 m，由运动学公式得出 0 v2
20、2 ax2， a5 m/s2，故加速度大小为 5 m/s2，C 正确.9.一小球沿斜面以恒定的加速度滚下并依次通过 A、 B、 C 三点，已知 6 m， 10 m，AB BC小球通过 AB、 BC 所用的时间均为 2 s，则小球经过 A、 B、 C 三点时的速度分别为( )A.2 m/s,3 m/s,4 m/sB.2 m/s,4 m/s,6 m/sC.3 m/s,4 m/s,5 m/sD.3 m/s,5 m/s,7 m/s答案 B解析 aT2， a m/s21 m/s 2BC AB44vB m/s4 m/sAB BC2T 6 1022由 vB vA aT，得 vA vB aT(412) m/s
21、2 m/s， vC vB aT(412) m/s6 m/s，B 正确.10.(多选)一质点做匀加速直线运动，第 3 s 内的位移是 2 m，第 4 s 内的位移是 2.5 m，那么以下说法正确的是( )A.第 2 s 内的位移是 2.5 mB.质点的加速度是 0.125 m/s2C.第 3 s 末的瞬时速度是 2.25 m/sD.第 4 s 末的速度为 2.75 m/s答案 CD解析 由 x aT2，得 a m/s20.5 m/s2， x3 x2 x4 x3，所以第 2 sx4 x3T2 2.5 212内的位移 x21.5 m，A、B 错误；第 3 s 末的速度等于第 34 s 内的平均速度，
22、所以 v32.25 m/s，C 正确； v4 v3 at2.75 m/s，D 正确.x3 x42T二、非选择题11.(2018宁波市诺丁汉大学附中期中)汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上发生滑动产生明显的滑动痕迹，即常说的刹车线.由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度大小，因此刹车线的长度是分析交通事故的一个重要依据.若某汽车刹车后至停止的加速度大小为 7 m/s2，刹车线长为 14 m，求：(1)该汽车刹车前的初始速度 v0的大小；(2)该汽车从刹车至刚停下来所用的时间 t0；(3)在此过程中汽车的平均速度大小.答案 (1)14 m/s (2)2 s (3)7 m/s解析 (1)由题意根据运动
23、学公式 v2 v022 ax 得 v022 ax，解得 v0 m/s14 m/s. 2 714(2)方法一 由 v v0 at0得t0 s2 s.v v0a 0 14 7方法二 (逆过程)由 x at02得12t0 s2 s.2xa 2147(3) m/s7 m/s.vv0 v2 14 0212.(2018温州市十五校联考)如图 3 所示，无人机完成航拍任务后，悬停在距离地面高度H80 m 处，控制动力系统，让无人机以 8 m/s2的加速度竖直向下运动，经过 2 s 后再次控制动力系统，让无人机竖直向下做匀减速直线运动，落地时速度恰好为零.试求：图 3(1)下落过程中的最大速度；(2)匀减速运动过程中加速度大小；(3)整个下落过程中的平均速度大小.答案 见解析解析 (1) vm a1t1，由于 a18 m/s 2， t12 s，代入解得： vm16 m/s.(2)匀加速下落的高度为 h1 16 m，vm22a1匀减速下落的高度为 h2 H h1(8016) m64 m，设匀减速运动过程中加速度大小为 a2，a2 2 m/s 2.v m22h2(3)匀减速运动过程中经历时间 t2 8 s，vma2整个下落过程中的平均速度大小为 8 m/s(或者 8 m/s)vHt1 t2 v vm2
