1、数 学 建 模,徐 全 智,应 用 数 学 学 院,*产生新的科研手段：基于数学基础的仿真技术.,第一章 序言,一. 数学科学的重要性,* 科学技术是第一生产力；,* 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；,* “高技术”本质上是一种数学技术；,* 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行的技术；,* 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；,* 在经济竞争中数学科学是必不可少的;,现代数学： 在理论上更抽象；在方法上更加综合；在应用上更为广泛。,* 数学很重要的一方面在于数学知识与数学方法的应用.,*更重要的方面是数学的思维方式的确立.,21世纪科技人才应具备的数学素质与能力,数学运算能力,逻
2、辑推理能力,数学建模能力,数据处理能力,空间想象能力,抽象思维能力,更新数学知识能力,使用数学软件能力,二. 数学模型与数学建模,数学模型（Mathematical Model）：重结果； 数学建模（Mathematical Modeling）：重过程,模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质。,* 对实体本身的模拟 如:飞机形状进行模拟的模型飞机；,* 对实体某些属性的模拟 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；,* 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象,任何一个模型仅为一个真实系统某一方面 的理想化，决不是真实系统的重现.,数学模型(E.A.B
3、endar 定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。,数学模型是现实世界的简化而本质的描述。,是用数学符号、数学公式、程序、图、表等 刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化 表述.,治愈 瘫痪 死亡,状态（可能）,行动 （人能控制）,等待 治疗,例 大夫的决策问题,可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定 及治疗原则等.,此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果.,数学模型是思考的工具,构造一个数学模型可帮助我们进行交流、 获得理解、加强对所采取的行动及结果的 预测能力，它应有助于思考过程.,数学建模：创立一个数学模型的全过程,是运用数学的思维方法、数学的语言去近似 地刻
4、画实际问题，并加以解决的全过程。,数学建模方法是一种数学的思考方法，是 解决实际问题的一种强有力的数学工具。,例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药.,例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售 的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益.,数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。,三. 数学建模的教与学,*工程技术人员应具备雄厚的数学基础和良好的数学素质,应用数学能力是必备的科研能力.,* 应用数学是所涉及到的纯数学和其它学科 相互作用的一门学科,应用数学的过程可概括为以下五个阶段：,1. 科学地识别和剖析
5、问题；,2. 建立数学模型；,3. 对研究中所选择的模型求解数学问题；,4. 对有关计算提出算法和设计计算机程序；,5. 解释原问题的结论并评判这些结论。,* 建立数学模型是应用数学的关键而重要的一步.,学习数学建模的困难：,(1) “学着用”数学和“学”数学根本不同在于 在于明白在何处用数学，怎样用数学；,(2) 掌握成功运用数学建立数学模型所需的 技能与理解数学概念、证明定理、求解方程所 需的技巧迥然不同。,如何解决？,建议：,去做！去实践！ 学着用，干中学！,课程和教材特点：以介绍数学建模的一般方 法为主线，着重训练运用数学知识建立数学模 型的技能技巧，着重能力和相关素质的培养。,理解数
6、学知识的基础上，重点是数学方法 的掌握、数学思维的建立。,教学目标,培养“翻译”能力,培养用数学思想方法的 综合应用分析能力,培养想象力,发展观察力，形成洞察力,培养交流与表达的能力,熟练使用技术手段,科技论文写作能力,第二章 数学与现实世界,一. 从现实世界到数学模型,数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁,面对各类问题：,当一个直径约为1000米的小行星正好在南极 与南极洲大陆相撞 ,是否会产生灾难性的影响？,1. 世界的末日？,2. 如何控制喷泉的高度？,如何智能控制广场中央的喷泉高度，以避免水雾浸湿游客的衣衫？,3. 怎样安排性急的游客？,在大型游乐场里如何安排游客, 让他们乐意等待，
7、乐意花钱？,数学模型是对于现实世界的一个特定对象， 为了一个特定目的，根据特有的内在规律,做出必要的简化假设，运用适当的数学工具建立的一个数学结构.,4. 人的指纹是否惟一？,现 实 世 界,数 学 世 界,建立数学模型,推理演绎求解,翻译为实际解答,实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。,始于现实世界并终于现实世界,例2.1 一场笔墨官司,（放射性废物的处理问题）,美国原子能委员会（现为核管理委员会） 处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封性能 很好的圆桶中，然后扔到水深300英尺的海里. 他们这种做法安全吗？,分析：可从各个角度去分析造成危险的因素， 这里仅考虑圆桶泄露的可能
8、.,联想：安全 、危险,问题的关键,* 圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英尺/秒) * 圆桶和海底碰撞时的速度有多大？,问题：求这一种桶沉入300英尺的海底时的末速度.（原问题是什么?）,可利用的数据条件：,圆桶的总重量 W=527.327（磅）,圆桶受到的浮力 B=470.327（磅）,圆桶下沉时受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08,可利用牛顿第二定律，建立圆桶下沉位移 满足的微分方程：,方程的解为,计算碰撞速度，需确定圆桶和海底的碰撞时间t0,分析：考虑圆桶的极限速度,713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！,结论：解决问题的方向是正确的.,解
9、决思路：避开求t0的难点,令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度,代入（1）得,两边积分得函数方程：,若能求出函数v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(试一试),* 用数值方法求出v(300)的近似值为,v(300)45.41（英尺/秒）40（英尺/秒）,* 分析 v=v(y) 是一个单调上升函数，而v 增大,y 也增大,可求出函数y=y(v),令 v=40(英尺/秒)，g=32.2（英尺/秒），算出,y= 238.4 (英尺)300（英尺）,例2.2 渡口模型,一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米， 可以并排停放两列车辆的渡船.他在考虑怎样 在甲板上安排
10、过河车辆的位置,才能安全地运 过最多数量的车辆.,分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运 多少辆各类车.,准备工作： 观察数日，发现每次情况不尽 相同，得到下列数据和情况：,(1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；,这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题。,解决方法 采用模拟模型方法.,分析 需考虑以下问题：,(2) 来到车辆中,轿车约占40，卡车约占55, 摩托车约占5；,(3) 轿车车身长为3.55.5米,卡车车身长为810米.,(1) 应该怎样安排摩托车？,(2) 下一辆到达的车是什么类型？,(3) 怎样描述一辆车的车身长度？,(4) 如何安排到达车辆加入
11、甲板上两列车队 中的哪一列中去？,问题的解决：,(1) 认为摩托车不会占有实际空间.,(2) 确定即将到达车辆类型，利用随机模拟方法,卡车,轿车,自行车,汽车类型及车身长模拟原理分析,(2) 确定随机到达车辆的身长车。,(3) 关于车辆的排放.,甲板可停放两列汽车，可供停车的总长为 322=64米,排放原则：两列尽可能均衡。（怎样实现？）,结果分析：由一组特定随机数确定车型和车身 长度，仅得到一个解答.,将一组随机数模拟确定的结果，看成对一次实际运载情况的“观察”，少数几次观察是无意义 的.,例2.3 人口增长模型,需多次重复模拟, 再进行统计分析,据人口学家们预测，到2033年,世界人口将突
12、破100亿,每年增加近1亿人口,以后还会迅猛增长.人们开始考虑,我们赖以生存的地球究竟是否能承受如此的增长.现建立数学模型来预测人口的增长.,分析 设任意时刻的人口总数为N(t)，影响一个地区总人口数的最显著的因素应包括哪些？,影响因素,现仅考虑出生和死亡对人口数的影响。,在时间段t内，出生和死亡人口数的变化 将依赖于以下因素：,1.时间间隔t的长短；,2.时间间隔开始时的人口基数.,建 模 过 程,模型分析 等式左端（以及右端）可以理解 为“相对增长率”,对相对增长率做不同的假设可以建立不同 的数学模型，并得到不同的解曲线。,N(t)= N0ert , t0,1. 假设净相对增长率r=bd
13、是常数,得到Malthus 模型：,模型分析 假若净增长率r0,人口的预测值将 以r为公比按几何级数无限增长.,不太符合实际，原因是假设条件过于简单.,模 型 改 进,得到Logistic模型：,不 同 假 设,思考 请绘出Logistic曲线图,分析曲线特征, 据此讨论：,1. Logistic模型具有哪些特点？,2. 比较两个人口模型的优缺点.,模型分析,3.请将此例的人口模型与新产品销售模型 （讲义p14例2.2.6）进行类比,它们在建模方法和模型描述方面有什么异同处?,二. 建模艺术,建模模式千差万别，无法归纳出普遍的 准则与技巧,建立一个数学模型和求解一道数学题目 有极大差别,没有唯
14、一正确答案,有不同的建模方法,具有可转移性,具有不唯一性,1. 建模没有唯一正确的答案：评价模型优劣的 唯一标准是实践检验,2. 不同的建模方法：,*机理分析法 根据对现实对象特性的认识， 分析其因果关系，找出反映内部机理的规律.,建立的模型常有明确的物理或现实意义,*测试分析法 将研究对象视为一个内部机理 无法直接寻求的“黑箱”系统.,采用系统辨识方法,黑箱系统,输出y(t),输入 x(t),求y=y(x),建立输出和输入间的关系 测量系统的输入、输出数据，对其运用统计分析或进行数据拟合.,*计算机模拟 借助于计算机的快速运算， 对实际研究对象的属性或变量进行模拟。,计算机模拟可视为对研究对
15、象进行的 “实验”或“观察”,计算机模拟技术成为三大科研方法之一,3. 模型具有可转移性：一个抽象的数学模型 可用来解决不同领域的不同实际问题.,4. 建模具有不唯一性：一个实际问题可利 用多种建模方法、多种数学工具建立完全不同的 数学模型。,模型建立与建模目的密切相关,建模一般原则：在能达到预期目的的前提下， 所用数学工具越简单、越大众化越好。,数学建模是一门“艺术” 要获取这门艺术的真谛和内涵 极富挑战性！,三建模实例,实例1 常染色体隐性病模型,实例2 老鼠迷宫问题,第三章 建模方法论,现 实 世 界,数 学 世 界,建立数学模型,翻译为实际解答,始于现实世界并终于现实世界,31 概 论
16、,数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，,* 数学建模没有普遍适用的方法与技巧.,* 数学建模工作与问题的性质、建模的目的 以及建模工作者自身的数学基础知识和专长有关.,* 有一些普遍适用的思想方法与思维方式.,整个数学建模过程由若干个有 明显差别的阶段性工作组成,怎样构架这座桥梁？,求解数学模型,实际问题分析,建立数学模型,提交论文与报告,模型与模型解的分析及检验,此流程 具有指导意义 ，应注意,* 流程应用是弹性的，切不能生搬硬套.,本章基本上按照此流程来介绍数学建模的方法,3.2 几种创造性思维方法,* 没有创新，就没有发展，创新促进人类 社会的进步.,* 建模过程往往是一个反复循环的
17、过程.,* 正处于传统的继承性教育向创新性教育 转变的时期.,重要的科学思维方式之一是创新思维， 创新思维是创新能力的核心与灵魂。,数学建模过程是一种创新过程，在思考方法 和思维方式上与学习其他课程有很大差别。,数学创新思维,.等等.,类比思维,归纳思维,逆向思维,发散思维,猜测思维,问题解决法、思想表达法、创造发明法等方法 对于创造能力的培养不可或缺。,方法的共同特点：不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等,以下介绍几种（个体和集体的）创造性思维方法,一小组群体思维,类似于现代科研工作，数学建模活动是 群体的合作活动。,* 现行的传统教育模式使学生，善于独立思考，
18、却拙于交流、与人合作。,* 数学建模是一种集体创新过程，需要一种集体创新思维方式。,集体思考法 （Brain Storming，简称BS法）是一种较好的集体创新思维方式,* 在合作过程中相互理解、相互协调、相互交流、从而集思广益,良好合作的要素：需要 、提倡、避免,需要：相互尊重、平等相待；,为使合作者互相启发，互相学习，发挥特长,提倡：积极思考、奋力拼搏、学会倾听、勇于争辩、懂得妥协：,避免： 武断评价、回避责任、孤高自傲、 丧失信心.,突破问题的灵感与思想的火花 往往产生于激烈的争论之中,二发散性思维方法,发散性思维和猜测思维是 创造性思维方式的重要组成部分,面对新问题，应尽量打开自己的思
19、路：,1. 不要有一点想法，就轻易沿一条思路深入， 不要轻易做出结论.,2. 尽量多一些想法，多一些猜测，对问题 反复思考、思考、再思考.,帮助展开思路的方法：,关键词联想法,提问题法,提问题法：借助于一系列问题来展开思路,面临难题，束手无策时通过提出一系列问题 来导出一些想法或一个好的方案。,常用的问题如下：,（4）重新组合又会怎样？,（l） 这个问题和什么问题相类似？,（2）假如变动问题的某些条件将会怎样？,（3）将问题分解成若干部分再考虑会怎样？,为进一步打开思路还可提以下问题：,（7）可否换一种数学工具来解决此问题？,（5）我们还可以做什么工作？,（6）有无需要进一步完善的内容？,针对
20、问题和初始方案可以先设计出类似的 问题清单，然后反复展开。,例3.2.1 穿越公路模型（P17例2.2.8）,一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的平均等待时间不超过15秒.,增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？,1. 考虑问题的立场, 司机或行人的哪方面的利益更为重要？,公路情况: 是否有弯道？车道间是否设有安全隔离带？,3. 车流情况：车流的密度大小？,4. 行人情况: 穿越公路的速度大小？穿越公路的人群密度？穿越公路的 性
21、质？,问题分析 此问题的特点是机理复杂,受到较多随机因素的影响, 类似于渡口模型,可采用统计模拟方法加以解决.,例3.2.2 新产品销售模型,关键词联想法 一种有效的发散思维方式,主要步骤如下：,（1）抓住问题或方案的关键词，不受任何约束地进行联想；,（2）把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上，进一步激发产生新的想法，进一步想出新的主意；,例3.2.3 “9.11”事件的反思,（3）再把积攒的卡片相互搭配，形成解决问题 的初步思路与步骤。,例3.2.4 一个飞行管理模型,* 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.,* 抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、 “立即”
22、、“判断”等等词语.,* 联系到解决问题的方案，不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.,立即 判断,碰撞,条件,实时,算法,避免 碰撞,调整 方向角,实时,幅度尽量小,相对,距离,优化问题,优化算法,优化调整方案,问题的初步理解和想法,三. 从整体上把握问题的方法,有两种把握住问题的全貌的有效方法：,（1）层次结构法,（2）问题分解法,问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.,将问题分解为“三要素”的三个部分.,飞行管理问题是优化问题，在调整方向角的幅 度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的 实时性.,有专著介绍,问题分解三要素,初态,目标态,过程,觉察到的现在状态(目前“有什么”
23、，如条件、数据等).,觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).,能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).,例1 常见数学题目模式,已知,求（证）,已知,求（证）,解题,初态,目标态,过程,* 解决实际问题时，分析出问题的初态和 目标态很困难.,* 未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态” 之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不 清、目标不明.,教师的主要教学目标,尽量拓展思路的基础上，再进行充分分析 得到的问题分解结果：,例2飞行管理问题,过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法.,初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件,目标态：实时调整，避免碰撞。,3.3
24、 问题分析,问题的前期分析 包括： 明确问题、分析条件、分析数据,为什么问题前期分析至关重要？,数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:,* 提出问题的人未能清楚地表述问题 .,* 不同领域的人交流出现故障.,* 各领域的应用者提出问题时，未给出恰当 的条件.,* 未能准确理解问题.,对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向.,一. 明确问题,例3.3.1 一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇多少推销员的问题征询你的意见.,“究竟需要做什么？”,为明确问题 ,可向有关人员询问如下问题：,1. 公司的规模有多大？,2. 该公司的推销员的工
25、作方式？,遇到一个新问题时,首先应问自己,着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析,原问题“推销员人数问题” 明确为：,（1）不同规模的销售队伍会有什么影响；,（2）怎样从他们的销售工作中获取最大的收益.,明确了工作的目标, 即设置好问题的目标态.,推销员人数,获取最大收益,顾客,地域,分析确定出各有关因素，画出问题的层次结构图,顾客容量,市场份额,现有,定货量,潜在,转移概率,转变概率,现有,潜在,二. 条件及数据分析,设置好问题的目标态，着手工作还需要做 以下工作：,1. 收集必要的资料和数据。,2. 分析现有的数据和条件，使问题进一步明确化。,例3.3.2 节水洗衣机问题,分析：题目中没
26、有一个数据，但问题却需要比较多的数据及条件，如,*衣服的洗净效果指标（包括污物和 残留洗涤剂）；,*不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C；,* 洗衣机的最高水位H、最低水位L；,* 各类污物（泥土、油腻等）和洗涤剂在水中的溶解特性。,怎样收集数据和资料？,可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、 通过试验来得到。,收集数据应列入工作计划，并注意：,1. 向有关人员调查情况应事先设计好问题；,2. 事先确定所需资料清单、资料来源、 收集方式。,有条理的收集计划可以为后期的工作 创造良好的条件,对收集到的或者现有的资料和数据要做 仔细分析，使问题进一步明确。,例3.3.3 最优捕鱼策略,分析：此题中
27、的数据、条件特别多，有的难于 把握，有的会直接影响到所建模型是否正确。,1捕捞强度系数 q,单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比例系数。,可否理解为捕捞量占总鱼群量的百分率？,否！,将捕捞强度系数 q 的定义用数学表达式写出。,设i龄鱼在t ,t+t时间段内由捕捞产生 的变化量（捕捞量）为,单位时间的捕捞量是,对任何时间间隔 t 都有,2. 考虑 q 是否有量纲（或单位）？,思考：,1. 此模型可与哪一个模型类比？,3. 怎样理解捕捞强度系数q？,2. 自然死亡率r (0.8（1/年）),是否理解为鱼死亡的概率为0.8 ？,不对！,类似于人口增长模型中的“自然（相对） 增长率” ，理解为鱼群未
28、受其他外界影响下 的“自然增长率” 。,即单位时间内死亡鱼的数量与鱼的总量之比，可得描述鱼群自然死亡的微分方程：,请考虑在捕捞的情况下，鱼群数量 变化的规律？,思考：,3. 成活率c的影响,成活率c为1龄鱼条数与产卵总量n之比,c =1.221011/（1.221011+n）,设t年的产卵量为n，则t + 1年的1 龄鱼数目为,N1(t+1)= n c,当 n 变动（即N3(t)，N4(t)变动）时， N1(t+1)的反应不敏感.,说明下一年1龄鱼的成活率使得鱼群对于捕 捞量有一定的适应能力.,0,5. 哪些条件是可以变动的？等等。,2. 数据来源是否可靠？,3. 所给条件有什么意义？,4.
29、哪些条件是本质的？,充分分析正确理解数据和条件 可以进一步明确问题 。,还应该分析,1. 从数据中可得到什么信息？,3.4 建立数学模型,数学模型的建立与建模目的密切相关,几类常见建模目的:,1. 描述或解释现实世界的 各类现象(常采用机理分析的方法,探索研究对象的内在规律性)；,2. 预测感兴趣的事件是否会发生,或者事物的发展趋势.,(常采用数理统计或模拟的方法)；,(需合理地定义可量化的评价指标以及评价方法）,建模过程中的几个要点,模型的整体设计,合理的假设,建立数学表达式,建立数学结构,3. 优化管理、决策或者控制 事物,时刻 牢记 建模 目的,完整的数学模型应该同时描述出 有关因素之间
30、的数量关系和结构关系。,应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个 模型中的地位和作用.,例3.4.1 考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水.,问题：怎样才能有效地保障各用户的正常用水？,一. 模型的整体设计,按下述步骤对模型进行整体设计,1. 分析系统的组成部分（研究对象、实体）,相关实体有：水库,管道,水箱和用户.,* 实体间的结构关系可表示如下：,水库,管道,水箱,用户,* 以上各实体都可能是我们的研究对象.,* 应分析相对于各个实体的因素对供水的影响 (见教材P47表3.3).,2. 分析各实体之间的关系,找出联系各实体 的变量.,实体之间的作用关系
31、图,各实体之间的关系,管道与水箱：管道的水流量,水库与管道：水库的水深,水箱与用户：出水口的水流量（或有效水深）,用户：总用水量,3. 根据各实体的相互关系，提炼整理需考虑 的变量以及变量之的关系表达式.,假设“水库能保证管道所需的水流量”， 现需考虑t 时刻以下变量：,* 总需水量D(t)；,* 水箱的有效储水量Q(t)及 QM ；,或流出水流量F（t）及 FM ；,* 管道能提供的供水量G(t)及GM.,分析各变量的特征：,* D(t)不可控，但可以对其进行描述；,* G(t)是可控变量。,4. 用数学语言描述要解决的问题,选择适当的函数G(t)，使得,有 Q(t)=G(t)F(t), F
32、(t)=D(t),0G(t)GM， 0Q(t)QM， 同时成立.,建模工作的整体设计:,1）确定需求函数D（t），是保证有效控制 的基础；,2）制定恰当的评价指标，以评价方案的优劣；,3）求出相对于评价指标最优的水箱供水方案；,4）分析各种参数对方案的影响；,5）分析随机因素的影响.,模型整体设计的作用,1）可将整个建模过程分解为一些可串行或并行的子任务。,2）可把握住工作的重点、要点和难点.,做出模型的整体设计后，着手建立模型 之前，撰写一份工作提纲.,建议:,二. 做出假设,根据对象的特征和建模的目的对问题进行 必要的、合理的简化，用精确的语言做出假 设，是建模的关键步骤。,合理假设的作用
33、,简化问题,明确问题,限定模型的 适用范围,一个实际问题不经过简化假设,很难抽象转化为数学问题。,例3.4.2 飞行管理问题中有叙述：“对以下数据 进行计算（方向角误差不超过0.01度）”,如何理解？,通过假设：,* 所给飞行方向角数据的误差不超过0.01度.,或 * 数据的运算结果误差限控制为0.01度.,使问题完全明确.,例3.4.3 渔业管理问题中关于“季节性集中产卵繁殖” ,如何理解“产卵孵化期是一年的最后四个月” ？,最优捕鱼策略,飞行管理模型,有以下几种假设:,* 产卵是均匀地分布在整个四个月的期间内， 从而孵化也是均匀进行.,* 产卵时间服从方差很小的正态分布.,* 鱼群的个体在
34、后四个月的第一天集中产卵， 在最后一天孵化出来.,哪一条“最好”？,第三种与第二种没有本质的差别， 处理较容易.,分析：第一种不符合鱼类的生物学实际；,第二种比较符合实际，但大大增加了解决 问题的难度；,假设起到简化问题的作用,假设“渔场是非开放式的，不与其它水域发生 关系，从而构成独立的生态群落”,将建立的数学模型限定在一定的适用范围.,设计假设应遵循的原则,* 假设应是有依据的，基于对问题内在规律的认识和对数据及现象的分析；,* 善于辨别问题的主次，抓主要因素，尽量 使问题简化.,* 避免过于简单、过于详细或不合理.,例3.4.4 渔业管理问题中有条件：“平均每条 4 龄鱼的产卵量为1.1
35、09105个，3 龄鱼的产卵量 为这个数的一半，2 龄鱼和1 龄鱼不产卵”.,分析：为了计算鱼群的产卵量，需明确此条件.,* “平均每条鱼的产卵量”理解为对所有鱼的 平均， 故在计算总产卵量时，不考虑雌雄区别.,有两种假设：,* 雌雄鱼的比例是1:1；,哪一种较为合理？,最优捕鱼策略,可假设：* 每到次年初，头一年的1、2、3 龄鱼均增1岁，将5龄鱼归并为4龄鱼.,合理性解释：事实上，资料表明此种鱼的寿 命一般为3年，另一方面经过捕捞后4 龄鱼的数 量很少，可以忽略不计.,对于假设： * 有时需要对假设以及假设的推论进行检验；,例3.4.5 零件的参数设计,问题： 当年的4 龄鱼，第二年如何处
36、理？,* 应意识到隐含的假设.,问题分析 需要建立损失函数，参数y与y0的偏离是由7 个参数综合确定.可假设,* 零件参数 Xi，i=1，2，7 是相互独立的 同服从正态分布的随机变量.,对于随机变量,假设：* 随机变量 Y 是服从正态分布的随机变量。,可以利用两种方法进行检验,1. 利用泰勒公式做近似；,2. 利用计算机模拟结合数理统计分析.,三. 现实问题与数学表达式,绘图法,表格法,数学解析式,建立变量间的关系,是建立数学模型的一项重点工作,三种形式可以相互转换,翻译能力：将变量间关系的中文语言描述转化为教学表达式,例3.4.6 突然间下了20分钟雨，收集到1/2英寸 的雨量。现要建立一
37、个函数R(t), 用来描述降雨 量随时间变化的规律。,用中文语言描述数量现象往往是含混的。,许多可能的选择,譬如：,（1）假设雨连续稳定地下落., 0t20,可以理解成降雨保持恒定速度，即,（2）降雨开始较慢，中间逐渐地加快，达到 最大速度后又减小.,若假设降雨速度先线性增长后又线性减小，得,线性降雨模型：,或考虑另一个降雨模型：,0t 20,模型中有两个待定参数a和b.,续例3.4.5 零件的参数设计,分析评价以下质量损失函数,是“y 的目标值（记为y0）为1.50.当y与y0的偏离 为0.1时，产品为次品，质量损失为1 000元；当y 偏离y0为0.3时,产品为废品，损失为9 000元”
38、的数 学描述.,对损失的理解还需深入:,* 此产品只是最终产品的某一部件，y 对y0 的偏离会“连续地”影响最终产品的质量；,* 题目中“如果产品参数偏离预先设定的目标 值就会造成质量损失，偏离越大，损失越大” 提示损失是具有社会性的.,质量损失函数L(y)应是（yy0）的连续函数 ，应选择以下哪一个函数？,常见的变量间关系描述：,1.当自变量t变大（小）时，因变量 y 会怎样变化?,2. 有没有使 y 取极大值或极小值的 t 值？,3. 有没有使 y=0 的 t 值?,4. y 是否随 t 作做周期性变化？,5. 感兴趣的是 t 的全部值，还是一定范围内 的值，如t0或0atb？,例3.4.
39、7 扑灭森林失火,3.5 求解数学模型,求数学模型的解重要而困难,求解纯数学问题,求解数学模型,* 涉及不同数学分支的知识，同时还需借助 与背景知识.,* 针对现实问题建立的数学模型，往往仅可求数值解.,* 有类问题可采用分析法得到问题的实际解答(如微分方程定性分析).,例3.5.1稳定的椅子将一张四条腿一样长的方桌放在不平的地 面上, 问是否总能设法使它的四条腿同时着地？,假设*1 地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地面可用一个连续二元函数 z=z(x,y)表示）,*2 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长.,*3 将与地面的接触看成几何上的点接触.,建模绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中
40、心O点旋转， 转动角度记为.,A,B,C,D,引进函数变量：,f() A、C 两腿到地面的距离之和；,g() B、D 两腿到地面的距离之和；,由假设*1，f()、g()都是连续函数，,由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能同时着地，故有 f()g()=0，0，2,不妨设 f(0)=0、g(0)0 ，方桌问题归结为 数学问题：,已知 f() 和 g() 都是连续函数；f(0)=0、 g(0)0，且对任意，都有 f()g()=0，求证：存在0，使得f(0)=g(0).,分析：当=/2时，即AC 和 BD互换位置,故有 f(/2)0， g(/2)=0,令 h()=f()g()，则有,因 h() 在
41、0, /2上连续，根据闭区间 上连续函数的介值定理，存在00,/2， 使,f(0) = g(0),因对任意有, f()g()=0,f(0)g(0)=0,f(0)=g(0)=0,h(0)=f(0)g(0)=0,h(0)0，h(/2)0，,结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形的桌子， 在光滑地面上做原地旋转，在不大于/2的角度 内，必能放平.,问题：任意矩形的桌子会怎样？,模型求解需要一定的技巧,例子中的建模及求解技巧：,1. 用一元变量表示位置；,2. 用的函数表示距离；,3. 利用问题的背景条件来求解.,建立坐标,一. 近似求解,1. 减少模型中变量个数,初建立的模型往往包含许多变量，一些变量
42、对最终结果的影响会大于其他变量的影响；,减少模型中变量个数，简化模型，便于求解,比较变量的数量级，估计变量在模型中的 作用与地位.,用记号 xO(10)表示“数量x的数量级是10” 或“x的值在10的附近”,例3.5.2 为研究十八世纪美国的人口增长情况，建立如下模型,分析：当时美国人口数量以百万为单位，即有 N(t)O(107),最大容许量NM的数量单位以亿计，即 NMO（109）,从而 N/NMO（102），原模型可以简化为,其解为,，t0,著名的Malthus模型,2. 利用泰勒展式近似求解,假定零件参数Xi，i=1，2，7 是相互独立 的同服从正态分布的随机变量，则函数,例3.4.3
43、零件的参数设计,服从什么分布？,将函数y 在标定值（1，2，7）做泰 勒展开,得到y的一阶近似表达式：,Y 近似表示为相互独立正态随机变量的线性 组合，故可认为Y近似服从正态分布.,例3.5.4 广义生日问题（社会保险号码设计问题）,要使一个班中至少有两个人的生日相同的 概率超过 p (0p1，p+q=1) ，该班级至少需有 多少人？,建模：假设班中有n 个人，至少有两人的生日相同的概率为,求最小的整数n，,更一般的提法是,求最小的整数n，,求解,利用泰勒近似展开式,K=1，2，n.,有,令g(n)=q，解出,n2n+2xlnq =0,方程的正根为,当 q=0.5，则,二. 减少参数的个数,初
44、建立的数学模型往往带有较多的未知参数， 给模型求解造成很大困难，如,电铃振荡运动的方程,有未知参数m、K、c.,用无量纲法、变量替换法 尽量减少参数个数，,例3.5.5. 在地面截击防卫战术的软件系统结 构设计中需要了解飞机在拉高过程中的高度损 失.建立飞行状态模型如下：,其中，k 是比例系数，V是飞行速度的大小， 是飞行方向角，求=0 时，V(0)=Vf 的解.,求解 已知方程解满足函数方程：,V0是初始速度,0是初始飞行方向角,方程 中有未知参数k、 V0、0以及g.当=0，有,将方程两边同除以kV03，并记B=g/kV02，原 方程改写为,将看 成新的变量，方程只有两个未知参数 0、B
45、.,3.6 模型解的分析和检验,始于现实世界并终于现实世界,数学建模工作,最终要得到现实问题的解答,求出模型的数学解以后， 必须对解的意义进行分析、检验,需讨论以下类似问题：,1. 这个解说明了什么问题？,2. 是否达到了建模的目的？,3. 模型的适用范围怎样？,例3.6.1格列佛游记中小人国的小人们为 估算格列佛的食量，利用身体的相似性，建立了 一个数学模型,4. 所建模型是否合理？是否合乎实际？是否有原理性错误、常识性错误？,W= a H3 W是人的体重，H 是人的身高.,a=W/ H3=3/0.5=24,检验：,先确定参数a，新生婴儿身长约50厘米，重约3千克,代入模型得,得模型为 W=
46、24H3,这是一个适用于肥胖人群的体重身高模型。 据此可计算得,身高为1.5米的儿童体重为 W(1.5)=81(千克)；,身高为2米的运动员体重为 W(2)=192(千克).,检验模型是数学建模工作的重要环节,例3.6.2 将一块石头扔进洞中估计洞的深度. 一个学生建立了从扔下石头到听到声音的时间 t 和洞深 h 的关系模型：,用到假设：,k为比例系数.,分析检验,1. 检查模型的量纲是否正确?,*1 石头下降时所受空气的阻力和速度成正比;,*2 阻力产生的加速度也和速度正比.,根据比例系数 k 的定义有,LT2=kLT1,k=T1,注意到exp(kt)是无量纲量，可验证模型的 量纲正确.,2
47、. 检验模型是否与物理定律相符?,若忽略空气阻力（即k=0）, 应有h=0.5gt2,验证模型是否与此物理定律相符.,能否将 k=0 代入模型,？,参见讲义p59.,3. 参数的灵敏度分析,取参数 k 的值为0.05(克/秒),可算得,即, 若回声在4 秒听到，模型测算出洞深73.50米.,又若参数k有微小变化，测算值会怎样变化？,令 k=0.045, 参数的相对变化幅度为 0.0450.05/0.05=10%，,计算得 h2=h(4)73.98，洞深预测值相对 变化幅度为,？,（73.573.89）/73.51%.,说明模型对空气阻力比例系数k不敏感,即对 洞深预测影响不大,可忽略空气阻力.
48、,4. 进一步分析空气的影响,若完全忽略空气的影响, 有,h1=h(4)=0.5gt2=0.59.814278.48(米)，,绝对误差为 78.4873.505(米)，,？,结果分析 说明被忽略的空气因素对模型产生较明显的影响.,模型中用到隐含假设：石头撞击地面的声音 能立即听到.,相对误差为 （78.4873.50）/73.507%，,未考虑声音在空气中的传播速度.,传播速度大约为330米秒 , 则石头着地声音 的传播时间大约为,h33073.53300.223（秒）,取修正时间为 t= 40.223= 3.777（秒）,可得 h(3.777)65.77(米),结论 声速的影响远甚于空气阻力的影响.,通过对模型的分析、检验，发现由于模型假 设不合理, 考虑因素不合适,造成模型不合理.,需重新进行问题的前期分析工作,1. 量纲一致性检验； 2. 假设的合理性检验； 3. 对模型参数的灵敏度分析； 4. 模型及模型解的误差分析，分析误差及误差的来源等； 5. 参数或变量的临界值；,
